第一章 集合与常用逻辑用语 章末重难点归纳总结（解析版）-2024 人教高中数学必修一.docx

第一章 章末重难点归纳总结考点一 元素的互异性【例1】（2023·云南）已知集合，，则（ ）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立．若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，．故选：D．【一隅三反】1．（2023·天津）已知集合，若，则实数a的值为（    ）A． B．C．或 D．5【答案】B【解析】因为，，当时，解得，此时，不满足集合的互异性，故（舍去），当，解得（舍去）或，此时，满足题意，故实数的值为.故选：B.2．（2023·重庆万州）已知，，若集合，则的值为（    ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【解析】∵集合，分母，∴，，且，解得，∴.故选：B.3．（2023·黑龙江哈尔滨）已知集合，若，求实数a的取值集合．【答案】【解析】因为，所以①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立．当时，集合为，元素重复，所以不成立，即③若，解得或，由①②知都不成立．所以满足条件的实数的取值集合为考点二 集合间的关系【例2-1】（2023·高一课时练习）集合且的真子集的个数是（    ）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】B【解析】，集合A含有4个元素，真子集的个数是，故选：B．【例2-2】（2023·重庆）已知集合，，则下列关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，解可得，或或，所以.若，则，所以，所以.故选：B.【例2-3】（2023·高一单元测试）已知，，且Ü，则a的取值范围为_________．【答案】【解析】由题意，集合，当时，即，解得，此时满足Ü，当时，要使得Ü，则或，当时，可得，即，此时，满足Ü；当时，可得，即，此时，不满足Ü，综上可知，实数的取值范围为.故答案为：.【一隅三反】1．（2023·高一课时练习）已知，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于表示一元二次方程的解的集合，而最多有两个不相等的实数根，由于，所以故由韦达定理可得，故选：C2．（2023北京）已知集合和，那么（　　）A．Ü B．ÜC． D．【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以故选：C.3.（2023·上海浦东新）集合．(1)若是，求实数的取值范围(2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和.【解析】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得.所以实数的取值范围为（2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和；当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和.考点三 集合的运算【例3-1】（2023·天津）已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，而，所以.故选：A【例3-2】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）  A． B．C． D．【答案】D【解析】因为或，或，所以或或或，或或或.由题意可知阴影部分对于的集合为，所以，或.故选：D.【例3-3】（2023·黑龙江哈尔滨）已知集合,，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】解方程组可得或或，又因为,，则.故选：D.【例3-4】（2023·福建泉州）设集合.(1)讨论集合与的关系；(2)若，且，求实数的值.【答案】(1)答案见解析(2)或【解析】（1），当时，；当时，，是的真子集.（2）当时，因为，所以，所以.当时，解得（舍去）或，此时，符合题意.当时，解得，此时符合题意.综上，或.【一隅三反】1．（2023·甘肃）设全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B.2．（2023·浙江金华）已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，.故选：A.3．（2023·吉林长春）已知非空集合，(1)当时，求；(2)求能使成立的的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，，；（2），且，，∴，解得，的取值范围是.4．（2023春·吉林长春）已知集合，集合.(1)若，求，；(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）若则，，故，（2），若是的必要条件，则或为空集.当时，解得；当为空集时，即.综上有考点四 充分必要条件【例4-1】1（2023春·河北）设，则“”是“”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，得或；由，得，则“”是“”的必要不充分条件．故选：C【例4-2】（2023·北京）是方程有实根且的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程有实根且函数的图象在时与轴有交点，则或，解得或.结合集合法易得是方程有实根且的充分不必要条件.故选：A【一隅三反】1．（2022秋·高一单元测试）设：或；：或，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意可得，，易知是的真子集，所以，因此，是的充分不必要条件.故选：A2．（2023云南）设有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵甲是乙的必要条件，∴乙能推出甲.∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙能推出乙，乙不能推出丙，所以丙能推出甲，甲不能推出丙，所以丙是甲的充分不必要条件。

如下图）故选A.  4．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）（多选）已知命题：关于x的不等式，命题：，若是的必要非充分条件，则实数的取值可以为（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由可得：，解得：，设，，若p是q的必要非充分条件，所以真包含于A，所以或或均满足.故选：BCD.考点五 全称量词与存在量词【例5-1】（2022秋·高一单元测试）命题，则为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，则为，故选：B.【例5-2】（2023山西）已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】当为真时，；当为真时，，即；因为命题p和都是真命题，所以且或.故答案为：.【一隅三反】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期中）已知命题，为假命题．(1)求实数a的取值集合A；(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．【答案】(1)(2)或【解析】（1）解：命题的否命题为，为真，且，解得．∴．（2）解：由解得，若“”是“”的必要不充分条件，则Ü，∴当时，即，解得；当时，，解得，综上：或．2．（2023·广东深圳）已知集合，.(1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围.(2)“命题：，”是假命题，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为命题是真命题，所以，当时，，解得，当时，则，解得，综上m的取值范围为；（2）解：因为“命题：，”是假命题，所以，当时，，解得，当时，则或，解得，综上的取值范围为.3．（2023·江苏南京）已知命题p：“，使不等式成立”．(1)若命题p是假命题，求实数m的取值集合A；(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为命题p:“，不等式”成立是假命题，所以命题p的否定“，不等式”成立是真命题①，符合；②，解得；所以集合.（2）因为，即，所以，因为是的必要不充分条件，所以令集合，则集合A是集合B的真子集，即，解得，所以实数a的取值范围是4（2022秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）已知集合，，.(1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或.(2)或.【解析】（1），因为命题：“，都有”是真命题，所以，因为，所以当时，，则，即；当时，，显然是的真子集.综上，或.（2）由可得，当时，，即；当时，，无解；当时，，无解；当时，，解得；综上，的取值范围或。