二十世纪数学概观.ppt

二十世纪数学概观二十世纪数学概观 (第三次数学危机第三次数学危机) 二十世纪纯粹数学二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、已经不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系它的发展趋势支众多的、庞大的知识体系它的发展趋势或特点：或特点：（（1）更高的抽象性）更高的抽象性（（2）更强的统一性）更强的统一性（（3）更深入的基础探讨）更深入的基础探讨 是二十世纪上半叶德国乃是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一至全世界最伟大的数学家之一他在横跨两个世纪的六十年的他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现的思想深深地渗透进了整个现代数学 希尔伯特希尔伯特( D. Hilbert.David，，1862～～1943)，，德国数学家德国数学家 大卫大卫·希尔伯特，希尔伯特，1862年年1月月23日出日出生在东普鲁士的哥尼斯堡他一直在家乡上生在东普鲁士的哥尼斯堡。

他一直在家乡上学，学，1885年取得博士学位，年取得博士学位，1886年就任年就任哥尼斯堡大学讲师哥尼斯堡大学讲师1888年因为解决了不年因为解决了不变式理论中著名的变式理论中著名的“哥尔丹问题哥尔丹问题”开始在数开始在数学界崭露头角，学界崭露头角，1891年他升任副教授，年他升任副教授，1893年升任教授年升任教授1895年，他应克莱因年，他应克莱因之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥丁之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥丁根大学的黄金时代根大学的黄金时代  由于他的影响，哥丁根成为世界数学的由于他的影响，哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四十年，中心，繁盛了三、四十年，希尔伯特领导的希尔伯特领导的数学学派是数学学派是19世纪末世纪末20世纪初数学界的一世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之数学界的无冕之王王” 希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。

做出伟大贡献的全才 一、新世纪的序幕一、新世纪的序幕 1900年年8月，德国数学家希尔伯特在巴月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为黎国际数学家大会上作了题为《《数学问题数学问题》》的著名讲演他的讲演是这样开始的：的著名讲演他的讲演是这样开始的： “我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的方法学思想领域，新世纪将会带来什么样的方法和成果？和成果？” 希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表了许多精辟的见解，而整个演说的主题，则了许多精辟的见解，而整个演说的主题，则是他根据是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的而提出的23个数学问题个数学问题。

这些问题涉及现代这些问题涉及现代数学的许多重要领域一个世纪以来，这些数学的许多重要领域一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣 19761976年，在美国数学家年，在美国数学家评选的自的自19401940年年以来美国数学的十大成就中，有三以来美国数学的十大成就中，有三项就是希就是希尔尔伯特第伯特第1 1、第、第5 5、第、第1010问题的解决由此可的解决由此可见，能解决希，能解决希尔尔伯特伯特问题，是当代数学家的，是当代数学家的无上光荣无上光荣 19751975年，在美国伊利诺斯大学召开的一年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特三个世纪以来希尔伯特2323个问题的研究进展个问题的研究进展情况当时统计，约有一半问题已经解决了，情况当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展其余一半的大多数也都有重大进展 下面摘录的是下面摘录的是1987年出版的年出版的《《数学家数学家小辞典小辞典》》以及其它一些文献中收集的希尔伯以及其它一些文献中收集的希尔伯特特23个问题及其解决情况：个问题及其解决情况：  1．． 连续统假设连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。

续统假设1938年，哥德尔证明了连续统年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性公理系统的无矛盾性1963年，美国数学年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合伦克尔集合论公理是彼此独立的因此，连续统假设不论公理是彼此独立的因此，连续统假设不能在策梅洛能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否希尔伯特第确性与否希尔伯特第1问题在这个意义上问题在这个意义上已获解决已获解决  2 2．． 算术公理的相容性算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性希尔伯特曾提出用形式主义计理的相容性希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明划的证明论方法加以证明19311931年，哥德尔年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法发表的不完备性定理否定了这种看法19361936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。

下证明了算术公理的相容性 　　　　19881988年出版的年出版的《《中国大百科全书中国大百科全书》》数学数学卷指出，数学相容性问题尚未解决卷指出，数学相容性问题尚未解决 3 3．． 两个等底等高四面体的体积相两个等底等高四面体的体积相等问题等问题　　　　 问题的意思是，存在两个等边等高的四问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等这两组四面体彼此全等M.W.M.W.德恩德恩19001900年即年即对此问题给出了肯定解答对此问题给出了肯定解答　　4．． 两点间以直线为距离最短线问题两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般满足此性质的几此问题提得过于一般满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件何学很多，因而需增加某些限制条件1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问离情况下，问题获得解决题获得解决　　　　《《中国大百科全书中国大百科全书》》说，在希尔伯特之说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

许多进展，但问题并未解决  5.5.一个连续变换群的李氏概念，定一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯经冯··诺伊曼（诺伊曼（19331933，对紧群情形）、邦德，对紧群情形）、邦德里雅金（里雅金（19391939，对交换群情形）、谢瓦荚，对交换群情形）、谢瓦荚（（19411941，对可解群情形）的努力，，对可解群情形）的努力，19521952年由年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果完全肯定的结果  6.物理学的公理化物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学出全部物理，首先是概率和力学1933年，年，苏联数学家苏联数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公实现了将概率论公理化后来在量子力学、量子场论方面取得理化。

后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功但是物理学是否能全盘公理化，了很大成功但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑很多人表示怀疑 　　7.某些数的无理性与超越性某些数的无理性与超越性 1934年，年，A.O.盖尔方德和盖尔方德和T.施奈德各自施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数代数数α≠0 ，，1，，和任意代数无理数和任意代数无理数β证明了证明了αβ 的超越性的超越性 　　 8.素数问题素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等一般情况下的黎曼猜想仍待解决数问题等一般情况下的黎曼猜想仍待解决哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（（1966），但离最终解决尚有距离目前孪），但离最终解决尚有距离目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润生素数问题的最佳结果也属于陈景润 　　　希尔伯特曾说，如果他在沉睡　　希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？现在得到证明了吗？现在100多年过去了，这个问多年过去了，这个问题至今仍没答案。

该猜想已被美国克雷数学题至今仍没答案该猜想已被美国克雷数学研究所列为世界黄金问题之一，能证明或证研究所列为世界黄金问题之一，能证明或证伪该猜想的人将会获得伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金万美元的奖金　黎曼猜想：（黎曼猜想：（Riemann ζ 函数的所有非平函数的所有非平凡零点都位于复平面上凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上的直线上）） 孪生素数问题：孪生素数问题： 在自然数列中，若在自然数列中，若p是素数，而是素数，而p+2也也是素数，则谓之具此性质的两个素数组合在是素数，则谓之具此性质的两个素数组合在自然数列中的出现为孪生素数自然数列中的出现为孪生素数哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想：(a)任何一个任何一个>=6之偶数，都可以表示成两之偶数，都可以表示成两个奇质数之和个奇质数之和 (b) 任何一个任何一个>=9之奇数，都可以表示成三之奇数，都可以表示成三个奇质数之和个奇质数之和  9．在任意数域中证明最一般的互反律．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治该问题已由日本数学家高木贞治（（1921）和德国数学家）和德国数学家E.阿廷（阿廷（1927）解）解决。

　决　　　1010．． 丢番图方程的可解性丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解希尔伯特问，能否用一种丢番图方程可解希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？程的可解性？19701970年，苏联的年，苏联的IO.B.IO.B.马季亚谢马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在  1111．． 系数为任意代数数的二次型系数为任意代数数的二次型 H.H.哈塞（哈塞（19291929）和）和C.L.C.L.西格尔（西格尔（19361936，，19511951）在这个问题上获得重要结果在这个问题上获得重要结果　　　　1212．． 将阿贝尔域上的克罗克定理推将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻底这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远解决还相差很远1313．． 不可能用只有两个变数的函数解一不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程般的七次方程 七次方程的根依赖于七次方程的根依赖于3 3个参数个参数a a、、b b、、c c，即，即x=x x=x （（a a，，b b，，c c）。

这个函数能否用二元函数这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（函数的情形（19571957），维士斯金又把它推广），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（到了连续可微函数的情形（19641964）但如果）但如果要求是解析函数，则问题尚未解决要求是解析函数，则问题尚未解决　　 1414．． 证明某类完备函数系的有限性证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关这和代数不变量问题有关19581958年，日本数学年，日本数学家永田雅宜给出了反例家永田雅宜给出了反例　　　　15．． 舒伯特计数演算的严格基础舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法希尔伯特要求将问伯特给出了一个直观解法希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础现在已有了一些题一般化，并给以严格基础现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。

可计算的方法，它和代数几何学不密切联系但严格的基础迄今仍未确立但严格的基础迄今仍未确立  16．． 代数曲线和代数曲线面的拓扑代数曲线和代数曲线面的拓扑问题问题 这个问题分为两部分前半部分涉及代这个问题分为两部分前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目后半数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中置，其中X、、Y是是x、、y的的n次多项式次多项式.苏联的彼苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个时极限环的个数不超过数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（数学家举出反例（1979） 1717．． 半正定形式的平方和表示半正定形式的平方和表示 一个实系数一个实系数n n元多项式对一切数组元多项式对一切数组( (x x1 1,x,x2 2,...,,...,x xn n) ) 都恒大于或等于都恒大于或等于0 0，是否都能，是否都能写成平方和的形式？写成平方和的形式？19271927年阿廷证明这是对年阿廷证明这是对的。

的1818．． 用全等多面体构造空间用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（由德国数学家比勃马赫（19101910）、荚因）、荚因哈特（哈特（19281928）作出部分解决作出部分解决1919．． 正则变分问题的解是否一定解析正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少对这一问题的研究很少C.H.C.H.伯恩斯坦伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果和彼得罗夫斯基等得出了一些结果2020．． 一般边值问题一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支目前还在继续研究大的数学分支目前还在继续研究2121．． 具有给定单值群的线性微分方程解的存具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明在性证明 已由希尔伯特本人（已由希尔伯特本人（19051905）和）和H.H.罗尔罗尔（（19571957）的工作解决的工作解决　　2222．． 由自守函数构成的解析函数的单由自守函数构成的解析函数的单值化值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论，它涉及艰辛的黎曼曲面论，19071907年年P.P.克克伯获重要突破，其他方面尚未解决。

　　伯获重要突破，其他方面尚未解决　　　　　这　这23问题问题1-61-6是数学基础问题，是数学基础问题，7-127-12是数是数论问题；论问题；13-1813-18是代数和几何问题，是代数和几何问题，19-2319-23数数学分析问题，涉及现代数学大部分重要领域，学分析问题，涉及现代数学大部分重要领域，大大地推动了大大地推动了20世纪数学的发展世纪数学的发展 　　2323．． 变分法的进一步发展变分法的进一步发展 这并不是一个明确的数学问题，只是谈这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法了对变分法的一般看法2020世纪以来变分法世纪以来变分法有了很大的发展有了很大的发展 但但希尔伯特问题未希尔伯特问题未能包括拓扑学、李代数、能包括拓扑学、李代数、黎曼几何与张量分析、群表示论、微分方程黎曼几何与张量分析、群表示论、微分方程等等在在2020世纪成为前沿学科的领域中的数学问题世纪成为前沿学科的领域中的数学问题除数学物理外很少涉及应用数学除数学物理外很少涉及应用数学2020世纪数学世纪数学的发展，远远地超出了希尔伯特问题所预示的的发展，远远地超出了希尔伯特问题所预示的范围。

范围 有些问题的研究（如有些问题的研究（如2，，10）还促进了现）还促进了现代计算机理论的成长重要的问题历来是推动代计算机理论的成长重要的问题历来是推动科学前进的杠杆，但一位科学家如此自觉、如科学前进的杠杆，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并如此持久地影响此集中地提出一整批问题，并如此持久地影响了一门科学的发展，这在科学史上是不常见的了一门科学的发展，这在科学史上是不常见的1、更高的抽象、更高的抽象 更高的抽象化是更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一这种趋势，最初主要受到趋势或特征之一这种趋势，最初主要受到了两大因素的推动即集合论观点和公理化了两大因素的推动即集合论观点和公理化方法的应用方法的应用1）集合论观点）集合论观点 19世纪以来由世纪以来由康托尔康托尔所创立的集合论，所创立的集合论，最初遭到许多数学家（包括最初遭到许多数学家（包括克罗内克、克莱克罗内克、克莱因、庞加莱因、庞加莱等）的反对但到等）的反对但到20世纪初，这世纪初，这一一新的理论在数学中的作用越来越明显，集新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，可以是任意性质的合概念本身被抽象化了，可以是任意性质的元素集合，如函数的集合、曲线的集合等等。

元素集合，如函数的集合、曲线的集合等等 集合论引起了数学中基本概念（如积分、集合论引起了数学中基本概念（如积分、函数、空间等）的深刻变革函数、空间等）的深刻变革2）公理化方法）公理化方法 外外尔尔曾说曾说过：过：“2020世纪数学的一个十分世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长，以前公理化方法仅仅用来阐明我们所建长，以前公理化方法仅仅用来阐明我们所建立的理论基础，而现在它却成为具体数学研立的理论基础，而现在它却成为具体数学研究的工具究的工具 现代公理化方法的奠基人是现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特，希尔伯特，虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的几何知识，但他的公理体系是不完备的希几何知识，但他的公理体系是不完备的希尔伯特在尔伯特在18991899年发表的年发表的《《几何基础几何基础》》中则提中则提出第一个完备的公理系统出第一个完备的公理系统飞跃一：希尔伯特在几何对象上达到了更深飞跃一：希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象刻的抽象 如：如：““点、线、面点、线、面””已经纯粹是抽象的已经纯粹是抽象的对象，没有特定的具体内容。

对象，没有特定的具体内容飞跃二：希尔伯特考察了各公理间的相互关系，飞跃二：希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，即明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，即(1)(1)相容性相容性(3)(3)完备性完备性(2)(2)独立性独立性 集合论观点与公理化方法在集合论观点与公理化方法在2020世纪逐渐世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路这方面的发的发展引向了高度抽象的道路这方面的发展，导致了展，导致了2020世纪上半叶世纪上半叶实变函数论实变函数论、、泛函泛函分析、拓扑学和抽象代数分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四等具有标志性的四大抽象分支的崛起大抽象分支的崛起2、数学的统一化、数学的统一化 20世纪的数学一方面越来越分化成许多世纪的数学一方面越来越分化成许多分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不同学科相互渗透、结合的趋势同学科相互渗透、结合的趋势 不同分支领域的数学思想与数学方法相不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。

部新的综合交叉学科的不断兴起 如：如：微分拓扑与代数拓扑、整体微分几微分拓扑与代数拓扑、整体微分几何、代数几何、多复变函数论、动力系统、何、代数几何、多复变函数论、动力系统、偏微分方程与泛函分析、随机分析偏微分方程与泛函分析、随机分析等等3、对基础的深入探讨、对基础的深入探讨 19世纪末，由于严格的微积分理论的建世纪末，由于严格的微积分理论的建立，第二次数学危机得以解决但事实上，立，第二次数学危机得以解决但事实上，严格的微积分理论是以严格的微积分理论是以实数理论实数理论为基础的，为基础的，而严格的实数论又以而严格的实数论又以集合论集合论为基础 集合论似乎给数学家们带来了一劳永逸集合论似乎给数学家们带来了一劳永逸地摆脱基础危机的希望，尽管集合论的相容地摆脱基础危机的希望，尽管集合论的相容性尚未解决但许多人认为这只是时间问题性尚未解决但许多人认为这只是时间问题 在在1900年巴黎举行的第二届国际数学家年巴黎举行的第二届国际数学家大会上，大会上，庞加莱庞加莱高兴地指出：高兴地指出： ““我们最终达到了绝对的严密吗？在数我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点，如果他们被蒙蔽了，我他们达到了这一点，如果他们被蒙蔽了，我们是不是也象他们一样被蒙蔽了？们是不是也象他们一样被蒙蔽了？…………如果如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。

今天我们可以宣称，完全的严格性已经的今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！达到了！”” 那时，绝大多数数学家具有和那时，绝大多数数学家具有和庞加莱庞加莱相相同的看法，他们对数学所达到的严密性而欢同的看法，他们对数学所达到的严密性而欢欣鼓舞然而就在第二年，英国数学家欣鼓舞然而就在第二年，英国数学家罗素罗素以一个简单明了的以一个简单明了的集合论悖论集合论悖论打破了人们的打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论，上述希望，引起了关于数学基础的新争论，而由此引发的争论称为而由此引发的争论称为第三次数学危机第三次数学危机 对数学基础的更深入探讨对数学基础的更深入探讨，以及由此引，以及由此引出的数理逻辑的发展是出的数理逻辑的发展是20世纪纯粹数学的又世纪纯粹数学的又一大重要发展趋势一大重要发展趋势3.1 集合论悖论（理发师悖论）集合论悖论（理发师悖论）罗素罗素的悖论是：的悖论是： 以以M表示是它们本身的成员的集合（表示是它们本身的成员的集合（如如一切概念的集合仍然是一个集合一切概念的集合仍然是一个集合）的集合，）的集合，而以而以N表示不是它们本身成员的集合（表示不是它们本身成员的集合（如所有如所有人的集合不是一个人人的集合不是一个人）的集合。

的集合 现在我们问：现在我们问：“集合集合N是否是它本身的是否是它本身的成员？成员？” 无论从哪种情况，我们都得到矛盾无论从哪种情况，我们都得到矛盾 罗罗素素悖论的出现不仅否定了庞加莱的悖论的出现不仅否定了庞加莱的“完全的严格性已经达到了完全的严格性已经达到了”，而且直接动摇，而且直接动摇了把集合论作为分析基础的信心了把集合论作为分析基础的信心 法国著名逻辑学家兼数学家法国著名逻辑学家兼数学家费雷格费雷格（（Frege,1848-1925））在他刚刚完成的巨在他刚刚完成的巨著著《《算术基础算术基础》》第二卷时，他接到了罗素的第二卷时，他接到了罗素的一封信，信中把集合论悖论告诉了他，一封信，信中把集合论悖论告诉了他，费雷费雷格格在第二卷的末尾说：在第二卷的末尾说： “一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了，即在一项工作完成的时候它的基础事情了，即在一项工作完成的时候它的基础却在崩溃，当这部著作即将付印之际，罗素却在崩溃，当这部著作即将付印之际，罗素先生的一封信就使我处于这种境地先生的一封信就使我处于这种境地。

集合论悖论对数学家们的震动是巨大的集合论悖论对数学家们的震动是巨大的它带来的威胁它带来的威胁不只局限于集合论，而是遍及不只局限于集合论，而是遍及整个数学，甚至还包含逻辑整个数学，甚至还包含逻辑这就不得不使这就不得不使希尔伯特感叹道：希尔伯特感叹道： “必须承认，在这些悖论面前，我们目前必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长久忍受下去的试想，所处的情况是不能长久忍受下去的试想，在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果如果甚至数推理方法竟会导致不合理的结果如果甚至数学思想也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可学思想也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？靠性和真理性呢？ 不久，不久，策梅洛（策梅洛（ zermelo,1871-1953 ）） 等人进一步指出分析中的一些基本概念（如等人进一步指出分析中的一些基本概念（如一非空实数集的最小上界即上确界等）的定一非空实数集的最小上界即上确界等）的定义也都是属于义也都是属于非直谓定义非直谓定义。

因此不仅集合论，因此不仅集合论，而且整个经典分析都包含着悖论而且整个经典分析都包含着悖论 罗罗素素本人认为这类悖论的产生是由于本人认为这类悖论的产生是由于一一个待定义对象是用了包含该对象在内的一类个待定义对象是用了包含该对象在内的一类对象来定义对象来定义，这种定义也叫，这种定义也叫“非直谓定义非直谓定义” 第一个集合论公理系统是第一个集合论公理系统是1908年由策梅年由策梅洛提出的，后经洛提出的，后经弗兰克尔弗兰克尔改进，通过对集合改进，通过对集合类型加以适当限制（满足一定的公理），形类型加以适当限制（满足一定的公理），形成了今天常用的成了今天常用的策梅洛策梅洛——弗兰克尔公理系弗兰克尔公理系统这种公理化的集合论达到了避免罗素悖这种公理化的集合论达到了避免罗素悖论的目的而所加限制使康托尔集合论中对论的目的而所加限制使康托尔集合论中对于开展全部经典分析所需要的主要内容得以于开展全部经典分析所需要的主要内容得以保留 为了消除悖论，数学家们首先求助于将为了消除悖论，数学家们首先求助于将康托尔以相当随意的方式叙述的朴素集合论康托尔以相当随意的方式叙述的朴素集合论加以公理化。

加以公理化 因此因此庞加莱庞加莱形象地评论道：形象地评论道：“为了防狼，为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但不知道圈内有羊群已经用篱笆圈起来了，但不知道圈内有没有狼 但但策梅洛策梅洛——弗兰克尔公理系统弗兰克尔公理系统本身是本身是否保证不会出现新的矛盾呢？这也是任何公否保证不会出现新的矛盾呢？这也是任何公理系统必须解决的相容性问题但此问题尚理系统必须解决的相容性问题但此问题尚无证明 但数学家们对这一前提陆续提出了不同但数学家们对这一前提陆续提出了不同的观点，并形成了关于数学基础的三大学派，的观点，并形成了关于数学基础的三大学派，它们是：它们是：以罗素为代表的逻辑主义、以布劳以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义的形式主义 解决集合论悖论的进一步尝试，是从逻解决集合论悖论的进一步尝试，是从逻辑上去寻找问题的症结集合论公理化运动辑上去寻找问题的症结集合论公理化运动是假定了数学运用的逻辑本身不成问题是假定了数学运用的逻辑本身不成问题3.2 三大学派三大学派 逻辑主义的基本思想在罗素逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表年发表的的《《数学的原理数学的原理》》中已有大概的轮廓。

罗素中已有大概的轮廓罗素后来与怀特里得后来与怀特里得(Whitehead,1861-1947)合合著的三大卷著的三大卷《《数学原理数学原理》》是逻辑主义的权威是逻辑主义的权威性论述一）逻辑主义（（一）逻辑主义（logicism）） 按照罗素的观点，按照罗素的观点，“数学就是逻辑数学就是逻辑”，，全部数学可以由逻辑推导出来全部数学可以由逻辑推导出来——数学概念数学概念可以借逻辑概念来定义，数学定理可以由逻可以借逻辑概念来定义，数学定理可以由逻辑公理按逻辑规则推出辑公理按逻辑规则推出 即他们的规划是：即他们的规划是： 至于逻辑的展开，则是依靠公理化方法进行，至于逻辑的展开，则是依靠公理化方法进行，即从一些不定义的逻辑概念和不加证明的逻即从一些不定义的逻辑概念和不加证明的逻辑公理出发，通过符号演算的形式来建立整辑公理出发，通过符号演算的形式来建立整个逻辑体系个逻辑体系1）从少数的逻辑概念出发去定义全部、或）从少数的逻辑概念出发去定义全部、或大部分数学概念大部分数学概念2）从少数的逻辑法则出发去演绎全部、或）从少数的逻辑法则出发去演绎全部、或大部分数学理论大部分数学理论。

 罗素说：罗素说：“我一直在寻找的数学的光辉我一直在寻找的数学的光辉的确定性在令人困惑的迷宫中丧失了的确定性在令人困惑的迷宫中丧失了 逻辑主义的企图没有实现，也不可能实逻辑主义的企图没有实现，也不可能实现最重要的一点是，它隔离了数学和现实现最重要的一点是，它隔离了数学和现实的关系 逻辑主义的功绩逻辑主义的功绩：他们相当成功地把古：他们相当成功地把古典数学纳入了一个统一的公理系统，虽然这典数学纳入了一个统一的公理系统，虽然这个系统不是纯逻辑的，但却是公理化方法在个系统不是纯逻辑的，但却是公理化方法在近代发展中的一个重要起点他们还建立了近代发展中的一个重要起点他们还建立了完整的命题演算和谓词演算系统，完成了从完整的命题演算和谓词演算系统，完成了从传统逻辑到数理逻辑的过度和演变传统逻辑到数理逻辑的过度和演变 直觉主义认为，数学的出发点不是集合直觉主义认为，数学的出发点不是集合论，而是自然数只有建立在这种原始直觉论，而是自然数只有建立在这种原始直觉和可构造之上的数学才是可信的和可构造之上的数学才是可信的 直觉主义的先驱是直觉主义的先驱是克罗内克和庞加莱克罗内克和庞加莱。

但作为一个学派则是荷兰数学家但作为一个学派则是荷兰数学家布劳威尔布劳威尔（（Brouwer,1881-1966））开创的1907年年在他的博士论文在他的博士论文《《论数学基础论数学基础》》中搭建了直中搭建了直觉主义数学的框架，觉主义数学的框架，1912年以后又大大地发年以后又大大地发展了这方面的理论展了这方面的理论二）直觉主义（（二）直觉主义（intuitionism）） 按照直觉主义者的观点，实数系和微积按照直觉主义者的观点，实数系和微积分理论中的许多定理是不能接受的分理论中的许多定理是不能接受的 （（1）坚持数学对象的）坚持数学对象的“构造性构造性”定义，定义，是直觉主义哲学的精粹，按照这种观点，要是直觉主义哲学的精粹，按照这种观点，要证明任何数学对象的存在，必须同时证明它证明任何数学对象的存在，必须同时证明它可以用有限的步骤构造出来因此直觉主义可以用有限的步骤构造出来因此直觉主义不承认仅使用反证法的存在性证明不承认仅使用反证法的存在性证明 把直线上的所有点看成一个整体，这种把直线上的所有点看成一个整体，这种对无限的理解称为对无限的理解称为实无限（实无限（即所有的东西都即所有的东西都是在一起的，实在的并且是完成的是在一起的，实在的并且是完成的 无限无限））；；把无限看成一种增加的过程，就象用一个口把无限看成一种增加的过程，就象用一个口袋装自然数，装完一个，还有许多，永远也袋装自然数，装完一个，还有许多，永远也装不完。

这种对无限的理解称为装不完这种对无限的理解称为潜无限（潜无限（即即推理的、发展的、未完成的无限推理的、发展的、未完成的无限）） （（2）在集合论中，直觉主义也只承认可）在集合论中，直觉主义也只承认可构造的无穷集合（如自然数列），在无穷观构造的无穷集合（如自然数列），在无穷观的问题上彻底采用的问题上彻底采用潜无限潜无限，而排斥，而排斥实无限实无限 损失损失 古典数学中大批受数学家珍视的古典数学中大批受数学家珍视的东西成为牺牲品：无理数的一般概念；康托东西成为牺牲品：无理数的一般概念；康托尔的超限数；在无限多个正整数中存在一个尔的超限数；在无限多个正整数中存在一个最小数的定理最小数的定理……等等这引起了很多数学等等这引起了很多数学家的不安甚至恼怒家的不安甚至恼怒 （（3）直觉主义关于有限的可构造性的主）直觉主义关于有限的可构造性的主张导致了对古典数学中普遍接受的张导致了对古典数学中普遍接受的“排中律排中律”（（非真即假非真即假）的否定对直觉主义者来说，）的否定对直觉主义者来说，排中律仅存在于有限集合中，对无限集合不排中律仅存在于有限集合中，对无限集合不能使用。

能使用 但他们提出的能行性问题具有十分重要但他们提出的能行性问题具有十分重要的现实意义他们还正确地指出，数学上最的现实意义他们还正确地指出，数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式而是通过重要的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论得到的，是逻辑依赖于数学变革其基本理论得到的，是逻辑依赖于数学而不是数学依赖于逻辑而不是数学依赖于逻辑 直觉主义因为把古典数学搞得支离破碎，直觉主义因为把古典数学搞得支离破碎，而且重整数学的任务也非常艰巨，最后也失而且重整数学的任务也非常艰巨，最后也失败了（（1）逻辑和数学中的基本概念和公理系统都）逻辑和数学中的基本概念和公理系统都是一行行毫无意义的符号，形式主义者指出，是一行行毫无意义的符号，形式主义者指出，数学是关于形式系统的科学数学是关于形式系统的科学 形式主义数学观的核心有两条：形式主义数学观的核心有两条：（三）形式主义（（三）形式主义（formalism））（（2）数学的真理性等价于数学系统的相容性，）数学的真理性等价于数学系统的相容性，无矛盾性是对数学系统的唯一要求无矛盾性是对数学系统的唯一要求 在这里，语句只有逻辑结构而无实际内在这里，语句只有逻辑结构而无实际内容，从公式到公式的演绎过程不涉及到公式容，从公式到公式的演绎过程不涉及到公式的任何意义，这是形式主义与逻辑主义的重的任何意义，这是形式主义与逻辑主义的重要区别。

要区别 对于对于形式主义者形式主义者来说，数学本身就是形来说，数学本身就是形式系统，各自建立自己的概念、自己的公理、式系统，各自建立自己的概念、自己的公理、自己的推导定理的法则以及各自的逻辑；把自己的推导定理的法则以及各自的逻辑；把这些演绎系统中每一个发展起来，这就是数这些演绎系统中每一个发展起来，这就是数学的任务学的任务  对于任何形式系统，确定其相容性是形对于任何形式系统，确定其相容性是形式主义纲领的首要任务式主义纲领的首要任务希尔伯特希尔伯特提出了一提出了一整套直接证明形式系统相容性的设想，这套整套直接证明形式系统相容性的设想，这套设想被称之为设想被称之为““证明论证明论””或或““元数学元数学””，它，它是形式主义纲领的核心是形式主义纲领的核心 在在19281928年的国际数学家大会上，希尔伯年的国际数学家大会上，希尔伯特非常自信地说：特非常自信地说：““利用这种新的数学基础，利用这种新的数学基础，人们完全可以称它为证明论，我将可以解决人们完全可以称它为证明论，我将可以解决世界上所有的基础性问题世界上所有的基础性问题他尤其相信能他尤其相信能够解决相容性问题和完备性问题。

够解决相容性问题和完备性问题 希尔伯特纲领提出后不久，加有若干限希尔伯特纲领提出后不久，加有若干限制的自然数论的相容性即获证明这使人们制的自然数论的相容性即获证明这使人们感到形式主义纲领为解决基础危机带来了希感到形式主义纲领为解决基础危机带来了希望但是，望但是，19311931年奥地利数学家年奥地利数学家哥德尔哥德尔（（GodelGodel,1906-1978,1906-1978））证明的一条定理，却证明的一条定理，却 希尔伯特的形式主义纲领是他早年关于希尔伯特的形式主义纲领是他早年关于几何基础公理化方法的发展与深化他在几何基础公理化方法的发展与深化他在《《数理逻辑基础数理逻辑基础》》（（19281928）和）和《《数学基础数学基础》》（（1934-19391934-1939）中对形式主义纲领作出了系统）中对形式主义纲领作出了系统的总结与全面的论述的总结与全面的论述出乎意料地揭示了形式主义方法的内在局限，出乎意料地揭示了形式主义方法的内在局限，明白无误地指出了形式系统的相容性在本系明白无误地指出了形式系统的相容性在本系统内不能证明，从而使统内不能证明，从而使希尔伯特纲领受到了希尔伯特纲领受到了沉重的打击。

这就是著名的沉重的打击这就是著名的““哥德尔不完全哥德尔不完全性定理性定理” 哥德尔不完全性定理哥德尔不完全性定理是数理逻辑中的一是数理逻辑中的一个定理，个定理，1931年年仅年年仅2525岁的奥地利逻辑学家、岁的奥地利逻辑学家、数学家数学家克尔特克尔特.哥德尔哥德尔(Kurt Godel，，1906-1978) 在在《《数学物理月刊数学物理月刊》》上发表了一篇题上发表了一篇题为为《《论数学原理和有关系统中的形式不可判论数学原理和有关系统中的形式不可判定命题定命题》》的论文，论文发表初期并没有受到的论文，论文发表初期并没有受到重视，但仅仅过了几年，这个定理彻底粉碎重视，但仅仅过了几年，这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想了希尔伯特的形式主义理想 3.3 哥德尔不完全性定理哥德尔不完全性定理（（1）它摧毁了数学的所有重要领域能被完全）它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念；公理化这一强烈的信念； 哥德尔的论文指出了公理化过程的局限哥德尔的论文指出了公理化过程的局限性，主要影响有四个方面：性，主要影响有四个方面：（（2）它扑灭了）它扑灭了希尔伯特曾希尔伯特曾设想的路线证明的设想的路线证明的内部相容性的全部希望；内部相容性的全部希望；（（3）它使得人们不得不必须重新评价普遍认）它使得人们不得不必须重新评价普遍认可的数学哲学；可的数学哲学；（（4 4）它把一个新的、强有力且内容丰富）它把一个新的、强有力且内容丰富的分析技术引到了基础研究之中。

的分析技术引到了基础研究之中 ⅠⅠ）歌德尔第一定理）歌德尔第一定理   对对于于包包含含自自然然数数系系的的任任何何相相容容（（彼彼此此矛矛盾盾的的陈陈述述不不同同时时为为公公设设集集所所包包含含））的的形形式式体体系系F，，存存在在F中中的的不不可可判判定定命命题题，，即即存存在在F中中的的命命题题S，，使使得得S和和非非S都都不不是是在在F中中可可证证明明的 数数论论中中有有许许多多著著名名的的猜猜想想，，到到目目前前为为止止，，既既没没有有证证明明也也没没有有推推翻翻例例如如，，哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想、、孪孪生生素素数数是是无无限限的的猜猜想想等等这这些些猜猜想想是是不不可可判判定定的的命命题题吧吧？？如如果果是是，，那那我我们们就就永永远远不能证明不能证明 由此得到，自然数系的任何公设集，如由此得到，自然数系的任何公设集，如果相容的就不是完备的换言之，不管我们果相容的就不是完备的换言之，不管我们能为自然数采用什么样的相容的公设集，总能为自然数采用什么样的相容的公设集，总存在关于自然数的命题存在关于自然数的命题S S，，使得使得S S和非和非S S都不能都不能从这些公设得到证明。

从这些公设得到证明车敕定理车敕定理          对对于于包包含含自自然然数数系系的的任任何何相相容容的的形形式式体体系系F F，，不不存存在在有有效效的的方方法法决决定定F F中中的的哪哪些些问问题在题在F F中是可证的中是可证的 那么，有没有办法去确定一个命题是不那么，有没有办法去确定一个命题是不是可判定的呢？也没有是可判定的呢？也没有19361936年美国逻辑学年美国逻辑学家车敕家车敕( (church)church)证明了下面的定理：证明了下面的定理：ⅡⅡ）哥德尔第二定理）哥德尔第二定理          对对包包含含自自然然数数系系的的任任何何相相容容的的形形式式体体系系F，，F的相容性不能在的相容性不能在F中被证明中被证明 希尔伯特一直想证明数学的内部希尔伯特一直想证明数学的内部相容性相容性问题，但这也无望，因为哥德尔还证明了问题，但这也无望，因为哥德尔还证明了 哥德尔的两条定理指出：哥德尔的两条定理指出：任何一个数学任何一个数学分支都做不到完全的公式推演，而且没有一分支都做不到完全的公式推演，而且没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾。

个数学分支能保证自己没有内部矛盾 哥德尔的两条定理肯定是所有数学定哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中最重要的定理之一人类对于数学的理中最重要的定理之一人类对于数学的认识被迫作出了根本性的改变数学不再认识被迫作出了根本性的改变数学不再是精确论证的顶峰，不再是真理的化身，是精确论证的顶峰，不再是真理的化身，数学有它自己的局限性数学有它自己的局限性 数学上总是存在着无法用理性证明的数学上总是存在着无法用理性证明的直觉，数学远非一大堆毫无生气可言的枯直觉，数学远非一大堆毫无生气可言的枯燥的逻辑堆砌，人类理性根本上也是不可燥的逻辑堆砌，人类理性根本上也是不可能建立这种程式化的逻辑的同时人类在能建立这种程式化的逻辑的同时人类在处理包含思维的抽象体系时有极大的局限处理包含思维的抽象体系时有极大的局限性，因为人的理性乃是根植于这个体系中性，因为人的理性乃是根植于这个体系中的，人无法超越这个体系来理性地审视思的，人无法超越这个体系来理性地审视思维本身歌德尔定理认识到了理性的局限维本身歌德尔定理认识到了理性的局限性，人永远不能超越理性来认识理性性，人永远不能超越理性来认识理性。