苏教版高中数学选修-第二章《圆锥曲线与方程》章末总结.docx

精品名师归纳总结2022 年高中数学全套备课精选 其次章 圆锥曲线与方程章末总结（含解析）苏教版选修 1-1学问点一 圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题, 要有运用圆锥曲线定义解题的意识, “回来定义”是一种重 要的解题策略 应用圆锥曲线的性质时, 要留意与数形结合思想、 方程思想结合起来． 总之,圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用,要留意敏捷运用．例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为 2, F1, F2 为左、右焦点, P 为双曲线上一点,且∠F 1PF2＝60°, S△PF 1F2＝ 12 3,求双曲线的标准方程．学问点二 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情形,即 直线与其交于一点和切于 一点, 二者在几何意义上是截然不同的,反映在代数方程上也是完全不同的,这在解题中既是一个难点也是一个非常简单被忽视的的方． 圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情形, 反映在消元后的方程上, 就是一元二次方程有两个相等的实数根, 即判别式等于零 而与圆锥曲线有一个交点的直线, 是一种特别的可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结情形 〔 抛物线中与对称轴平行,双曲线中与渐近线平行 〕 ,反映 在消元后的方程上,该方程是一次的．例 22如下列图, O为坐标原点,过点 P〔2, 0〕 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y ＝2x 于 M〔x1, y1〕 , N〔x 2,y 2〕 两点．(1) 求 x1x2 与 y 1y 2 的值。

2) 求证： OM⊥ON.学问点三 轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题,求解的方法有以下几种：(1) 直接法：建立适当的坐标系,设动点为 〔x ,y〕 ,依据几何条件直接寻求 x、y 之间的关系式．(2) 代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换为已知动点．详细的说,就是用所求动点的坐标 x、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满意的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标 x、y 之间的关系式．(3) 定义法：假如所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,就可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4) 参数法：当很难找到形成曲线的动点 P〔x , y〕 的坐标 x,y 所满意的关系式时,借助第三个变量 t ,建立 t 和 x, t 和 y 的关系式 x＝ φ 〔t〕 , y＝ Φ 〔t〕 ,再通过一些条件消掉 t 就间接的找到了 x 和 y 所满意的方程,从而求出动点 P〔x ,y〕 所形成的曲线的一般方程．2例 3 设点 A、 B 是抛物线 y ＝ 4px 〔p>0〕 上除原点 O以外的两个动点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB,垂足为 M,求点 M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线？可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结学问点四 圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热点, 也是圆锥曲线问题中的一个难点, 解决这个难点没有常规的方法, 但解决这个难点的基本思想是明确的, 定点、 定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、22数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点 或值, 就是要求的定点、 定值． 化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,依据等式的恒成立、数式变换等查找不受参数影响的量．x y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 如直线 l ：y＝ kx ＋ m与椭圆4 ＋ 3 ＝1 相交于 A、B 两点 〔A 、B 不是左、右顶点 〕 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结A2 为椭圆的右顶点且 AA2⊥BA2,求证：直线 l 过定点．学问点五 圆锥曲线中的最值、范畴问题圆锥曲线中的最值、范畴问题,是高考热点,主要有以下两种求解策略：(1) 平面几何法平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何学问求解．(2) 目标函数法22建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题, 是常规方法, 其关键是选取适当的变量建立目标函数,然后运用求函数最值的方法确定最值．x y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 已知 A〔4,0〕 , B〔2,2〕 是椭圆MA＋ MB的最值．25＋ 9 ＝ 1 内的两定点,点 M 是椭圆上的动点,求可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结22 y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 已知 F1、F2 为椭圆 x＋ 2 ＝ 1 的上、 下两个焦点, AB是过焦点 F1 的一条动弦,求可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结△ABF2 面积的最大值．章末总结重点解读例 1 解22x y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结如下列图,设双曲线方程为c∵ e＝a＝ 2,∴ c＝ 2a.由双曲线的定义,得| PF1－PF2| ＝ 2a＝ c,a2－ b2＝ 1 〔 a>0, b>0〕 ．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结在△ PF1F2 中,由余弦定理,得：2 2 2F1F2＝ PF1＋PF2－ 2PF12 PF2cos 60 °2＝ 〔 PF1－PF2〕 ＋ 2PF12 PF2〔1 －cos 60 °〕 ,2 2即 4c ＝ c ＋ PF12 PF2. ①又 S△PF1F2＝ 12 3,1∴ PF12 PF2sin 60 °＝ 12 3, 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结即 PF12 PF2＝ 48. ②22 2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结由①②,得 c ＝ 16, c＝ 4,就 a＝ 2,b ＝ c － a ＝ 12,x2 y2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∴所求的双曲线方程为4 －12＝ 1.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2例 2 〔1〕 解 过点 P〔2,0〕 且斜率为 k 的直线方程为： y＝ k〔 x－2〕 ． 把 y＝k〔 x－ 2〕 代入 y ＝ 2x,2 2 2 2消去 y 得 k x － 〔4 k ＋ 2〕 x＋ 4k ＝0,由于直线与抛物线交于不同两点,2 2 2 4 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结故 k ≠0且 Δ ＝ 〔4 k ＋ 2〕2x1x2＝ 4, x1＋ x2＝ 4＋ k2,∵ M、N 两点在抛物线上,－ 16k ＝ 16k ＋ 4>0,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 2∴ y12 y2＝4x12 x2＝ 16,而 y12 y2<0,∴ y1y2＝－ 4.→ →（ 2）证明 ∵OM〔 x1, y1〕 ,ON＝ 〔 x2, y2〕 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结OMONx1∴ → 2 →＝2 x ＋ y12 y2＝ 4－ 4＝ 0.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2∴ →OM⊥O→N,即 OM⊥ON.例 3 解 设直线 OA的方程为 y＝ kx 〔 k≠± 1,由于当 k＝±1 时,直线 AB的斜率不可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x存在 〕 ,就直线 OB的方程为 y＝－ ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结进而可求 A4p k2 ,4p 2k 、 B〔4 pkk,－ 4pk〕 ．k可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结于是直线 AB的斜率为 kAB＝ 1－k2,k2－ 1从而 kOM＝ k ,k2－1∴直线 OM的方程为 y＝ k x,①－ k 2直线 AB的方程为 y＋ 4pk＝ k2－ 1〔 x－4pk 〕 ．②2 2将①②相乘,得 y ＋ 4pky＝－ x〔 x－ 4pk 〕 ,2 2 2 2即 x ＋ y ＝－ 4pky＋4pk x＝ 4p〔 k x－ ky〕 ,③2又 k x－ ky＝ x,代入③式并化简,2 2 2得〔 x－2p〕 ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1时,易求得直线 AB的方程为 x＝ 4p.2 2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结故此时点 M的坐标为 〔4 p, 0〕 ,也在 〔 x－ 2p〕 ＋ y ＝ 4p〔 x≠0〕 上．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∴点 M的轨迹方程为 〔 x－2p〕＋ y ＝ 4p〔 x≠0〕 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∴其轨迹是以 〔2 p, 0〕 为圆心,半径为 2p 的圆,去掉坐标原点． 例 4证明 设 A〔 x1, y1〕 , B〔 x2, y2〕 ,y＝ kx＋ m,联立 x2 y24 ＋ 3 ＝ 1,2 2 2得〔3 ＋4k 〕 x ＋ 8mkx＋ 4〔 m－ 3〕 ＝0, Δ ＝64m2k2－ 16 4k2 m2－ 38mk就 x1＋ x2＝－ 3＋ 4k2,24 m－ 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2 ＝3＋ 4k2 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结3＋4k2－ m2>0,8mk即 x1＋ x2＝－ 3＋ 4k2,4 m2－ 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2＝3＋ 4k2 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结又 y1y2＝ 〔 kx1＋ m〕〔 。