现代控制理论 控制系统的状态空间表达式.ppt

第第1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述系统的外部描述外部描述常被称作输出输入描述例如，对SISO线性定常系统 时间域的外部描述：复频率域描述即传递函数描述： uy系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征 状态方程 输出方程系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性1.1 状态空间及状态空间表达式状态空间描述常用的基本概念状态空间描述常用的基本概念输入：输入：外部对系统的作用(激励)，输入包括控制输入和干扰输入输出：输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息 若输出是由传感器测量得到的，又称为观测观测1.1 状态空间及状态空间表达式状态变量状态变量:一个动力学系统的状态变量组定义为：能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态矢量：状态矢量：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量 1.1 状态空间及状态空间表达式状态空间：状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数 状态轨线状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。

随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹1.1 状态空间及状态空间表达式几点解释几点解释 (1) 状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组和t t0 各时刻的任意输入变量组 那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定 1.1 状态空间及状态空间表达式(2) 状态变量组最小性的物理特征(3) 状态变量组最小性的数学特征 (4) 状态变量组的不唯一性 (5) 系统任意两个状态变量组之间的关系 (6) 有穷维系统和无穷维系统 (7) 状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn1.1 状态空间及状态空间表达式线性系统的状态空间表达式线性系统的状态空间表达式描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程状态方程 描述状态变量与输入之间的关系输出方程输出方程 描述输出与状态变量之间的关系1.1 状态空间及状态空间表达式如图所示RLC的电路根据回路电压定律RLCu(t)uc(t)i(t)1.1 状态空间及状态空间表达式令状态变量 x1=uc，x2=i，系统输出 y=uc=x1写成矩阵形式以上方程可表为形如以上方程可表为形如 1.1 状态空间及状态空间表达式动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 线性时变系统 1.1 状态空间及状态空间表达式x n维状态矢量u r维输入(或控制)矢量y m维输出矢量A nxn系统矩阵B nxr输入(或控制)矩阵C mxn输出矩阵D mxr直接传递矩阵状态方程输出方程1.1 状态空间及状态空间表达式连续时间线性系统的方框图连续时间线性系统的方框图 1.2 状态空间表达式的模拟结构图一阶标量微分方程1.2 状态空间表达式的模拟结构图三阶系统微分方程状态空间方程1.2 状态空间表达式的模拟结构图多输入多输出系统1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立1.3.2 从系统结构图建立状态空间表达式1suxxuKTs+1uxK/Ts+1/Tuxux1.3 状态空间表达式的建立z-ppxyus+zs+puyz-ps+puy1.3 状态空间表达式的建立w22zwux1x2yw2s2+2zws+w2uyw2s+2zw1suy1.3 状态空间表达式的建立已知系统的结构框图，求状态空间表达式K1T1s+1uyK2T2s+1K3T3sK41.3 状态空间表达式的建立系统的状态空间表达式为1.3 状态空间表达式的建立s+zs+pu1s+aKsyz-ppx2Kaux3x1y已知系统的结构框图，求状态空间表达式1.3 状态空间表达式的建立系统的状态空间表达式为1.3 状态空间表达式的建立从系统的机理出发建立状态空间表达式从系统的机理出发建立状态空间表达式如图所示的RLC电路，试以电压u为输入，以电容C上的电压 为输出变量，列写其状态空间表达式。

电路的贮能元件有电感 和电容C根据基尔霍夫定律列写电路方程：1.3 状态空间表达式的建立考虑到 三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量，经整理上式变为现在令状态将上式写成矩阵形式即为状态方程1.3 状态空间表达式的建立1.3 状态空间表达式的建立直流电机系统直流电机系统uLRJqRfuff1.3 状态空间表达式的建立电路部分特性取状态变量:机械部分特性1.3 状态空间表达式的建立得：系统输出方程为：1.3 状态空间表达式的建立写成矩阵形式的状态空间表达式为：写成矩阵形式的状态空间表达式为：1.3 状态空间表达式的建立建立如下电路的状态空间表达式1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)1.3 状态空间表达式的建立等效成1/R11/R2uCuu1-x11/C21/C1x2y1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)1.3 状态空间表达式的建立状态方程及输出方程：1/R11/R2uCuu1-x11/C21/C1x2 y1.4 状态空间表达式的建立由系统输入输出描述导出状态空间描述由系统输入输出描述导出状态空间描述已知系统的内部结构，可以求出系统的状态空已知系统的内部结构，可以求出系统的状态空间表达式间表达式如果已知系统的输入如果已知系统的输入/输出描述输出描述(微分方程或传微分方程或传递函数递函数)，可否确定其状态空间表达式？，可否确定其状态空间表达式？ 实现问题实现问题实现是非唯一的，但只要W(s)没有零极点相消则各个实现的阶次相同各个实现都等效于原传递函数1.4 状态空间表达式的建立对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 其传递函数描述 可以导出其状态空间描述为 基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参数矩阵组1.4 状态空间表达式的建立注意的问题实现条件是mn，否则是不可实现的当mn时，d=0当m=n时，d=bn0 此时，系统的传递函数可写为系统的输出直接与输入关联1.4 状态空间表达式的建立传递函数中没有零点时的实现( m=0情形)此时输入输出描述为: 1.4 状态空间表达式的建立选取n个状态变量 状态方程输出方程1.4 状态空间表达式的建立其对应的状态空间描述为: A 友矩阵1.4 状态空间表达式的建立例 求微分方程所示系统的状态空间表达式解：令则由有1.4 状态空间表达式的建立1.4 状态空间表达式的建立传递函数中有零点时的实现( m0情形)其传递函数描述 系统的微分方程描述1.4 状态空间表达式的建立令对上式求拉氏反变换1.4 状态空间表达式的建立1.4 状态空间表达式的建立对上式求拉氏反变换1.4 状态空间表达式的建立1.4 状态空间表达式的建立状态方程和输出方程1.4 状态空间表达式的建立状态空间表达式1.4 状态空间表达式的建立传递函数分子阶次小于分母阶次 mn情形1.4 状态空间表达式的建立关于实现的非唯一性输入输出描述为: 1.4 状态空间表达式的建立其中1.4 状态空间表达式的建立其对应的状态空间描述为: 两种状态空间描述为: 1.4 状态空间表达式的建立多输入-多输出(MIMO)系统微分方程的实现1.4 状态空间表达式的建立1.4 状态空间表达式的建立由结构图不难列出系统的状态空间表达式1.5 状态矢量的线性变换1.5.1状态空间表达式的非唯一性状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的动态系统，可以选择不同的状态变量组，从而得到不同结构的状态空间表达式设给定系统为：1.5 状态矢量的线性变换1.5 状态矢量的线性变换61x23ux3x1y21.5 状态矢量的线性变换x23ux3x1y32-6131.5 状态矢量的线性变换为何同一个系统具有不同的状态空间模型?原因: 状态变量的不同选择这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?1.5 状态矢量的线性变换不同的状态变量组之间的关系实质上是一种线性变换的关系，或称坐标变换状态变量是一组实变量,它们所组成的状态空间为一个实线性空间。

由线性代数知识可知,线性空间中,随着表征空间坐标的基底的选取的不同,空间中的点关于各种基底的坐标亦不同这些基底之间的关系相当于进行了一次坐标变换,而空间中的点的坐标则相当于作了一次相似变换P为可逆的变换矩阵1.5 状态矢量的线性变换状态空间的线性变换状态空间的线性变换设描述同一个线性状态空间的两个设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变维的状态变量向量分别为量向量分别为由线性代数知识可知由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系它们之间必有如下变换关系其中T为nn维的非奇异变换矩阵上述状态变量向量上述状态变量向量 x与与 间的变换间的变换,称为状态的线性变换称为状态的线性变换只有变换矩阵T为非奇异的,才能使上述变换关系是等价的、唯一的和可逆的1.5 状态矢量的线性变换设给定系统为总可以找到任意一个非奇异矩阵T，作线性变换得新状态空间表达式1.5 状态矢量的线性变换例例 试将以下状态空间模型作变换矩阵为下式所示的线性变换作变换矩阵为下式所示的线性变换1.5 状态矢量的线性变换解 线性变换T的逆矩阵为因此,有1.5 状态矢量的线性变换故系统在新的状态变量下的状态空间模型为值得指出的是,状态空间的线性变换只是对状态变量作变换,对系统的输入和输出未作变换,因此系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保持不变持不变。

1.5 状态矢量的线性变换1.5.2 系统特征值的不变性与系统的不变量 由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状态空间模型描述实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并不具有唯一性和不变性那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的?1.5 状态矢量的线性变换线性时不变系统的特征结构由特征值特征值和特特征向量征向量所表征特征多项式特征多项式连续时间线性时不变系统1.5 状态矢量的线性变换均为实常数 (1) 特征多项式(2) 特征方程式 1.5 状态矢量的线性变换特征值特征值连续时间线性时不变系统(1)特征值的代数属性系统特征值就是使特征矩阵(sIA)降秩的所有s值(2)特征值集对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集1.5 状态矢量的线性变换(3) 特征值的形态特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数(4) 特征值类型系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型1.5 状态矢量的线性变换系统的不变量及系统特征值不变性系统矩阵A的一个重要性质是其特征值的不变性，即在状态变量的线性变换中，新老状态方程的系统矩阵的特征值是相同的 1.5 状态矢量的线性变换为了证明这一点，只要证明 即可，证明如下： A阵的特征值是不变的1.5 状态矢量的线性变换这还意味着特征方程是相同的。

即如设系统的特征方程为：则方程的系数是不变的量，故称特征多项式的系数为系统的不变量 特征向量特征向量n维连续时间线性时不变系统，i为A的特征值特征值特征向量的属性：特征向量的属性：(1) 特征向量的不唯一性(2) 单特征值所属特征向量的属性 对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值1、 2、。