相似的性质和判定.docx

三角形相似的判定和性质1一、知识梳理：1、 相似的判定：① 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似两 角对应相等，两个三角形相似② 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似两 边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似③ 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似三边对应成比例，两个 三角形相似④ 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应 成比例，那么这两个直角三角形相似斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似⑤ 两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似三边对应平行，两个三角形相似⑥ 如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1:1）（全等三角形相似）2、 相似的性质：① 相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例② 相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根3、推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似 推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比 例，那么这两个三角形相似4、射影定理：射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上 射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项①CD2=AD • BD； ②AC2=AD • AB；③BC2=BD • AB二、相似的基本图形：一）平行线型如图，若DE〃BC，则△ ADEs^ABC，形象地说图为“A”型或“X”型，故称之为平行线型的基 本图形.例1、如图,在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连结DE交AC于G,交BC于F,则图中相似三角形（不含全等三角形）共有 对.（二）相交线型若ZAED二ZB,则厶ADEs^ABC,称之为相交线型的基本图形.例2、如图，D、E分别为△ ABC的边AC、AB上一点，BD,CE交于点0,且BO△ADE与AABC相似吗?如果是，请说明理由.DOCO, 试问三）母子型如图，有△ ACDs^ABC,称之为“子母”型的基本图形•特别地，令ZACB二90 ,CD则为斜边 上高（如图 9）,则有△ ACDs^ABCs^CBD.例3如图，在厶ABC中，P为AB上一点,要使△ APCACB,还需具备的一个条件是 或 或 或 ；（四）旋转型△ADEs^ABC,称之为旋转型的基本图形.例 4、如图，D ABC 内一点，E ABC 外一点，且Z 1二乙 2, Z 3= Z 4. 证明：△ ABC DBE .（五）三垂直型如右图，AB丄BC, AD丄DE, CE丄BC,则厶ABDs^DCE，这种图形称之为三垂直型.例5、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF丄EC交AB于F，连接FC （ AB > AE）.1 ）求证：△ AEF DCE ；2） △AEF与厶EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；AB（3）设 =k，是否存在这样的k值，使得△ AEFs^BFC，若存在，证明你的结论并求BC出k的值；若不存在，说明理由.随堂练习一．选择题：1. 如图，点P在厶ABC的边AC 上,要判断△ ABPs^ACB,添加一个条件，不正确的是（A.ZABP二ZCB.ZAPB=ZABC2. AABC和ADEF满足下列条件，其中能使△ ABC与厶DEF相似的是（ ）A. AB二c, AC二b, BC二a, DE=.： a, EF=.： b, DF= / cB. AB=1, AC=1.5, BC=2, DE=12, EF=8, DF=1C. AB=3, AC=4, BC=6, DE=12, EF=8, DF=6D. AB=.： 2, AC=1 3, BC=； 5, DE=； 6, EF=3, DF=33. 如图，D、E分别是△ ABC的边AB、BC上的点，DE〃AC,若S : S =1 ： 3,则S : S △BDE △CDE △DOE △AOC的值为（）A.丄 B.丄 C.丄 D.'3 4 9 164. 如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH 上.若AB=5, BG=3，则△ GFH的面积为何？（ ）A. 10 B. 11 C. ■ D. ■2 4二.填空题:5. 如图，AABC中，D 为 BC 上一点，ZBAD二ZC, AB=6, BD=4,则 CD 的长为6. 如图，四边形ABCD为矩形， ，则ZMAN的度数为 度.AB AN BN7. 如图,小伟在打网球时,击球点距离球网的水平距离是8米,已知网高是0.8米,要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为 米.8. △ABC 中，AB： AC： BC=4： 3： 2, △A BC 中, AB : AC : BC=3： 2： 4,贝 IjAABC 与AA BC1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （相似或不相似）.9. 如图，已知△ ABC 中，AE： EB=1: 3, BD： DC=2, AD 与 CE 相交于 F,贝lj 二 FC FD10. 如图，菱形ABCD的边长为1,直线丨过点C,交AB的延长线于M,交AD的延长线于N,貳 '则哈+豊二+, △CEF的面积为匚△AEB 的面积为 S ，则£1的值等于 E G G G G) G Ct©11. 如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF丄AC,垂足为E,12. 已知正方形ABCD的边长为1,延长CD到A,以AC为边向右作正方形ACCD，延长1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C D (如图所示)，以此类推….若AC =2，且点A,2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1D , D , D，…，D都在同一直线上，则正方形ACC D的边长是 .2 3 10 9 9 10 10三. 解答题：13. 如图，等边△ ABC,点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE, AD与BE相交于点F.(1) 试求出ZAFE的度数.(2) AAEF与厶ABE相似吗？说说你的理由.(3) BD2=AD•DF吗？请说明理由.14. 已知：平行四边形 ABCD, E 是 BA 延长线上一点, CE 与 AD、 BD 交于 G、 F 求证：CF2=GF・EF.15. 如图，过ABCD的顶点A的直线交BD于点P,交CD于点Q,交BC的延长线于点R.求证：PQ=PD216. 如图，四边形ABCD, DCFE, EFGH是三个正方形.求Z1 + Z2+Z3的度数.17. 如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm, BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发， 用t (s)表示移动的时间(OWtW6)那么：(1) 当t为何值时，AQAP为等腰直角三角形？(2) 求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3) 当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ ABC相似？九年级数学图形的相似2参考答案一．选择题（共4 小题）1．D 2．C 3．D 4．D二■填空题（共8小题）5. 5 6. 90 7. 2.4 8.相似 9一 10. 1 11 一 12._ - —— a 2 _ 16。