集合问题中常见易错点归类分析答案.doc

集合问题中常见易错点归类分析　　有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：　　　1．代表元素意义不清致误　　例1 设集合A＝｛（, y）∣＋2 y＝5｝，B＝｛（, y）∣－2 y＝－3｝，求AB ． 　 错解： 由 得 从而AB＝{1，2}．分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A、B中元素为点集，所以AB＝{(1，2)}　例2 设集合A＝{y∣y＝＋1，R }，B＝{x∣y＝＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解：　显然Ａ＝｛y∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛∣ｙ≥２｝．所以A∩B=B．　分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，从而A＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B中的元素为, 所以B＝{ ∣≥0}，故A∩B=A　．变式：已知集合，集合，求解：，例3 设集合,，判断A与B的关系错解：分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等集合A中的元素属性是方程，集合B中的元素属性是数，故A与B不具包含关系。

　 　例4设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是(　　)　 　 A．A⊆B B．B⊆A C．A∈B D．B∈A　 　错解：B　 　分析：选D.∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A与B，集合A的元素属性是集合，集合B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B与Ａ，∴B∈A.　评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错． 　　2 忽视集合中元素的互异性致错　　例5 已知集合A={１，3，}，B={１，－＋１}, 且AB，求 的值．　　错解：经过分析知，若－则即或．若则即．从而＝－１，１，２．　分析 当＝１时，A中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故＝－１，２．例6　设Ａ＝｛ｘ∣＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂR｝，求Ａ中所有元素之和．错解：由＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得　（ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０　　（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x2　－１，此时Ａ中的元素之和为－２．　　（２）当ｂ０时，ｘ1 ＋x2　＝－ｂ－２．分析　上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题　　３．忽视空集的特殊性致误例7　 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求实数m的值．错解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，（１）mx＋1＝0的解为－3，由m·(－3)＋1＝0，得m＝；（２）mx＋1＝0的解为2，由m·2＋1＝0，得m＝－；综上所述，或分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了的情况正解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，（１），此时方程无解，（２）mx＋1＝0的解为－3，由m·(－3)＋1＝0，得m＝；（３）mx＋1＝0的解为2，由m·2＋1＝0，得m＝－；综上所述，或或例8　 已知，，若，求ａ的取值范围解：（１），，即（２），方程有两等根－４由得，所以无解（３），方程有两等根０由得，所以（４），方程有两不等根－４，０由得，所以 综上所述，或例9　 已知集合，，若，求ａ的取值范围解：（１），得（２），则或得或综上所述或例１０　 已知集合，，若，求ａ的取值范围解：（1），则，符合题意（2），则综上所述，变式：已知集合，，若，求ａ的取值范围解：当时，所以当时，评注：对于任何集合Ａ，皆有Ａ＝，Ａ∪＝Ａ，Ａ．的特殊性不容忽视．尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面４．忽视端点值能否取得致误例11　已知集合A＝{ｘ∣ｘ≥４，或ｘ＜－５}，Ｂ＝｛ｘ∣＋１≤ｘ≤＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求得取值范围．错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得　ＢＡ．　∴＋３≤－５，或＋１≥４，解得≤－８，或≥３．分析　：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当＝－８时，不符合题意；当＝３时，符合题意，故正确结果应为＜－８，或≥３．评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．５．忽视隐含条件致误例12　设全集Ｕ＝｛２，３，＋２－３｝，Ａ＝｛∣２－１∣，２｝，＝｛５｝，求实数的值．错解：∵＝｛５｝，∴　５Ｓ且　５Ａ，从而，＋２－３＝５，解得＝２，或＝－４．分析　导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以ＡＵ．当＝２时，∣２－１∣＝３Ｓ，符合题意；当＝－４时，∣２－１∣＝９Ｓ，不符合题意；故＝２．评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件．6、忽视补集的含义致错例13 已知全集，集合，集合，则下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 错解：的补集为，故选C。

剖析：本题错误地认为的补集为事实上对于全集，由补集的定义有，但，即为的定义域所以只有当的定义域为R时才有的补集为，否则先求A，再求正解：，所以，而，应选A7、考虑问题不周导致错误例14 已知集合只有一个元素，求a的值和这个元素解：（1），由得，此时符合题意（2）得，此时符合题意综上所述，或。