关注圆锥曲线的通径.docx

关注圆锥曲线的“通径”《解析几何》（必修）第101页介绍了抛物线的通径：经过抛物线b W 的焦点F, 作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于P"卩2两点，线段片"戸2叫做抛物线的 通径类似的，我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径”：过椭圆（双曲线）的焦点， 作垂直于长轴（或实轴）的直线，则直线被椭圆（双曲线）截得的线段叫做椭圆（双曲2b2 线）的“通径”不难求出抛物线的通径长为2p，椭圆和双曲线的“通径”长都是 = 圆锥曲线的“通径”是一条重要的线段，值得我们重视，现举例说明如下： 一、“通径”在高考中的体现[例 1] （1995年全国高考）直线L过抛物线y2=a（x+lXa>U）的焦点，并且与x轴垂直若L被抛物线截得的线段长为4,则a= 分析与略解：所截得的线段就是抛物线的“通径”，所以线段的长为2p = 4j又®a = 2p, :. a = 4[例2] （1999年全国高考）设椭圆 的右焦点为F1,右准线为L1,若过F1且垂直于x轴的弦长等于Fi到Li的距离，则椭圆的离心率是 又F1到分析与略解：过F1且垂直于X轴的弦长就是椭圆的“通径”长,5的距离-c = —,所L^ —=—,即a = 离心率为£c c a c 2以上两题都直接与“通径”有关，利用“通径”的长可以很快算出，如果对“通径”不熟悉，运算量将有所增加。

菩+可=啲一个焦点为％ F2[例3] （1998年全国高考）椭圆 点P在椭圆上，如果线段PF】的中点在y轴上，那么TF1I是匹|的（）A. 7 倍 B. 5倍 C. 4 倍 D. 3 倍 分析与略解：设点p的坐标为（纯，y】）@PF1的中点在y轴上.:耳丄=山即衍=匚，因此，|眄|为半“通径"的长[例4] （2000年高考题）过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两1+1点，若PF与QF的长分别是p、q,贝U 等于（）] 4A. 2a B.加 C. 4a D. a分析与略解：本题可以用特殊位置法来解，因为直线PQ是任意的，所以，可以取最特|PF|=|QF|= —殊的情况：直线PQ垂直x轴时（也就是“通径”）此时丄+丄=4a,故选Cp q这两题虽然没有直接以“通径”的形式给出，但通过对条件的分析，可以转化为“通径” 因此，可以利用“通径”来解这就是“通径”在高考中的体现和启示二、“通径”的性质 如果我们对过圆锥曲线的焦点弦进行研究，将发现“通径”具有如下性质：过圆锥曲线C的焦点F,作直线L交曲线C于P、Q两点，则半“通径”长的倒数是|PF| 的倒数与|QF|的倒数的等差中项证明：如图所示，设焦点到相应准线的距离是P，直线L的倾斜角为整，P、Q到准线的距离分别是吐4，则di =P+|PF|cos^ = p-|QF|cosCf|PF|= edL = ep + e|PF| cos a?同理,epIQF|=Uecos«ep从而|PF|=_1 一 ecoscr因此,1 1 2 1 = |PF| |QF| ep因为，根据圆锥曲线的定义知：半“通径”的长/P=e，所以半“通径”的长=ep，故半 “通径”长的倒数是|PF|的倒数与|QF|的倒数的等差中项。

L +丄丄|PF| |QF| p £具体来说譎抛物线 中1 + 1 _ 八例 4 就是这个性质的具体表现，所以利用这个性质可以立即得出答案综上所述，圆锥曲线的“通径”是圆锥曲线中最基本的线段，它是过焦点的直线中最特殊的一条，和过焦点的弦有密切关系如果解题时注意应用“通径”的这些特点，将减 少运算量，提高解题的速度。