土力学 第三章 土体中的应力计算解析.docx

第五章 土体中的应力计算本章学习要点：地掌握地基中的应力 起的.由于产生条件不 的典型规则的均布荷载 ，这对全书的理解大有本章内容是地基基础设计和施工的基础知识，也是下章讨论地基变形的前提，因此应很好 包括自重应力和附加应力，前者是土受的重力作用而产生的，后者是由于基础等外部荷载所引 同，因此两者的分布规律和计算方法也不同要学会自重应力的计算方法和分布规律，及常用 下地基附加应力的计算方法，并掌握基础底面应力计算和分布特点要求明确有效应力的概念 好处第一节 概述 大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基由天然土层直接支承建 筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基 础地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题如果 地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并 能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒地基中的应力，按照其因可以分为自重应 力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力一般而言，土体在自重作用下，在漫长 的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。

附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和 产生变形的主要原因附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况一、应力〜应变关系的假定真实土的应力〜应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体， 即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解1、 关于连续介质问题 弹性理论要求：受力体是连续介质而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质 为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力2、 关于线弹性体问题 理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完 全恢复为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊 要求的建筑物，这种假设误差过大3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体 而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体 为此进行假设，天然地基作为均质的各向同性体。

二、地基中的几种应力状态计算地基应力时，一般将地基当作半无限空间弹性体来考虑；即把地基看作是一个具有水平界面、 深度和广度都无限大的空间弹性体见教材 P66 图 3－2）常见的地基中的应力状态有如下三种：1、三维应力状态 荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态每一点的应力都是 x、y、z 的函数，每一点的应力状态都有9个应力分量c Q Q ,T ,T ,T ,T ,T ,T，写成矩阵形式则为：xx yy zz xy yx yz zy xz zxcxxTxyc =TcijyxyyTTzxzyTxzTyzzz根据剪应力互等原理，有T =T ,T =T ,T =T ,因此，该单元体只有6个应力分量，即0,0,0, Txy yx yz zy xz zx xx yy zz xy T T xz, yz2、二维应变状态（平面应变状态）二维应变状态是指地基中的每一点应力分量只是两个坐标（X,Z）的函数，因为天然地面可看作一个 平面，并且沿y方向的应变£ = 0，由于对称性，T =T = 0，这时，每一点的应力状态有5个应力 y yx yz分量： c ,c ,c ,T ,T 应力矩阵可表示为：xx yy zz xz zxc 0 T "xx xzc = 0 c 0ij yyT 0 c3、侧限应力状态 侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态；土体只发生竖直向的变形。

由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，（P67图3—5）,即T =1 =1 = 0，应力矩阵为:xy yz zxijxx0yy00azz由8 = 8 = 0na =a ,x y x y并与 a 成正比 z三、土力学中应力符号的规定在进行土中应力计算时：①应力符号的规定法则与弹性力学相同，但正负与弹性力学相反；即当某 一截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面称正面；正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为负， 沿负方向为正②用摩尔圆进行应力状态分析时，法向应力仍以压应力为正，剪应力方向以逆时针方向为正P67 图 3—6）第二节 地基中的自重应力计算 在计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑由半无限弹性体的边界条件可知，其内部任一与地面平行的平面或垂直的平面上，仅作用着竖向应力 a 和水平向应力 a =a ，sz sx sy 而剪应力1 = 01、竖直自重应力asz设地基中某单元体离地面的距离z，土的容重为丫，则单元体上竖直向自重应力等于单位面积上的 土柱有效重量，即a =y -z （3-1）szkpa 或 kN/m2 可见，土的竖向自重应力随着深度直线增大，呈三角形分布。

注：(1) 若计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土 的浮容重丫 '或饱和容重Y计算；sata：当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由水，计算时用丫'b：当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时，在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时应 采用饱和容重c：水下粘土，当IL±1时，用丫'd：如果是介乎砂土和坚硬粘土之间的土，则要按具体情况分析选用适当的容重例如下图中的B点，其竖向自重应力为g =yh +y'h =yh + ( -y )hsz 1 2 1 sat w 2(2) 若地基是由多层土组成，如图3 — 7 (a)(见教材P68),设各土层的厚度为H「H2、……Hn, 相应的容重分别为y ,y ,……y，则地基中的第n层底面处的竖向自重应力为：1 2 nsz 1 1 2 2 3 3 n n=g y H (3 — 2)ii i=12、水平向自重应力g ,gsx syg =y H +y H +y H + + y H在半无限体内，由侧限条件可知，土不可能发生侧向变形(E =E = 0 )，因此，该单元体上两个 xy水平向应力相等并按下式计算：g =g = K g = K yz (3 — 3)sx sy 0 sz 0式中K0——土的侧压力系，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直有效应力之比，可由试验测 定，K0二总，°是土的泊松比。

第三节 地基中的附加应力 在求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续、均匀、各向同性的弹性体，然后根据弹性理 论的基本公式进行计算另外，按照问题的性质，将应力划分为空间（三维）问题和平面问题两大类型 矩形、圆形等基础（L/BvlO）下的附加应力计算即属空间问题（其应力是x,y,z的函数）；条形基础（L/B ±10）下的附加应力计算即属于平面问题（其应力是x,z的函数），坝、挡土墙等大多属于条形基础一、空间问题条件下的附加应力（一）竖直集中力作用下的附加应力 如图P71图3 — 10所示，当半极限弹性体表面上作用着竖直集中力p时，弹性体内部任意点M的六个应力分量Q Q Q ,T =T ,T =T ,T =T，由弹性理论求出的表达式为：x y z xy yx yz zy xz zx3p Z 3Q = -——z 2兀 R 53p \Y2Z 1 - 2uQ = +y 2兀［R 5 31 - (2R + Z) y 2R (R + Z) (R + Z )2 R 3zr31 (2 R + Z) x 2(3 — 6) /xy 2兀xyz 1 - 2u 茁 3(2 R + z) xy(R + z )2 R 3R( R + Z) (R + Z )2 R 3T =如.竺zy 2 兀 R 53 p xz 2T = •-zx 2 兀 R 5式中：Q ,Q ,Q x,y,z方向的法向应力xyzT ,T ,T ——剪应力xy xz zyU——土的泊松比R——M点至坐标原点o的距离R =存 + y2 + z2 =、r2 + z2B 直角三角形OM'M中OM 与MM'的夹角上式为著名的布幸内斯克（Boussinesq ）解答，它是求解地基中附加应力的基本公式。

对于土力学来说，&具有特别重要的意义，它是使地基土产生压缩变形的原因由公式可知，垂 z直应力&只与荷载P和点的位置有关，而与地基土变形性质无关（u, E）z由几何关系：R2二r2 + z2 ； （3 —6a）可以写为：3—7)1 = K.Z 2兀• z 2 「 r ~\ 5/2 z 21 + (- )2式中：1r 15/21 + ( )2zz竖直集中力作用下的竖向应力分布函数，它是二的函数;z可由P72图3 — 11和表3 — 1中查得从式 3— 7 可知（1）在集中力作用线上（即r二0, K二旦，& =空•上），附加应力&随着深度z的增加而递减（见 2兀 z 2兀 z 2 z教材 P73 图 3-12）；（2）当离集中力作用线某一距离r时，（由3 —6a可知）在地表处的附加应力& =0，随着深度的z增加，&逐渐递增，但到一定深度后，&又随着深度z的增加而减小（见教材P73图3-12）zz（3）当z 一定时，即在同一水平面上，附加应力&随着r的增大而减小（见教材P73图3-12）z注：如果的地面上有几个集中力作用时（见教材P73图3-14）,则地基中任意点M处的附加应力bz可以利用式（3－7）分别求出各集中力对该点所引起的附加应力，然后进行叠加，即：b 二 K p + K 邑 + …z 1 z 2 2 z 2…+ K仝n z 2式中：K ,K ,……K分别为集中力p ,p ,……,p作用下的竖向应力分布函数。

1 2 n 1 2 n（二）矩形基底受竖直均布荷载作用时角点下的竖向附加应力 矩形基础当底面受到竖直均布荷载（此处指均布压力）作用时，基础角点下任意点深度处的竖向附 加应力，可以利用基本公式（3－7）沿着整个矩形面积进行积分求得P74 如图 3－16，若设基础面上作用着强度为 p 的竖直均布荷载，则微小面积 dxdy 上的作用力 dp =pdxdy可作为集中力来看待，于是，由该集中力在基础角点o以下深度为z处的M点所引起的竖向附 加应力为：db =如• 1 •处 （3-8）z 2 兀「 r ~\ 5/2 z 21 + （ ）2z将r2二X2 + y2代入上式并沿整个基底面积积分，即可得到矩形基底竖直均布荷载对角点o以下深度 为 z 处所引起的附加应力为：b 二 JbJl 也• z3 dxdyz o O 2兀（Q X2 + y 2 + z2 ）5_ P2兀mn /I 1 、 z m• ( + ) + arctan(^= ),1 + m 2 + n 2 m 2 + n 2 1 + n 2 J1 + m 2 + n 2 _=Ks。