（整理版）初中数学竞赛专题选讲非负数.doc

初中数学竞赛专题选讲非负数一、内容提要1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零.2. 初过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数.　假设a是实数，那么≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数.　假设a是实数，那么a2n≥0〔n是正整数〕.⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.　假设是二次根式，那么≥0，　a≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.　假设二次方程ax2+bx+c=0　(a≠0) 有两个实数根， 那么b2－4ac≥0.　假设b2－4ac≥0　(a≠0)， 那么二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3. 非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a2有最小值0〔当a=0时〕， 也有最小值0〔当x=－1时〕.　　⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，那么这个数就是零.　　　　假设a≥0且－a ≥0，　　那么a=0； 如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：假设a，b，x都是实数数，那么a2+b2≥0,　　≥0,　　a2≥0.⑷假设几个非负数的和等于零，那么每一个非负数也都只能是零.　　例如　假设〔b＋3〕2+=0 那么　　　即　　　∴.二、例题例1. 求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根　证明：把方程左边分组配方，得　　　〔x4+2x2+1〕+(x2+2x+1)+4=0 　　　即〔x2+1〕2+(x+1)2=－4∵〔x2+1〕2＞0，(x+1)2≥0，∴〔x2+1〕2+(x+1)2≥0. 但右边是－4.∴不管x取什么实数值，　等式都不能成立.∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.例2. a取什么值时，根式有意义？　解：∵二次根式的被开方数〔a－2〕(与(a－2)(1－都是非负数，且〔a－2〕(与(a－2)(1－是互为相反数，∴〔a－2〕(＝0.　　〔非负数性质2〕∴a－2=0；或 =0.∴a1=2, 　 a2=1, 　a3=－1.答：当 a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义.例3. 要使等式〔2－x〕2+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.〔1991年市初二数学双基赛题〕解：要使原等式成立∵〔2－x〕2≥0，　∴≤0.∴＝＝－1，(x－4≠0)∴〔2－x〕2＝1，且x－4<0.即　解得　　　　　　　　　　　∴x=3 . 答：x的值是3.例4. 当a,　b取什么实数时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？〔1987年全国初中数学联赛题〕解：∵当△≥0时，方程有实数根.解如下不等式：　　　［2〔1＋a〕］2－4(3a2+4ab+4b2+2)≥0－8a2－16ab－16b2+8a－4≥0，　2a2+4ab+4b2－2a+1≤0，〔a+2b〕2+(a－1)2≤0　①∵〔a+2b〕2≥0且(a－1)2≥0，　　得〔a+2b〕2+(a－1)2≥0　②∴只有当〔a+2b〕2＝0且(a－1)2＝0　不等式①和②才能同时成立.答：当a=1且b=－时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.三、练习1. 在实数集合里有意义，那么　x=____.2. 要使不等式〔a+1〕2≤0成立，实数a=_____.3. ＝0，那么　a=＿＿,　b=＿＿,　a100b101=____.4. 把根号外因式移到根号里：①　－a=＿＿＿， ②　b=＿＿＿＿， ③－c=＿＿＿＿.5.如果a

　　因为左边　a≤0，　　右边≥0　　7.　 －a ∵ b=1,a　　　　　　　8.　x=－, 最大值9.　　　　　　　　10.　　　　　　　　1112. 　△＝8k2+1 ……13. 　用求差法，　配方〔乘上20.5〕14.　　－＜1。