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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟100一、选择题问题:1. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 设A={两件产品中有一件是不合格品}，A1={两件产品中一件是不合格品，另一件也是不合格品}，A2={两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品}，则 求概率P(A1|A)． 所以 故应选(C)． 问题:2. 以下4个结论： (1)教室中有r个学生，则他们的生日都不相同的概率是 (2)教室中有4个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 (3)将C，C，E，E，I，N，S共7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词SCIENCE的概率是 (4)袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，则3个球的最小号码为5的概率为 正确的个数为______ A.1B.2C.3D.4答案:C[解析] 对于4个结论分别分析如下： (1)这是古典概型中典型的随机占位问题．任意一个学生在365天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将r个球随机放入不同的r个盒子中的概率”．设A1={他们的生日都不相同}，则 (2)设A2={至少有两个人的生日在同一个月}，则考虑对立事件， (3)设A3={恰好排成SCIENCE}，将7个字母排成一列的一种排法看做基本事件，所有的排法：字母C在7个位置中占两个位置，共有种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有种占法，字母I，N，S剩下的3个位置上全排列的方法共3!种，故基本事件总数为而A3中的基本事件只有一个，故 (4)设A4={最小号码为5}，则正确． 综上所述．有3个结论正确，选择(C)． 问题:3. 设A，B是任意两个事件，且，P(B)＞0，则必有______A.P(A)≤P(A|B)B.P(A)＜P(A|B)C.P(A)≥P(A|B)D.P(A)＞P(A|B)答案:A[解析] 由于，因此AB=A，而0＜P(B)≤1，所以 P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)． 故选(A)． 问题:4. 一种零件的加工由两道工序组成．第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为______A.1-p1-p2B.1-p1p2C.1-p1-p2+p1p2D.(1-p1)+(1-p2)答案:C[解析] 设A={成品零件}，Ai={第i道工序为成品}，i=1，2． P(A1)=1-p1，P(A2)=1-p2， P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(1-p1)(1-p2)=1-p1-p2+p1p2． 故选(C)． 问题:5. 设事件A，B满足，则下列结论中一定正确的是______ A．互不相容 B．相容 C．P(AB)=P(A)P(B) D．P(A-B)=P(A) 答案:D[解析] 用文氏图，如果A，B满足则相容，所以(A)错误． 如果A，B满足则所以(B)错误． 由于而P(A)P(B)不一定为0，所以(C)错误． 但是，P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)，故选择(D)． 问题:6. 以下结论，错误的是______ A．若0＜P(B)＜1，则A，B相互独立 B．若A，B满足P(B|A)=1，则P(A-B)=0 C．设A，B，C是三个事件，则(A-B)∪B=A∪B D．若当事件A，B同时发生时，事件C必发生，则P(C)＜P(A)+P(B)-1 答案:D[解析] 对于(A)， 即 P(B)-P2(B)=P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-P2(B)． 故P(AB)=P(A)P(B)，故(A)正确． 对于(B)，故(B)正确． 对于(C)，(C)正确． 对于(D)，(D)错误，故选(D)． 问题:7. 设0＜P(B)＜1，P(A1)P(A2)＞0且P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列等式成立的是______ A． B．P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B) C．P(A1∪A2)=P(A1|B)+P(A2|B) D．P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 答案:B[解析] 由P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)可得P(A1A2|B)=0，即P(A1A2B)=0． P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)，故选(B)． 问题:8. 设P(B)＞0，A1，A2互不相容，则下列各式中不一定正确的是______ A．P(A1A2|B)=0 B．P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B) C． D． 答案:C[解析] 由得P(A1A2)=0，于是 (A)正确； P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B) =P(A1|B)+P(A2|B)，(B)正确； (D)正确． 故选(C)． 问题:9. 设X1，X1为独立的连续型随机变量，分布函数分别为F1(x)，F2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为______A.F1(x)+F2(x)B.F1(x)-F2(x)C.F1(x)F2(x)D.F1(x)/F2(x)答案:C[解析] 用排除法． 因为F1(x)，F2(x)都是分布函数，所以 故(A)不正确． 故(B)不正确． 对于(D)，由于所以，型未定式极限，因此，不能保证故(D)不正确． 问题:10. 设随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正态分布N(0，σ2)的密度函数，f2(x)是参数为λ的指数分布的密度函数，已知则______ A．a=1，b=0 B． C． D． 答案:D[解析] 由知四个选项均满足这个条件，所以，再通过确定正确选项．由于 问题:11. 设随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为其中A为常数，则______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 由可得A=6．所以 问题:12. 设随机变量X的密度函数为则概率P{λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值______A.与a无关，随λ增大而增大B.与a无关，随λ增大而减小C.与λ无关，随a增大而增大D.与λ无关，随a增大而减小答案:C[解析] 由密度函数的性质，可得A=eλ．于是 与λ无关，随a增大而增大． 问题:13. 设随机变量X与Y均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记P1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}，则______A.对任意实数μ，都有P1=P2B.对任意实数μ，都有P1＜P2C.只对μ的个别值，才有P1=P2D.对任意实数μ，都有P1＞P2答案:A[解析] 用Φ代表标准正态分布N(0，1)的分布函数，有 由于Φ(-1)=1-Φ(1)，所以p1=p2． 问题:14. 设X的概率密度为则Y=2X的概率密度为______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 所以，故选(C)． 问题:15. 已知随机向量(X1，X2)的概率密度为f1(x1，x2)，设则随机向量(Y1，Y2)的概率密度为f2(y1，y2)=______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 设(X1，X2)的分布函数为F1(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布函数为F2(y1，y2)，则 所以 问题:16. 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，则______A.(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量B.Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C.Z=X-Y是服从均匀分布的随机变量D.Z=X2是服从均匀分布的随机变量答案:A[解析] 当X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布时，(X，Y)的概率密度为 所以，(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量．因此本题选(A)． 问题:17. 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y-X的概率密度fZ(z)=______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 记Z的分布函数为FZ(z)，则 其中Dz={(x，y)|y-x≤z}如下图的阴影部分所示， 将②代入①得 于是 因此本题选(C)． 问题:18. 设随机变量X与Y相互独立，且则概率P{|X-Y|＜1}______A.随σ1与σ2的减少而减少B.随σ1与σ2的增加而增加C.随σ1的增加而减少，随σ2的减少而增加D.随σ1的增加而增加，随σ2的减少而减少答案:C[解析] 由且独立知从而 由于Φ(x)是x的单调增加函数，因此当σ1增加时，减少； 当σ2减少时增加．因此本题选(C)． 问题:19. 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜p＜1)，则X+Y的分布函数______A.为连续函数B.恰有n+1个间断点C.恰有1个间断点D.有无穷多个间断点答案:A[解析] 记Z=X+Y，则Z的分布函数 是n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选(A)． 问题:20. 现有10张奖券，其中8张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为______A.6B.7.8C.9D.11.2答案:B[解析] 记奖金为X，则X全部可能取的值为6，9，12，并且 所以，因此本题选(B)． 问题:21. 设随机变量X取非负整数值，P{X=n}=an(n≥1)，且EX=1．则a的值为______ A． B． C． D．1/5 答案:B[解析] 得到a=(1-a)2，a2-3a+1=0，但a＜1，于是选(B)． 问题:22. 设X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ的泊松分布，令则Y2的数学期望为______ A． B．λ2 。