圆锥曲线三种弦长计算.docx

圆锥曲线三种弦长计算一、一般弦长计算问题：例 1、已知椭圆C :x 2 y 2+ =1 a >b >0 a 2 b2)，直线x y l : - =1 1 a b被椭圆 C 截得的弦长为2 2，且e =63，过椭圆 C 的右焦点且斜率为 3 的直线 l 被椭圆 C 截的弦长 AB，2⑴ 椭圆的方程；⑵弦 AB 的长度.二、中点弦长问题：例 2、过点P (4,1)作抛物线y 2 =8 x的弦 AB，恰被点 P 平分，求 AB 的所在直线方程及弦 AB的长度思路分析：因为所求弦通过定点 P，所以弦 AB 所在直线方程关键是求出斜率 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.k，有 P 是弦1()1 23 ´三、焦点弦长问题： 例 3、（同例 1、⑵）答案一、一般弦长计算问题：例 1、已知椭圆C :x 2 y 2 x y + =1 a >b >0 ，直线 l : - =1a 2 b2 1 a b被椭圆 C 截得的弦长为 2 2 ，且e =63，过椭圆 C 的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆 C 截的弦长 AB，⑴求椭圆的方程；⑵弦 AB 的长度.思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.解析：⑴由l1被椭圆 C 截得的弦长为2 2，得a 2 +b 2 =8，………①又e =6 c 2 2，即 =3 a 2 3，所以a2 =3b 2………………………….②联立①②得a2 =6, b 2=2，所以所求的椭圆的方程为x 2 y 2+ =16 2.⑵∴椭圆的右焦点F (2,0)，∴l 的方程为：2y = 3 (x-2)，代入椭圆 C 的方程，化简得，5x 2 -18 x +6 =0由韦达定理知，x +x =1 218 6, x x =5 5从而x -x =1 2(x +x1 2)2-4 x x = 1 22 65，由弦长公式，得AB = 1 +k2x -x = 1 + 1 2( )22 6 4 6=5 5，2222即弦 AB 的长度为4 65点评：本题抓住l1的特点简便地得出方程①，再根据e得方程②，从而求得待定系数a 2 , b 2，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题：例 2、过点P (4,1)作抛物线y 2 =8 x的弦 AB，恰被点 P 平分，求 AB 的所在直线方程及弦 AB的长度思路分析：因为所求弦通过定点 P，所以弦 AB 所在直线方程关键是求出斜率 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.k，有 P 是弦解法 1：设以 P 为中点的弦 AB 端点坐标为A (x, y ),B(x, y1 1 2 2)，则有y 2 =8 x , y 2 =8 x 1 1 2 2，两式相减，得(y -y1 2)(y +y )=8(x-x1 2 1 2)又x +x =8, y +y =2 1 2 1 2则y -yk = 2 1 =4x -x2 1，所以所求直线 AB 的方程为y -1 =4 (x-4)，即4 x -y -15 =0.解法 2：设 AB 所在的直线方程为y =k (x-4)+1ìïy=k(x-4)+1 由 íïîy2=8x，整理得ky2-8 y -32 k +8 =0.设A (x, y ),B(x, y1 1 2 2)，由韦达定理得y +y =1 28k，又∵P 是 AB 的中点，∴y +y 8 1 2 =1 ，∴2 k=2 Þ k =4所以所求直线 AB 的方程为4 x -y -15 =0.ì由 íî4 x -y -15 =0 y 2 =8 x整理得，y2-2 y -30 =0 ，则 y +y =2, y y =-301 2 1 2有弦长公式得，AB = 1 +1ky -y = 1 + 1 21k´ (y+y )-4y y =1 2 1 25272.点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是 利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用 弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例 3、（同例 1、⑵）另解：⑵∴椭圆的右焦点F (2,0)，∴l2的方程为：y = 3 (x-2)，3xy1 2ìy = 3 (x-2) ï代入椭圆 C 的方程 í 2 2ï + =1î6 2，化简得，5x 2 -18 x +6 =0由韦达定理知，x +x =1 218 6, x x =5 5由l2过右焦点，有焦半径公式的弦长为AB =2 a -e (x+x12)=4 65.即弦 AB 的长度为4 65点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点 弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.4。