04高等代数期末复习.docx

第六　章线性空间一线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可,要证明一个集合是线性空间必须逐条验证.若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间,只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可例:检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:1) 次数等于n(ｎ1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；全体ｎ阶反对称矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;解:1）否因两个n次多项式相加不一定是ｎ次多项式,　例如(ｘn5）（xn2）　32)　n阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的１~8条性质,即全体ｎ阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的全体ｎ阶反对称矩阵”是“n阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可当A,　B为反对称矩阵,k为任点一实数时，有（A+Ｂ)　=A＋Ｂ＝－A-B=－(Ａ+Bﻩ）,即A+B仍是反对称矩阵kA)kＡｋ（　A)(kA)，所以kA是反对称矩阵故反对称矩阵的全体构成线性空间例:齐次线性方程组Aｘ=０的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间,通常称为解空间而非齐次线性方程组Ax=ｂ的全体解向量的集合，在　上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。

二、基维数坐标定义:性空间Ｖ中，如果存在n个线性无关的向量　1，　2，L,n使得：Ｖ中任一向量　都可由1，２，L　，　n线性表示,那么，1,　2，L　,n就称为线性空间Ｖ的一个基，n称为线性空间Ｖ的维数记作　ｄｉｍV=n维数为n的线性空间称为ｎ维线性空间定义(向量的坐标）:设1,２,L,n是线性空间Ｖn的一个基对于任一元素Vn，总有且仅有一组有序数X1，X2,,Xｎ,使则X1,X2，ﻩ,Xｎ这组有序数就称为元素a在基底T1,2,Ｌ　,　n下的坐标，并记作Ｘ　Ｘ１，X2,L,Ｘn例：性空间R22中,就是Ｒ2　２的一个基R2　2的维数为4．任一　2阶矩阵因此A在A1,　Ａ2,A3,气这个基下的坐标为a,ｂ,c,d若另取一个基B1０0,B２10,Ｂ310１１,B４１04cd　（ab)Ｂ1　（bｃ)B2ﻩ(cd)Ｂ3ｄB４因ab此A在B1,B2,B３,B4这个基下的坐标为ab,ｂc，cd,ｄＴ例:考虑全体ｎ阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数３)解：ｎ阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定　义的1~8条性质,即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的全体n阶对称矩阵”是“n阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法　是否封闭即可。

从而全体n阶对称矩阵构成的线性空间EjEｊi(1ijn）即为它的一组基共ﻬ1２Ln*①个,维数是震例:设3(１，2,1,1)°(1,1，１,1)，2(1,１，　1,１），（１,1,11)，　４(1，　１,１，1),在P4中，求向量在基１,２,３,４下的坐标设有线性关系ﻩa1　ｂ２c3ｄ　４，a　bcd1a　bcｄ2则abｃd1,ａｂcｄ１可得在基１,2　,3,　4下的坐标为a１-14,ｃ1d1　４,d４°例：在P4中，由齐次方程组确定的解空间的基与维数解：对系数矩阵作行初等变换，有所以解空间的维数是2,它的一组基为例：设M与Ｖ2分别是齐次方程组为Ｘ2　．．.Xn0,Ｘ1ﻩX2　．..　Xn1Xn的解空间，证明:PｎV１V2.证:由于XｉﻩX２ﻩ...Xｎ　0的解空间是n-1维的，其基为i　(1,１,0，...,０)，２(1,Ｑ１,...,0）,...，　nｌ（Ｉ而由X1X2．．．Ｘn1Xｎ知其解空间是1维的,令Xn1,则其基为（Ｌ1,．..,1）.且１，2，．．．,ｎ　１，即为?“的一组基，从而Ｐｎ乂V2．乂ｄiｍ(Ｐn)ﻩdｉm(Ｖ)dｉm(V2),(也可由交为零向量知)故Pnﻩ乂ﻩV2.二、基变换与坐标变换基变换:设1,　2，,n及1，2,,n是线性空间Ｖｎ中的两个基，若或简记为ａ1１a１2a１n＝(1，２　,,ｎ)a２１a22a2nａn１an２ann=(1　，2,,n　)Ａ(二々）则矩阵A称为由基１，2,,ｎ到基1,　2,，　n的过渡矩阵。

☆)式称为基变换公式.坐标变换:设Vｎ中的元素,在基1,2,，nT的坐标为X1,　X２，,XnL在基１,２,，n下的坐标为y1,ｙ２，　,ynT若两个基满足关系式(6-2）,则有坐标变换公式Xiyiy1X1X2Ay2y２,或＝A１X2XnynynXn第七章线性变换一、线性变换的定义线性空间V到自身的映射称为V的一个变换．定义:线性空间Ｖ的一个变换A称为线性变换，如果对于Ｖ中任意的元素，和数域P中任意数k,都有A(）＝A（）＋　A()；Ａ(k)=Aｋ(）.一般用花体拉丁字母A,B,…表示V的线性变换，A()或Ａ代表元素　在变换A下的像.例？判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1) ?性空间V中,A,其中V是一固定的向量;2) ?性空间Ｖ中，A其中V是一固定的向量；ﻬ（xf,X2X3,X；）．（2XiＸ２,Ｘ2X3，Xi）;０时,不是3) ?在p3中，A（Xｉ，X2，X3)4) ?在p3　中,Ａ(Xi,X２,X3)解:ｉ)当ﻩ０时是;当2) 当0时,是;当ﻩ0时,不是3) 不是.例如当(i,０,０)（yｉMM),有y２,X3y３)y2X3　ｙ3,Xiyi)（2yiｙ２，y2ｙ3,yi)时，kA(　)（2,0,0）,a(ｋ)　(4,0,０)，　A(k)　kA（)。

4) 是.因取ﻩ（Ｘi，X2,X3),A(ﻩ）＝Ａ（Ｘｉyi,Ｘ2=(2Xi2yｉX２y2,Ｘ２=（2ＸiX２,X2Ｘ3,Ｘi)=A+A,A(ｋ）A(kXi,kX2,kＸs）＝ka(),故A是Ｐ3上的线性变换二、线性变换关于基的矩阵定义:设ｉ,2,ﻩ,n是数域Ｐ上n维线性空间V的一组基，Ａ是V中的一个线性变换.基向量的像可以被　基线性表出：用矩阵表示就是A　(ｉ,2,ﻩ，n)＝(A(ｉ)，A（　2)，…，A（ｎ))ｎ)A其中n下的矩阵．矩阵Ａ称为线性变换A在基1,2，定理：设线性变换A在基１,2　，ﻩ,n下的矩阵是Ａ,向量在基１，２,,ｎ下的坐标是(Ｘ1　,　x2,,xn)　,则A在基1,2,ﻩ,n下的坐标(y1,y2，ﻩ,Ｙn)可以按公式计算.例:在空间P［x]n中，线性变换Ｄf(X）ｆ(Ｘ）2n1在基１,x，»,，不下的矩阵是三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系．线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的．一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理：设线性空间V中线性变换A在两组n(6）1，2,ﻩ,n（７)下的矩阵分别为A和B　,从基（6)到(7）的过渡矩阵是X,于是ＢX　1AX.定理告诉我们,同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系为相似．定义：设Ａ，B为数域P上两个ｎ级方阵,如果可以找到数域P上的n级可逆方阵X,使得BX１AX，就说A相似于B　,记作Ａ　~Ｂ.相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有下面三个性质:1. 反身性:Ａ　～A对称性：如果A~Ｂ,那么Ｂ～　A．传递性：如果Ａ~B,B~C，那么Ａ~C.线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来，如果两个矩阵相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果BiﻩX1ＡiＸ,B2　X１A2X,那么B1　Ｂ２X1（Ａ1A2)Ｘ,由此可知，如果BX1ＡX,且f　(x)是数域P上一多项式,那么利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例:R３上的线性变换Ｔ在基10０1211ﻩ0,11，１0下的矩阵为A0　１2０0111　1则基在１，２2,3下的矩阵为(A）1　41ﻩ１ﻩ４1（A）0１1(Ｂ）0４4121ﻩ1ﻩ21１21ﻩ2　42(C)0121(Ｄ）0　2４１ﻩ11２2　２■_3,一例:已知P中线性变换Ａ在基１ﻩ０11=(-1,1，1）,　２=(1,0，－1)，3=(0,1,1）下的矩阵是110,求A在基1=(１,0,0）,2　=(０,１，0)，3=（0，0，1)下的矩阵１１ﻩ0解：因为（1,　2，３）=(1,　２,ﻩ３)　101,所以11ﻩ1(1,２,3)=(　１，　2,3）0１1=(　１,2,3凡１ﻩ0ﻩ1故Ａ在基　1,2，３下的矩阵为１1BX1AX=　１ﻩ00ﻩ10　1ﻩ1　１ﻩ111ﻩ２１1１00　１1=２ﻩ2０。

11１ﻩ12　11０13ﻩ0ﻩ2四、线性变换的特征值和特征向量定义:设Ａ是数域Ｐ上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数,存在一个非零向量，使得A＝(１)那么称为A的一个特征值,而　叫做A的属于特征值的一个特征向量.如果是线性变换A的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数k也是A的属于特征值的特征向量．这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的,因为，一　个特征向量只能属于一个特征值.特征值与特征向量的求法:　确定一个线性变换A的一个　特征值与特征向量的方法可以分成以下几步:性空间V中取一组基1,2，ﻩ,ｎ,写出A在这组基下的矩阵A;1. 求出A的特征多项式EA在数域P中全部的根,它们也就是线性变换　A的全部特征值;把所求得的特征值逐个地代入方程组XiX２（ＥA）2０M(☆）,对于每一个特征值，解方Ｘn程组(☆）,求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基ﻩ1，2,，n下的坐标,这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值，　而相应的线性方程组(☆)的解也就称为A的属于这个　特征值的特征向量.例设线性变换A在基１,2,3下的矩阵是求A的特征值与特征向量.例设矩阵A为142A03404３(2)⑴问A能否相似于对角阵？若能，求一个可逆矩阵P,使得P1AＰ为对角阵.例在空间P[ｘ］n中,线性变换Df（x)　f(Ｘ)２n1在基1＇x'浇’＊)!下的矩阵是D的特征多项式是0.通过解相应的齐次线性方程组因此,D的特征值只有知道,属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一　非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数．五、线性变换的值域与核定义：设Ａ是线性空间Ｖ的一个线性变换,Ａ的全体像组成的集合称为A的值域,用AV表示.所有被A变　成零向量的向量组成的集合称为A的核,用A　1(0)表示．若用集合的记号则AV=Ａ　｜V,A　1(0)＝IA　０,　V线性变换的值域与核都是V的子空间.１ﻩ―，,ﻩ<，、、“,〜一,，十—AV的维数称为A的秩,A　(0)的维数称为A的零度.第九章欧氏。