中考数学第十单元 相似形学案.doc

第十单元 相似形【知识网络】相似三角形的性质相似三角形的判定相似三角形相似多边形的性质相似多边形的判定相似多边形视图与投影黄金分割比例线段比例的性质相似形第一讲 相似形【考点透视】一、考纲指要1． 掌握比例的基本性质定理、合比性质和等比性质，会用它们进行简单的比例变形，会判断四条线段是否成比例；（1）基本性质： （2）合比性质：（3）等比性质：若，且，则2．了解黄金分割的意义：已知C点把线段AB分成两条线段AC，BC（AC＞BC），若AC是BC和AB的比例中项，则称C点把线段AB黄金分割，C叫线段AB的黄金分割点，此时；3． 了解平行线分线成比例定理及截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定定理的证明，会用它们证明线段成比例、线段平行等问题，并会进行有关的计算3． 理解相似多边形的概念 二、命题落点1．比例的性质，如例1、例3、例5； 2．黄金分割的应用，如例2；3．平行线分线成比例定理的应用，如例6； 4．相似形的定义，如例4．【典例精析】例1：下列说法中正确的有 （ ）①两条线段的比是两条线段长度之比，比值是一个正数②两条线段的长度比是“同一单位下”的长度比③两条线段的比与所采用的长度单位无关④两条线段的比有顺序，与不同，它们互为倒数A．1个　　　　B．2个 C．3个　　　　D．4个 解析 两条线段的比，选用同一个长度单位量得两条线段的长度的比叫做两条线段的比．因为线段的长度都是正数，所以比值也是正数．又因为两条线段的比是一个没有单位的正数，因此与所采用的度量单位无关．两条线段a、b，除了a=b之外，≠,所以两条线段的比是有顺序性的．四个说法都正确，故选D． 答案：D． 例2：已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC,下列说法错误的是（ ）A．如果=,那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2=ABBC，那么线段AB被点C黄金分割C． AC与AB的比叫做黄金比 D． 0．618是黄金比的精确值解析 点C为AB的黄金分割点，且AC>BC,则=,即AC2=ABBC；反之，也成立．其中较长线段与原线段的比叫做黄金比．黄金比为,约等于0．618．故选D． 答案：D 例3：已知=,则为 （ ）A．　　　　 B． C．－　　　 D．－解析 由,得5（a－b）=3a,所以2a=5b,得,故选B． 答案：B．例4：下面给出的图形中，不是相似的图形的是 （ ） A．刚买的一双手套的左右两只 B．仅仅宽度不同的两快长方形木板 C．一对羽毛球球拍 D．复印出来的两个“春”字解析 仅仅宽度不同的两快长方形木板不一定是相似的． 答案：B． 例5：若==，则=____．解析 ==，所以==，则=． 答案：例6：如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，＝2，则AB＝___________．解析 运用平行线分线段成比例定理，＝． 答案：6．【常见误区】1．灵活运用比例的基本性质，如例4中，知道了ac=bd，容易得到，不会出现，然后再利用得到，从而利用合比性质得到；虽然得到，不会出现的结果的．2．在判断给定的四条线段是否成比例，常用的方法是先将四条线段长度化成统一的单位，再按从小到大的顺序排列，将最长线段与最短线段的长度乘积与中间两条线段的长度乘积比较，如果积相等，则四条线段成比例；否则不成比例．如已知线段a、b、c、d，a=2厘米,b=30米,c=6厘米,d=10米，试判断它们是否为成比例线段？不要认为,所以线段a、b、c、d不成比例，这样的方法是错误的．3．灵活运用平行线分线成比例定理，它的前提条件是知道有平行线的存在，然后得到了对应线段成比例，但反过来就不一定正确，如下左图，如果AB∥CD∥EF，可以得到，如下右图，如果，但不一定得到AB∥CD∥EF． 【基础演练】1． （2005年玉林）已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为 （ ） A．3:4 B．2:3 C．3：5 D．1:22．下列各组中的四条线段成比例的是 （ ）A．a=，b=3，c=2，d= B．a=4，b=6，c=5，d=10C．a=2，b=，c=2，d= D．a=2，b=3，c=4，d=13．已知点M将线段AB黄金分割（AM＞BM），则下列各式中不正确的是 （ ） A．AM∶BM=AB∶AM B．AM=AB C．BM=AB D．AM≈0．618AB4．有以下命题:①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2，则AC=－1其中正确的判断有 （ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．若，且a+b+c≠0，则k的值为 （ ） A．-1 B． C．1 D．- 6．已知==,求：= ．7．如果两地相距250km，那么在1：10000000的地图上它们相距 cm。

8．已知===，则=____，=____．9．（2005年漳州）在比例尺为1∶500 000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为 千米10．如图：已知A（0，－2），B（－2，1），C（3，2） （1）求线段AB、BC、AC的长． （2）把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A′、B′、C′的坐标,求A′B′、B′C′、A′C′的长． （3）以上六条线段成比例吗？ （4）△ABC与△A′B′C′的形状相同吗？参考答案：1．A 2．C． 3．C． 4．C 5．A． 6．． 7．2．5． 8．； 9．23012．解：A（0，－2），B（－2，1），C（3，2） （1）由勾股定理得：AB= BC= AC==5 （2）由已知得A′（0，－4），B′（－4，2），C′（6，4）由勾股定理得：A′B′= B′C′= A′C′==10 （3）∵ ∴这六条线段成比例 （4）△ABC与△A′B′C′的形状相同．第二讲 相似三角形【考点透视】一、考纲指要1．理解相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

2．会利用相似三角形的判定方法进行三角形的判定： （1）定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 （2）两角对应相等，两三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（4）三边对应成比例，两三角形相似； （5）斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似；（6）直角三角形被斜边上的高所分成的两个直角三角形都与原三角形相似3．利用相似三角形的性质进行简单的计算： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形中的对应线段（中线、角平分线、高等）之比等于相似比； （3）相似三角形的周长比等于相似比； （4）相似三角形的面积比等于相似比的平方 二、命题落点1．相似三角形的判定，如例3、例7；2．相似三角形的性质，如例1、例5、例6； 3．相似三角形的应用，如例2、例4．【典例精析】例1：若△ABC∽△A′B′C′,∠A=45，∠B=105，∠B′=105，则∠C′的度数是 （ ）A．30 B．45 C．30或45 D．75解析 由于△ABC∽△A′B′C′，所以∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，由于∠A=45，∠B=105，所以∠C=30，所以∠C=30． 答案：A． 例2：△ABC的三边长为3∶4∶5，与它相似的△A′B′C′的最短边为6，则△A′B′C′的周长是 （ ）A．12 B．18 C．24 D．36解析 由于△AB与△A′B′C′相似，△ABC的三边长为3∶4∶5，所以△A′B′C′的三边长为3∶4∶5，△A′B′C′的最短边为6，其他两边为8、10，故周长是24． 答案：C． 例3：已知：如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）A．∠APB=∠EPC　　 B．∠APE=90 C．P是BC的中点　 D．BP∶BC=2∶3ABCDEP解析 ∵P是BC的中点，∴AB∶BP=2∶1．又∵E是CD的中点,∴PC∶CE=1∶1．∵∠B=∠C=90,∴△ABP和△ECP不相似．故选C． 答案：C例4：（2004陕西中考）如图，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a,b间的关系一定满足 （ ）ABPCDA．a≥b； B．a≥b； C． a≥b； D．a≥2b．解析 由于矩形是轴对称图形，根据其对称性可知，通常情况下点P的位置有两个，它们关于BC的垂直平分线对称；如果存在一点P，则该点必为BC的中点，此时△ABP≌△DCP，则AP=DP，△APD为等腰直角三角形。

要使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则它们都是等腰直角三角形此时，，即a=2b当点P的位置有两个时，a>2b总之，a≥2b故选D． 答案：D．例5：已知△ABC∽△A′B′C′，周长比为2∶，BC边上的中线长是5，则B′C′边上的中线长是____．解析 由于△ABC∽△A′B′C′，周长比为2∶，所以对应边上的中线长比为2∶，由于BC边上的中线长是5，则B′C′边上的中线长是5． 答案：5． 例6：△ABC的各边之比为2:5:6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边为18cm，那么它的最小边为________．解析 ∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的各边之比是2:5:6，∴△A′B′C′的各边之比是2:5:6设三边长分别是2xcm, 5xcm, 6xcm，依题意，6x=18,∴x=3则2x=6，即最小边为6cm．答案：6cm． 例7：在△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=75，∠C=50，∠A′=55，则△ABC与△A′B′C′ （填写“相似”或“不相似”）解析 在△AB。