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1 第八章第八章 边界层理论边界层理论 §§8-1 边界层的基本概念边界层的基本概念 实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性对层流而言，单位 面积摩擦力的大小 y u d d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力 的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度速度梯度 y u d d 大，粘性力也 大，此时的流场称为粘性流场若速度梯度 y u d d 很小，则粘性力可以忽略，称 为非粘性流场对于非粘性流场，则可按理想流体来处理则 N-S 方程可由 欧拉方程代替，从而使问题大为简化 Vlvl l V vA y u Vl t V l t u m ρρμ ρρ === === 2 223 d d d d 粘性力 惯性力 当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般 雷诺数很大由 v Vl == 粘性力 惯性力 Re，则在这些流动中，惯性力粘性力，所 以可略去粘性力但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为 同一数量级所以，在这一薄层中，两者均不能略去这一薄层就叫边界层， 或叫速度边界层，由普朗特在 1904 年发现 2 a．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流 体薄层，就叫边界层或速度边界层。

b．整个流场分为两部分 层外，0= ∂ ∂ y u ，粘性忽略，无旋流动 层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动 c．由边界层外边界上 ∞ =Vu%99，来定义δ，δ为边界层厚度 d．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层 由于在边界层内， 流体在物体表面法线方向(即 y u ∂ ∂ )速度梯度很大， 所以， 边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小所 以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为， 图8-2空气沿平板边界层速度分布 外部区域 边界层 3 边界层外的流动是无旋的势流 边界层的基本特征有： (1)1u↑，这和实际情况是符合的 边界条件： 1) 壁面外，y=0，u=0； 2) 边界层外边界处，y=δ，u= V∞； 3) 边界层外边界处，y=δ，0= ∂ ∂ =sy y u ； 4) 边界层外边界处，由于u= V∞，由层流边界层微分方程(即普朗特边界 层方程),在边界层的外边界上： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ = 0 d d1 1 2 2 2 2 x p y u y u v x p y u x u u sy μ ρ υ 5) 在平板壁面处，y=0，u=υ=0，又由上式(普朗特边界层方程)，得： 0 d d1 0 2 2 =−= ∂ ∂ = x p y u y μ ； 把边界条件代入(2)式，得： 17 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −= = = = ∞ ∞ 4 4 3 3 2 1 0 2 0 2 0 δ δ δ V a V a a V a a 再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层中 的速度分布规律为： ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ 43 22 δδδ yyy Vu 再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得： δ μ δδδδ μμτ ∞ = ∞ = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == VyyyV y u y y 2462) d d ( 0 32 0w (3) 再将上式代入(1)式求积分，则得到： δ δ ∞ = ∫ Vyu 10 7 d 0 (4) δ δ 2 0 2 630 367 d ∞ = ∫ Vyu (5) 将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得： v x V= ∞ d d 630 37δ δ xvVdd 630 37 = ∞ δδ，积分得： CvxV+= ∞ 2 1260 37 δ 确定积分常数C，x=0，δ=0，C=0，于是得： 18 2 1 Re84. 584. 5 − == ∞ x x V vx δ， v xV x ∞ =Re 它的精确解为 2 1 Re5 − = x xδ，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四 次方精确。

其系数为4.64因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多 越好 由上式可看出：x↑—δ↑；V∞↑—δ↓ 将δ表达式，代入(c)式，得切向应力： 2 1 2 w Re365. 0 − ∞ = x Vρτ 从上式可以看出： 沿平板长度方向(x↑方向)， w τ越来越小， 这是因随x↑， 速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故 总摩擦阻力为： ∫ − ∞ == h 0 2 1 2 wD Re73. 0d L VblxbFρτ 其中b为板宽， 且FD为平板一面的摩擦阻力， 一块板两面的摩擦阻力为2FD 摩擦阻力系数为： 2 1 2 D f Re46. 1 2 1 − ∞ == L blV F C ρ 其中Cf为无量纲数 19 §§8-5 平板紊流边界层近似计算平板紊流边界层近似计算 对紊流必须用另外的方法去找两个补充关系式根据普朗特假设，通常 我们和圆管内的紊流进行比拟并认为圆管中心线上的最大速度相当于平板 未流速度V∞，圆管半径r相当于边界层厚度δ并且假定从平板前缘一开始 (x=0处)就是紊流边界层 那么与圆管一样， 假定紊流边界层内速度分布也服从七分之一次方规律， 则： 7 1 )(δ y Vu ∞ = (1) 并且由公式 g V d L h L ghr 22 2 f f0 w λ ρ τ==和推出： 2 w 8 Vρ λ τ= (2) 在4×103≤Re≤105范围内 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = == max 4/1 25. 0 8 . 0 )( 2660. 0 Re 3164. 0 uV v Vr & λ 其中， v Vr v Vd2 Re==，V为边界层内的平均流速，umax相当于V。

且将r 换成δ，则得： 4/12 w )(0234. 0 δ ρτ ∞ ∞ = V v V (3) 将(1)(3)代入，并且由前节推导0 d d = x p ，最后经积分，微分，再积分得： 20 Cx xV += ∞ 5 1 )(383. 0 ν δ 确定积分常数C，x=0，δ=0，得C=0，得： 5 1 Re383. 0 − = x xδ 代入(c)得： 5 1 2 w Re0297. 0 − ∞ = x Vρτ 则平板一个壁面上的总摩擦阻力 ∫ − ∞ == L L VbLxbF 0 5 1 2 wD Re0371. 0dρτ 摩擦阻力系数为： 5 1 2 D f Re074. 0 2 1 − ∞ == L bLV F C ρ 根据实验测量：Cf的系数比较精确的数值是0.074，则： 5 1 f Re074. 0 − = L C 上式仅适用于5×105≤ L Re≤107 当 L Re107时，速度分布的1/7次规律与实际出入较大，此时层内速度 分布相当于对数规律式，则： () 58. 2 f Relg 455. 0 L C = 表8-1给出了平板层流边界层和紊流边界层的近似计算公式。

从表中可看出，平板层流边界层和紊流边界层的重大差别有： 1) 紊流边界层沿平板壁面法向截面上的速度比层流边界层的速度增加 得快，也即使说紊流边界层的速度分布曲线比层流边界层的速度分布曲线要 21 饱满得多，这与圆管的情况相似； 2) 沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得快， 因为紊 流的δ与 5 4 x成比例， 而层流的δ则与 2 1 x成比例， 在紊流边界层内流体微团发生 横向运动，容易促使厚度迅速增长； 3) 在其他条件相同的情况下， 沿平板壁面上紊流边界层的切向应力沿着 壁面的减小要比层流边界层的减小慢些； 4) 在同一 L Re下，紊流边界层的摩擦阻力比层流边界层的大得多，这是 因为层流中的摩擦阻力只是由不同流层之间发生相对运动而引起的，紊流中 还有流体微团的很剧烈的横向掺混，因而产生更大的摩擦阻力 22 §§8-6 平板混合边界层近似计算平板混合边界层近似计算 为了求平板混合边界层的摩擦阻力，作出下面两个假设： 1) 在A点由层流边界层突然转变为紊流边界层， 即在某一截面上突然发 生转变 2) 在计算紊流边界层的厚度变化(即δ)， 层内速度和切应力的分布时都认 为是从前缘点O开始的(否则前面的有关公式则不能用)。

由以上两个假定，则平板混合边界层的总摩擦阻力： DLOADTABDMOB FFF+= 其中： DM F——代表混合边界层总摩擦力； DL F——代表层流边界层总摩擦力； DT F——代表紊边界层总摩擦力； 则： DLOADTOADTOBDMOB FFFF+−= () 2 222 2 cr LTT 2 Lcr 2 T 2 T ∞ ∞∞∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− +− V bL L x CCC bx V Cbx V CbL V C fff crfff ρ ρδρ 图 8-9 平板混合边界层 23 其中：xcr——为转变点A至前缘点O的距离； Lf C——为层流边界层的摩擦阻力系数； Tf C——为紊流边界层的摩擦阻力系数； b——为垂直黑板方向的平板宽度 由上式，则混合边界层的摩擦阻力系数为： () L f ffff A C L x CCCC Re T cr LTT −= −−= 式中： xcLT Re)( ff CCA−=，取决于层流边界层转变为紊流，边界层的临 界雷诺数Rexc 本书介绍了以下两个公式， 由上式用来计算平板混合边界层的摩阻系数： 5×105≤ L Re≤107， LL f A C ReRe 074. 0 2 . 0 −= (1) 5×105≤ L Re≤109， LL f A C Re)Re(lg 455. 0 58. 2 ′ −= (2) 并且，层流边界层的摩擦阻力系数比紊流的摩阻系数要小得多。

所以， 在混合边界层中，层流边界层越长，则平板摩擦力阻力就越小 24 §§8-7 边界层的分离现象边界层的分离现象 前面几节讲座的是绕平板流动的边界层问题，这类问题比较简单，这是 因为整个流场包括边界层内压力保持不变 但是当粘性流体流经曲面物体时，边界层外边界上沿曲面方向的流体速 度V是改变的，即0 d d ≠ x V ，0 d d ≠ x p ，所以，曲面边界层内的压力也将发生变 化 图 8-10 边界层分离示意图 (a) 流线型物体 (b)非流线形物体 25 下面我们就来分析由于压力的变化，即0 d d ≠ x p 对边界层内流动的影响， 进一步说明流动离开物体而分离的原因并且，由于层内0= ∂ ∂ y p ，故 x p x p d d d d ∞ = 那么，什么叫边界层分离呢？ 指边界层从某个位置开始脱离物面，此时物面附近出现回流现象，这样 的现象又称作边界层脱体现象 流体绕流机翼，无穷远处来流速度为V∞，压力为p∞下面我们只研究上 半表面并把它放大，如图所示，沿上表面流体先加速，即0 d d x V ，到最小截 面M处，流速最大为Vmax，反之，压力沿x下降，即0 d d x p ，到最小截面处 压力最小为pmin。

图中实线处表示流线，虚线表示边界层的外边界过了M 点以后，由于截面扩大，流体减速，即0 d d x p ，于是， 到某一截面，S点以后，发生边界层分离 下面我们进一步分析分离现象的物理过程，我们知道粘性力，即摩擦力 ∞ V ∞ p x )(xp 图 8-11 曲面边界层分离形成示意图 26 对流体的流动起阻碍作用， 即损耗动能， 减低流速， 而越靠近物体壁面(因 y u d d 越大)受粘性力的阻滞作用。