第5章-图像变换-傅里叶变换课件.ppt

第第5章章图像变换图像变换问题的提出问题的提出v目的：为达到目的：为达到某种目的某种目的将原始图象变换映射到另将原始图象变换映射到另一个空间上，使得图象的某些特征得以一个空间上，使得图象的某些特征得以突出突出，以，以便于后面的便于后面的处理和识别处理和识别v图像变换：图像变换：原则上，所有的图像处理都是图像变换原则上，所有的图像处理都是图像变换本章：图像变换是指数字图像经过正交变换，本章：图像变换是指数字图像经过正交变换，把原先二维空间域中的数据，变换到另外一个把原先二维空间域中的数据，变换到另外一个“变换域变换域”形式描述的过程形式描述的过程v变换后的图象，大部分变换后的图象，大部分能量能量都分布都分布于于低频谱段低频谱段，这对以后图象的，这对以后图象的压缩、压缩、传输传输都比较有利使得运算次数减少，都比较有利使得运算次数减少，节省时间节省时间卷积卷积l考虑一维的情况，假设f(x)(x=0,1,A-1)以及g(x)(x=0,1,C-1)是两个有限离散函数，其线性卷积为 任意函数与脉冲函数卷积的结果，是将该函数平移到脉冲所在位置对于图像二维函数的卷积，则 相关相关2个函数的相关定义为个函数的相关定义为 其中其中f*(i)为为f(i)的复共轭的复共轭 图像变换基础图像变换基础信号变换理论信号变换理论n n“任意任意”的函数通过一定的分解，都能够表的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。

函数类什么是傅立叶变换什么是傅立叶变换n n一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜棱镜是可以将光分解为不同颜玻璃棱镜棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定或频率）来决定n n傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分当我们函数基于频率分解为不同的成分当我们考虑光时考虑光时,讨论它的光谱或频率谱同样讨论它的光谱或频率谱同样,傅傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数5.2傅里叶变换傅里叶变换傅立叶原理傅立叶原理n n傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都 可可可可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加而根据以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加而根据以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加而根据以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加而根据该原理创立的傅立叶变换算法该原理创立的傅立叶变换算法该原理创立的傅立叶变换算法该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始利用直接测量到的原始利用直接测量到的原始利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频频频频 率、振幅和相位。

率、振幅和相位率、振幅和相位率、振幅和相位n n和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法该反和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法该反和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法该反和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号独改变的正弦波信号转换成一个信号独改变的正弦波信号转换成一个信号独改变的正弦波信号转换成一个信号n n因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工最以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工最以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。

最以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号非周期性的非周期性的连续信号连续信号周期性的周期性的连续信号连续信号非周期性的非周期性的离散谱离散谱取样作离散取样作离散化处理化处理周期性的周期性的连续谱连续谱离散化并延拓离散化并延拓为周期性信号为周期性信号周期性的周期性的离散谱离散谱非周期性的非周期性的连续波形连续波形例：求如图所示的函数的傅立叶谱例：求如图所示的函数的傅立叶谱xyf(x,y)Af(x,y)函数函数其傅立叶谱为：其傅立叶谱为：傅立叶谱在(0,0)处取最大值；傅立叶谱在 ux=n vy=n处取零值说明：说明：傅立叶谱通常用lg(1+|F(u,v)|)的图像显示，而不是F(u,v)的直接显示因为傅立叶变换中，F(u,v)随u或v的衰减太快，这样只能表示F(u,v)高频项很少的峰，其余都难于看清楚采用lg(1+|F(u,v)|)显示1.能更好得表示F(u,v)的高频(即F(u,v)0的点)，这样便于对图像频谱的视觉理解；2.这样显示的傅立叶频谱图像中，窗口中心为低频（图像能量），向外为高频（噪声和细节），从而便于分析。

n图像的频率是表征图像中图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度灰度变化剧烈程度的的指标，是指标，是灰度在平面空间上的梯度灰度在平面空间上的梯度n对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图图像梯度的分布图，当然，当然频谱图上的各点与图像上频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的不移频的情况下也是没有情况下也是没有傅立叶频谱图上我们看到的明暗傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小n如：在图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频如：在图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于在图像中灰度变化剧烈的区域，率值很低；而对于在图像中灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高对应的频率值较高例例对比对比傅立叶变换的物理意义傅立叶变换的物理意义梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，我们这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，首先就可以看出，图像的能量分布，如果频如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。

且边界两边像素差异较大的傅立叶变换的物理意义傅立叶变换的物理意义对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的布是以原点为圆心，对称分布的将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期分离出有周期性规律的干扰信号性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰滤波器消除干扰图像傅立叶变换原图像幅度谱相位谱图像傅立叶变换原图像幅度谱相位谱图像傅立叶变换幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多少多少相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位置位置通常我们只关心幅度谱通常我们只关心幅度谱图像傅立叶变换从幅度谱中我们可以看出明亮线反映出原始图像的灰度级变化，这正是图像的轮廓边图像傅立叶变换从幅度谱中我们可以看出明亮线和原始图像中对应的轮廓线是垂直的。

如果原始图像中有圆形区域那么幅度谱中也呈圆形分布图像傅立叶变换图像中的颗粒状对应的幅度谱呈环状，但即使只有一颗颗粒，其幅度谱的模式还是这样图像傅立叶变换这些图像没有特定的结构，左上角到右下角有一条斜线，它可能是由帽子和头发之间的边线产生的 图像的图像的傅里叶傅里叶变换变换是图像在是图像在空域空域和和频域频域之间的变换之间的变换 幅度幅度和相位相位哪个更能影响图像的形状呢请看如下试验先准备两张图片a 图图b 图图图图的的幅幅值值谱谱图图的的幅幅值值谱谱ba图的相位谱图的相位谱图的相位谱图的相位谱ab 图图a a的幅值谱的幅值谱 和图和图b b的相位谱的相位谱 重新组合重新组合 图的幅值谱图的相位谱abb 图的大体轮廓 b图的幅值谱与图的幅值谱与a图的相位谱组合图的相位谱组合 图的相位谱图的幅值谱baa图的大体轮廓由此可以说明相位相位谱谱较幅值谱更能影响更能影响图像的形状形状通俗的说，幅度决定图像的强弱，相位决定图像的频率先将幅值谱设为常数（这里设先将幅值谱设为常数（这里设为为1 1），然后和图像原来的相位谱），然后和图像原来的相位谱结合，进行傅里叶反变换结合，进行傅里叶反变换 图aa 图的相位谱重构图 再将相位谱设为常数（这里设再将相位谱设为常数（这里设为为1），然后和图像原来的幅值谱），然后和图像原来的幅值谱结合，进行傅里叶反变换结合，进行傅里叶反变换 ab图图的幅值谱重构图 由此更加说明由此更加说明相相位谱位谱较幅值谱更能较幅值谱更能影响图像的轮廓。

影响图像的轮廓1）可分性）可分性从上式可以看出，一个二维傅立叶变换从上式可以看出，一个二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶变换来实现可用二次一维傅立叶变换来实现傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质f(x,y)(0,0)N-1N-1xyF(x,v)(0,0)N-1N-1xvF(u,v)(0,0)N-1N-1vu行变换行变换列变换列变换二维傅立叶变换分离成两个一维变换二维傅立叶变换分离成两个一维变换行变换行变换列变换列变换（2）平移性）平移性在空域中，图像原点平移到在空域中，图像原点平移到(x0，y0)时，其对应的频时，其对应的频谱谱F(u,v)要乘上一个负的指数项要乘上一个负的指数项也就是说，当空域中也就是说，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变生相移，而傅立叶变换的幅值不变反之，在频域中，原点平移到反之，在频域中，原点平移到(u0，v0)时，其对应的时，其对应的f(x,y)要乘上一个正的指数项要乘上一个正的指数项因此，当频域中因此，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的产生移动时，相应的f(x,y)在空在空域中也只发。