不该疏忽的“正态分布”.doc

不该疏忽的“正态分布”浙江师范大学附属中学（321004） 刘东升回顾 06 年、07 年全国各地高考试题，不难发现，正态分布这个知识点的考查在逐渐热起来：从 06 年只有一卷考查，上升到 07 年有 4 卷考查，可以预测 08 年高考正态分布这一知识点亦将是一个热点．正态分布的知识结构框图结合 06 年、07 年正态分布考题，对照 08 年高考数学复习大纲，从三个方面分析“正态分布”这一知识点的考查．一、正态分布的概念正态总体密度曲线（正态曲线）的函数表示式 ，2()1()xfxe， ，其中 ， 分别表示总体的平均(,)x0数和标准差，记作 ，正态曲线如图所示，2,N～曲线在 轴上方，并且关于直线 对称，主要考查xx函数表达式的形式，参数 ， 的意义，正态曲线的对称性等．例 1 (07 年高考浙江卷) 已知随机变量 服从正态分布 ，2()N，，则 （ ）(40.8P≤ (0)P≤A． B． C． D． 6.32.68 0.84年份 卷型 试题类型 分值06 年 湖北卷 解答题 19 10浙江卷 选择题 5 5安徽卷 选择题 10 5湖南卷 选择题 5 507 年全国 II 填空题 14 4正态分布正态分布与正态曲线正态曲线的性质标准正态分布与标准正态分布表标准正态分布与一般正态分布的关系应 用 假设检验与质量控制图解析：由于 ，对称轴 ，画出示意图，2,N～ 2x，选 A．(0)()1()10.84.6PP例 2 (07 年高考全国 II 卷)在某项测量中，测量结果 服从正态分布(1,)N．若 在 内取值的概率为 0.4，则 在 内取值的概率为 0(1)， (02)，．解析：由于 ，对称轴 ，画出示意图，2,N～ 1x∵ ，∴(01)()P(02)(01)P，填 ．2.480.点评 这类问题在高考中属于容易题，主要考查正态分布的基础知识及应用数形结合解决问题的能力，利用正态曲线的对称性，把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分面积”问题．二、标准正态分布当 ， 时，有 ，称 服从0121()xfxe标准正态分布，记作 ， 是指标准正态总,0N～0体取值小于 的概率，即 ．这里除考查函数表达式的形式，参0x())xPx数 ， 的意义，正态曲线的对称性外，还有两个重要公式：⑴ ； ⑵ ．00()1()()()aba例 3 (07 年高考湖南卷) 设随机变量 服从标准正态分布 ，已知(01)N，，则 =（ ）(.96.25(|1.96)PA． B． C． D．00.050.975解析：由于 ， ，,N～ (.).2∴ ，(1.96).25P196.P∴ ．|(.)(.)(196)0.75.20.9P另解： ，选(|1.96)(.)(1.96)2(1.96)20.5.9PC．例 4 (07 年高考安徽卷) 以 表示标准正态总体在区间 内取值的概()x(,)x率，若随机变量 服从正态分布 ，则概率 等于（ ）,2N(||PA. B. C. D.()()(1)1)2()解析：由于 ，对任一正态总体 ，取值小于 的概率2,～ ,(2x，()Fx，∴ ， )()()()()PF又 ， ，选 B．( 1)(1F点评 这类问题在高考中属于中档题，主要考查学生对正态分布各符号间的关系的记忆（考试前要回忆一下）及对正态曲线性质的理解，非标准正态分布利用公式 转化为标准正态分布．在解决数学问题的过程中，())Fx将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。

三、在实际问题中的综合应用在实际生产、生活中，许多随机变量都服从或近似服从正态分布，当一随机变量是大量微小的独立的随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布如测量误差、一个群体的身高、考试成绩、射击命中点与靶心距离的偏差等都被认为是服从正态分布的随机变量新课程标准在选修 2-3 中也单独安排了正态分布一节06年高考，湖北省以解答题的形式考查正态分布，这是一个零点突破的信号例 6 (06 年高考湖北卷)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 ．已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12(70,1)N名．(Ⅰ)、试问此次参赛的学生总数约为多少人？(Ⅱ)、若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 【可供查阅的（部分）标准正态分布表 】00())xPx0x0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解析：(Ⅰ)设参赛学生的分数为 ，因为 ，由条件知，10,7N～990)1(90)1()()(2)0.97.28PF这说明成绩在 分以上（含 分）的学生人数约占全体参赛人数的 ，因.%此，参赛总人数约为 ≈526（人） ．28.（Ⅱ）假定设奖的分数线为 分，则xP( ≥x) ＝1－ P（ 179.16，即公共汽车门的高度至少应设计为 180cm，可确保 99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞。

点评： 解决本题的关键是在正确理解题意的基础上，找出正确的数学表达式；而逆向思维和逆向查表，体现解决问题时思维的灵活性对正态分布的考查，主要涉及函数表达式的形式，参数 ， 的意义，正态曲线的对称性，两个重要公式，及非标准正态分布利用公式转化为标准正态分布，在实际问题中的应用等．())Fx。