理论力学第九章刚体的平面运动教学内容.ppt

91 刚体平面运动的概念和运动分解 92 求平面图形内各点速度的基点法 93 求平面图形内各点速度的瞬心法 94 用基点法求平面图形内各点的加速度 第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动 见左图: A点-作圆周运动， B点-作直线运动， AB 杆-而是平面运动一平面运动的定义 刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动9-1 刚体平面运动的概念和运动分解刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动 即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度二平面运动的简化W平面图形的运动方程（91） 四、平面运动的分解：平动和转动 当 角不变时-则刚体作平动 故刚体平面运动- 可以看成是平动和转动的合成运动 当点不动时-则刚体作定轴转动 刚体上任一直线始终与初始位置平行1.水平曲线轨迹上行驶的火车箱是否平移?否刚体的平动:2.平移时，刚体上各点轨迹是平行直线，对吗?不一定可是平行曲线3.平面图形在t 时间内从位置I运动到位置II,是何种运动？IABIIBA以A为基点: 随基点A平动到AB后, 绕基点转 角到A BIABABIIBAAB另一种运动过程：IAB即：刚体的平面运动为平动和转动的合成运动。

以B为基点: 随基点B平动到AB后, 绕基点转 角到A BIIBA 一基点法（合成法） 取A为基点, 将动系固结于A点,动系作平动 取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成9-2 求平面图形内各点速度的基点法已知：A点的速度vA，求B点的速度vB根据速度合成定理则B点速度为：vBAvB其中：vBvBA 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和 这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法 它是求解平面图形内一点速度的基本方法vBAvBBPACOvovovPO例1车轮的半径为R，沿直线作纯滚动，轮轴以速度vO前进，求轮子的角速度和A、B和C各点的速度解（1）轮子纯滚动 vP=0BPACOvo取O为基点由且BPACOvovAOvo（2）A点速度，取O为基点或取P为基点:BPACOvAvA（3）B点速度，取O为基点BPACOvovovBOvB或取P为基点:BPAOvAvBvCOBPACOvovo（4）C点速度，取O为基点或取P为基点:vCBPACOvovCvAvB例2曲柄连杆机构，OA=r，AB= r，OA以匀角速度转动，求B的速度和AB杆的角速度。

OAB30vB= vA/cos30解：vA= OA=r vBA= vAtan30ABvAvBAvAvB OBAABvAvBAvAvB OBA即：平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等这种求解速度的方法称为 速度投影法 由于A, B点是任意的，因此 表示了图形上任意两点速度间的关系而且恒有 ，因此将上式在AB连线上投影，有二速度投影法例3曲柄连杆机构，OA=r，AB= r，OA以匀角速度转动，求B的速度OAB30vB cos30 = vAABvAvB O解：vA= OA=r vB= vA/cos30例4OA=O1 B= r，OA以匀角速度转动，求B的速度，AB杆的角速度， O1 B 杆的角速度vB = vA cos45 解： vA= OA=r OAB45O1vAvB vB A= vB vAvBAAB 1. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？ 速度瞬心的概念9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法 一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心BPACOvovCvAvB几种确定速度瞬心位置的方法(1)已知图形上一点的速度 和图形角速度， 可以确定速度瞬心的位置（P点）且在 顺转向绕A点 转90的方向一侧 (2)已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心 取证明： (4)已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且(b)(a) (3)已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 ，则过A , B两 点分别作速度 的垂线,交点P即为该瞬时的速度瞬心.另：对(4)种(a)的情况，若vAvB， 则是瞬时平动 (5)已知某瞬时图形上A、B两点的速度方向平行且同向，AB连线不垂直A、B的速度则 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动. (各点的加速度不相等) 例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动此时连杆BC的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等设匀，则而的方向沿AC的，瞬时平动与平动不同. 速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法. 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。

若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度： 方向AP，指向与 一致 . 注意的问题 (1)速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的在任一瞬时是唯一存在的 (2)速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零不同于定轴转动 (3)刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的不同于刚体作平动例5曲柄连杆机构，OA=r，AB= r，OA以匀角速度转动，求B的速度和AB杆的角速度OAB30解：用瞬心法求解vA= OA=r vB= PBABABvAvB OBAP例6OA=O1 B= r，OA以匀角速度转动，求B的速度，AB杆的角速度瞬心法）解： vA= OA=r OAB45O1 PvAvBAB 曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平求该位置时的、 及例7解：OA,BC作定轴转动, AB,BD均作平面运动 根据题意： 研究AB, P为其速度瞬心（ ）研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD（）解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点）(已知: R, r , o 轮A作纯滚动，求例 行星齿轮机构解：轴O, 杆OC, 楔块M均作平动, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心）( 平面机构中, 楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔块间无滑动求圆盘的及轴O的速度和B点速度例9题OA=O1B=r=0.1m,EB=BD=AD=l=0.4m,OA的转速n=120 r/min,求F的速度。

DEBAOO1F解：速度分析vEvBvDvA取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动于是,由牵连平动时加速度合成定理可得如下公式一. 基点法 (合成法) 94 用基点法求平面图形内各点的加速度已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , （某一瞬时）求： 该瞬时图形上任一点B的加速度上述公式是一平面矢量方程需知其中六个要素，方能求出其余两个由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量其中：，方向AB，指向与 一致；，方向沿AB，指向A点例1 1滑块A以等速度v沿滑道运动，求图示时刻滑块B的速度和加速度30BvAAR 解：AB杆作瞬时平动，vB30 BvAARaBaAaA在轴上投影：例 解：D点的加速度：椭圆规机构，OD以匀角速度绕O轴转动，OD=AD=BD= l，求图示位置时AB的角加速度和点A的加速度A60BDOPvBvD在和轴上投影：A60BDOvBvDPvB（） 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度及加速度 ,求车轮与轨道接触点P的加速度解：轮O作平面运动，P为速度瞬心， 例 由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（）分析：大小 ？ 2 方向 ？ 故应先求出 由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心以O为基点，有 其中： 做出加速度矢量图，由图中看出： （ 与 等值反向） 即解：(a) AB作平动， 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2， 1和 2是否相等？(a)(b)例1(b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时 曲柄滚轮机构 滚子半径R=15cm, n=60 rpm求：当 =60时 (OAAB),滚轮的， 例1解：取A为基点，指向O点大小？ ？ 方向 作加速度矢量图，将上式向BA线上投影）(）(研究轮B：P2为其速度瞬心ORCBO1rA题已知：恒定 =2rad/s，OA=AB=R=2r=1m，纯滚动。

求图示瞬时B点C点的速度和加速度解： B点C点的速度DvCvAvB速度分析见图ORCBO1rADaAaAaBAnaBAaBnaB B点的加速度（加速度分析如图）B点作绕O1点的圆周运动将式在水平轴上投影：？由知：ORCBO1rABD C点的加速度（加速度分析如图）由式知：aBaBaCBaCBn？解:OA定轴转动 ; AB, BC均作平面运动,(1)求对AB杆应用速度投影定理：对BC杆应用速度投影定理： 已知：图示机构中，OA= r , 以等角速度 o转动, = 60 ABBC, AB=6 r , BC= . 求 该瞬时滑块C的 速度和加速度题(2)求以A为基点求B点加速度：( a )P1为AB杆速度瞬心，而作加速度矢量图, 并沿BA方向投影作加速度矢量图, P2 为BC的瞬心,而 P2C = 9 r再以B为基点, 求将 (b) 式在BC方向线上投影注 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同， 反之，结果为负，说明假设与实际指向相反30一概念与内容1. 刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变2. 刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动 3. 刚体平面运动的分解 分解为 4. 基点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）第九章刚体平面运动习题课5. 瞬心（速度瞬心） (1)任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点 (2)瞬心位置随时间改变 (3)每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动这 种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同 (4) =0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平动,瞬时平动与平动不同6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例7. 求平面图形上任一点速度的方法 (1)基点法： (2)速度投影法： (3)速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例 8. 求平面图形上一点加速度的方法基点法： ，A为基点, 是最常用的方法此外，当 =0,瞬时平动时也可采用方法它是基点法在 =0时的特例。

9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件(1)平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系(2)合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递二解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式注意每一次的研究对象只是一个刚体 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加速 度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量 (基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键） (1) 比较例2和例3可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时,接 。