第一章多项式第五节.ppt

主要内容,引入,不可约多项式,第五节 因式分解定理,因式分解及唯一性定理,二、不可约多项式,在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系,数域，我们考虑数域 P 上的多项式环 P[x] 中多项,式的因式分解.,1. 定义,定义 8 数域 P 上次数  1 的多项式 p(x) 称为,域 P 上的不可约多项式，如果它不能表成数域 P,上两个次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积.,按照定义，一次多项式总是不可约多项式.,正如上面指出的，x2 + 2 是实数域上的不可约,多项式，但是它在复数域上可以分解成两个一次多 项式的乘积，因而不是不可约的这就说明了，一个,,多项式是否不可约是依赖于系数域的.,显然，不可约多项式 p(x) 的因式只有非零常,数与它自身的非零常数倍 cp(x) (c  0) 这两种，此,外就没有了.,反过来，具有这个性质的次数  1 的,多项式一定是不可约的.,由此可知，不可约多项式,p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两种关系，或,者 p(x) | f (x) 或者 ( p(x) , f (x) ) = 1 .,事实上，如果,( p(x) , f (x) ) = d(x) ，那么 d(x) 或者是 1 或者是,cp(x) (c  0) .,当 d(x) = cp(x) 时，就有 p(x) | f (x) .,不可约多项式有下述的重要性质.,2. 性质,定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于,任意的两个多项式 f (x) , g(x) ，由 p(x) | f (x) g(x) 一,定推出 p(x) | f (x) 或者 p(x) | g(x) .,证明,如果 p(x) | f (x) ，那么结论已经成立.,( p(x) , f (x) ) = 1 .,于是由,即得 p(x) | g(x) .,证毕,利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果,不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 f1(x) , f2(x) , … ,,fs(x) 的乘积 f1(x) f2(x) … fs(x) ，那么 p(x) 一定整除,这些多项式之中的一个.,下面来证明这一章的主要定理.,三、因式分解及唯一性定理,因式分解及唯一性定理,次数  1 的多项式 f (x) 都可以唯一地分解成数域 P,上一些不可约多项式的乘积.,所谓唯一性是说 , 如,果有两个分解式,f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) = q1(x) q2(x) … qt(x) ,,那么必有 s = t , 并且适当排列因式的次序后有,pi(x) = ci qi(x) , i = 1 , 2 , … , s ,,其中ci (i = 1 , 2 , … , s ) 是一些非零常数.,数域 P 上每一个,证明,先证分解式的存在性.,我们对 f (x) 的,次数作归纳法.,因为一次多项式都是不可约的，所以 n = 1 时,结论成立.,设  ( f (x) ) = n , 并设结论对于次数低于 n 的,多项式已经成立.,如果 f (x) 是不可约多项式，结论是显然的 , 不,妨设 f (x) 不是不可约的，即有,f (x) = f1(x) f2(x) ，,其中 f1(x)， f2(x) 的次数都低于 n .,由归纳法假设,f1(x) 和 f2(x) 都可以分解成数域 P 上一些不可约多,项式的乘积.,把 f1(x)， f2(x) 的分解式合起来就得到,f (x) 的一个分解式.,由归纳法原理，结论普遍成立.,再证唯一性.,设 f (x) 可以分解成不可约多项式,的乘积,f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) .,如果 f (x) 还有另一个分解式,f (x) = q1(x) q2(x) … qt(x) ,,其中 qi(x) ( i = 1 , 2 , … , t ) 都是不可约多项式, 于是,f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) = q1(x) q2(x) … qt(x) . (1),我们对 s 作归纳法.,当 s = 1 ， f (x) 是不可约,多项式，由定义必有,s = t = 1 ,,且,f (x) = p1(x) = q1(x) .,现在设不可约因式的个数为 s - 1 时唯一性已证.,由,f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) = q1(x) q2(x) … qt(x),得,p1(x) | q1(x) q2(x) … qt(x)，,因此， p1(x) 必能除尽其中的一个，无妨设,p1(x) | q1(x) .,因为 q1(x) 也是不可约多项式，所以有,p1(x) = c1q1(x) , (2),p2(x) … ps(x) = c1-1q2(x) … qt(x) .,由归纳法假定，有,s - 1 = t - 1 , 即 s = t , (3),并且适当排列次序之后有,p2(x) = c2c1-1q2(x) ，即 p2(x) = c2q2(x) ，,pi (x) = ci qi (x) ( i = 3, … , s ) . (4),(2) , (3) , (4) 合起来就是所要证的结论.,证毕,应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基,本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项,式的方法.,实际上，对于一般的情形，普遍可行的,分解多项式的方法是不存在的.,在多项式 f (x) 的分解中，可以把每一个不可约,因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为 1,的多项式，再把相同的不可约因式合并.,于是 f (x),的分解式为,其中 c 是 f (x) 的首项系数， p1(x) , p2(x) , … , ps(x),是不同的首项系数为 1 的不可约多项式，而 r1 , r2 ,,… , rs 是正整数.,这种分解式称为标准分解式.,如果已经有了两个多项式的标准分解式，我们,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.,多项式,f (x) 与 g(x) 的最大公因式 d(x) 就是那些同时在f (x),与 g(x) 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂,的乘积，所带的方幂的指数等于它在 f (x) 与 g(x),中所带的方幂中的较小的一个.,由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项,式因式分解理论的基础.,我们知道，整数也有带余,除法，即,对于任意整数 a , b, b  0 , 都存在唯一的整数,q , r , 使,a = qb + r ,,其中 0  r | b | .,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,,。