高等数学实验室实验46Pi的计算.doc

实验4.6 it的近似计算实验目的在木次试验中，追溯关于I员1周率n的计算历程.通过对割圆术、韦达公 式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，使 学生感受数学思想和数学方法的发展过程，提髙对极限和级数收敛性及收敛 速度的综合认识同时使学住看到数学家对科学真理的永无上境的追求实验指导兀是使人们最经常使用的数学常数人们对兀的研究已经持续了 2500 多年.在今天，这种探索还在继续……1.割圆术汉代著名数学家刘徽在《九章算术注》中创造了割圆术.刘徽注意到圆 内接正多边形的面积囿于圆面积，边数加倍时正多边形的面积随Z增加，圆 内接正多边形而积逐渐逼近圆的而积，圆内接正多边形的周长也逐渐逼近 圆的周长.这充分休现出了朴索的极限思想•.时利用这种方法，刘徽计算了 圆内接正96边形的边长与面积，得到兀~3.14.图46・1 削圆术割圆术从单位圆开始，首先作单位圆的内接止6边形，然后边数加倍,正12边形，正24边形，正48边形，正96边形…… 利用勾股定理可以建立边数和血积的递推公式，进而得到兀的近似值设圆内接正n边形的边长为爲，圆内接正n边形的血积根据勾股定理，边长冇如下递推公式:面积与边长冇如下关系:*6・2川6 • 2/,+,险圆面积S为多边形的面积Z间有如下关系:$2" V S V 2S2n - S” ⑶让我们借助计算机完成刘徽的工作：a[O]=la [n_] : =Sqrt [2_Sgr*t [4_a [n-1] A2]];严多边形边长*)b[n_]:=6*2An*a[n];严多边形周长*)s[n_]:=3*2An*a[n];严多边形面积*)计算结果多边形边数n多边形面积S“多边形边长碍123.105832- 3243.13263中2+ 3483.13935963.14103著名数学家祖充Z(公元429年)，计算了圆内接疋24576边形的边长,得到了 31 的取值范围为 3.1415926 {i,1,n+1}],20];Return[2/u]]Table[{nzVieta[n]z Pi-Vieta[n]}z {n,0,20,2}]Sil—.1415923455701177423•1415926343385629891•1415926523865913458.1415926535145931202.1415926535850932311•1415926535894994880,0-3131655288436031409,0.0201475013317409529,0.0012614966350403261,0•0000788524454921621 =,4.9283126335378 ' 10 ~6 —,3.080196754961 ' 10~Z—,1.92512302494 ' 10^8 -,1.2032018927 ' 10~9,7.52001183 ' 10-11,4.7000074 ' m~p,2.937505 10 "13每增加两项,可以提高1位数的精确度.能不能利川韦达公式构造出一种迭代算法?4.利用级数计算兀 1.莱布尼兹级数(1674年发现)(-/(7) 2k+ \读者对执行如下程序体验一下计算效果.Table [ {n, 严和式的项数★)N[4Sum[ (-l)Aj/(2j+l) , { j, 0,n} ] , 10] , (* 兀的近似值 *)N[Pi-4Sum[ (-1) Aj/(2j+l) , { j,0,n}]] }, (★误差★){n,100,1000,200}]//TableForm1003.151490.009900753003.14491-0.003322255003.14359-0.001996017003.14302-0.001426539003.1427-0.00110988使用前1000项计算大约能精确到百分位.1844年，数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了 n的前200位小数.使用误差估计式计算一下要精确到兀的200位小数需要取级数的多少项？由此可以看到达 什的工作是多么艰巨.2.欧拉的两个级数（1748年发现）z—Lz(2k +1)这两个级数收敛也非常缓慢，计算吋实用价值并不大.请读者在完成试 验任务时对它们的收敛速度进行检验.3.基于arctan x的级数对泰勒级数 arctan x = V- : Y 2R + 1_ co z \、k取2时可得：厂若加•即为莱布尼兹级数，直接使用使收敛速度极慢，必须考虑加速算法.观察级数可知,1刘的值越接近于o,级数收敛越快•山此可以考虑人 1 1令 x = tana = —, a = arctan —5 5小 2 tan & 2x 5 tan la = = 〒=—l-tarrcr 1 — 厂 12那么,2tan(7- 2 tan 2atan 4a = 1一 tair 2a1-2丄12对120 | « 1119因此,7T TT，0 = 4a —上非常接近0.4 4120门 tan 4a -1 119 1所以tan B = =——=——l + tan4a・l , 120 2391 +——119龙=16a-40 = 16 arctan — - 4 arctan -^―5 239-4尹T，•_1 幺 2R + 1 239如(10)现在观察加速效果:arctan[x_,n_]:=Sum[(-1)Aj/(2j+1) xA(2j+1),{j,Ozn}]Table[{n,N [16arctan[1/5,n]-4arctan[1/239, n] , 40] zN[Pi-(16arctan[1/5Z n]-4arctan[1/239,n]),50]//N},{n,1,26,5}]//TableForm-0.04167099・ 74485 # 10"10-5.62847 10"174.01347 10"24-3.15248 • 10Pl2.61824 # 10~380 3.1832635983263598326359832635983263598335 3.14159265261530860814935074766650275536710 3.14159265358979329474737485771534354337915 3.14159265358979323846263936980978913205420 3•14159265358979323846264338327981813208725 3.141592653589793238462643383279502884171取前25项的部分和就可以粘确到n得37位小数.加速效果非常明显！根据这一原理，还可以得到高斯公式 71 - 48arctan一 + 32 arctan 20arctan (11)18 57 239斯托梅尔公式 兀=24 arctan — + 8 arctan —+ 4 arctan」一 (12)8 57 239=5 cot 1S=6cot_I-=8cot~=12cor'99卜•面再列出一些类似公式供读者参考:p4P4P4P4p4p4p4p4=5 cot"Scot"8 cot"15.拉马努金(Ramanujan)公式目前，计算兀的一个极其有效的公式为2V2980?00Z"一0(4町！1103 + 26390斤)(dF 396^(13)这个级数收敛的非常快，级数毎增加一项，可捉高大约8位小数的精度.卜•面进行计算演示:$MaxExtraPreuision=10000; (★计算精度设为 10000 位*)ramanujian[n_]:=2Sqrt[2]/9801*Sum[(4j) ! (26390j+1103)/( (4*99)A (4j) j!A4),{j,0,n}]Table [{nz (★和式的项数*)N [N [Pi-1/ramanu jian [n] , 250] ] } z (★误差* ){n,5,25,5}]//TableForm5-4.74101，10-486-4.59887，10-567-4.49998'10-648-4・4332810-729-4.39148，10-8010-4.3696 '10 一8811-4・36412'10 一 ％12-4.37249，10-10413-4.3928 '10-H21。