
线性代数试题.docx
20页一、单项选择题(只有一个选项正确,共8道小题)1. 设向量组 α1,α2,α3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是 ( ) (A) α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 1 (B) α 1 , α 2 , α 3 + α 1 (C) α 1 , α 2 ,2 α 1 −3 α 2 (D) α 2 , α 3 ,2 α 2 + α 3你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:B解答参考:A中的三个向量之和为零,显然A线性相关;B中的向量组与α1,α2, α3 等价, 其秩为3,B向量组线性无关;C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合,是线性相关向量组2. (A) 必有一列元素全为0; (B) 必有两列元素对应成比例; (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合; (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:C解答参考:3. 矩阵 ( 0 1 1 −1 2 ,0 1 −1 −1 0 ,0 1 3 −1 4 ,1 1 0 1 −1 ) 的秩为( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:C解答参考:4. 若矩阵 ( 1 a −1 2, 1 −1 a 2 ,1 0 −1 2 ) 的秩为2,则 a的值为 。
(A) 0 (B) 0或-1 (C) -1 (D) -1或1你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:B解答参考:5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 −8 x 2 x 3 ,则 f的矩阵为 (A) ( 2 4 0 0 5 −8 0 0 5 ) (B) ( 2 4 0 0 5 −4 0 −4 5 ) (C) ( 2 2 0 2 5 −4 0 −4 5 ) (D) ( 2 4 0 4 5 −4 0 −4 5 )你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:C解答参考:6. 设 A、 B为 n阶方阵,且 A与 B等价, | A |=0 ,则 r(B) (A) 小于n (B) 等于n (C) 小于等于n (D) 大于等于n你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:A解答参考:7. 若矩阵 [ 1 2 2 −3 ,1 −1 λ −3 ,1 0 2 −3 ] 的秩为2,则 λ的取值为 (A) 0 (B) -1 (C) 2 (D) -3你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:C解答参考:8. 设 α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系,则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是 (A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:B解答参考:二、判断题(判断正误,共6道小题)9. 设 A ,B 是同阶方阵,则 AB=BA 。
你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法错误解答参考:10. 若 A是方阵,则 | A |=| A T | 你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法正确解答参考:11. 如果矩阵A与B等价,则A的行向量组与B的行向量组等价你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法错误解答参考:反例: A=( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) , B=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 )12. 非齐次线性方程组 Ax=b 一定有解你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法错误解答参考:13. 若 A、 B是 n阶非零方阵,且 AB=0 ,则 | A |≠0 或者 | B |≠0 你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法错误解答参考:14. 设 λ=0 是 n阶方阵 A的特征值,则方程组 Ax=0 有非零解你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法正确解答参考:(注意:若有主观题目,请按照题目,离线完成,完成后纸质上交学习中心,记录成绩只需提交客观题答案)三、主观题(共12道小题)15. 设 α 1 =( 6 −2 0 4 ) , α 2 =( −3 1 5 7 ) ,则 3 α 1 −2 α 2 =参考答案:3 α 1 −2 α 2 =( 24 −8 −10 −2 )16. 设 α=( −1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) ,则 αAB=参考答案:αAB=( 0 14 )17. 参考答案:1/3,35 18. 是线性______的,它的一个极大线性无关组是_________________。
参考答案:相关(因为向量个数大于向量维数)α 1 , α 2 , α 4 因为α 3 =2 α 1 + α 2 ,A=| α 1 α 2 α 4 | ≠0 19. 时,此方程组只有零解参考答案:r=n 时,此方程组只有零解20. 是分块对角矩阵,其中参考答案:(2n+1)!!21. 参考答案:| AB |=−822. 参考答案:a> 1/ 223. 为标准形参考答案:24. 参考答案:25. 参考答案:26. 用正交变换化二次型为标准型,并求出所用的正交变换及f的标准型问:这个二次型是否是正定的?为什么?参考答案:本次作业是本门课程本学期的第3次作业,注释如下:一、单项选择题(只有一个选项正确,共8道小题)1. 设 A为 n阶方阵,且A2+A−5E=0,则(A+2E)−1=( ) (A) A−E (B) A+E (C) 1 3 ( A−E ) (D) 1 3 ( A+E )你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:C解答参考:A 2 +A−5E=0⇒A 2 +A−2E=3E⇒( A+2E )(A−E)=3E⇒ ( A+2E ) −1 = 1 3 (A−E)2. 若 n维向量 α 1 ,α 2 , ⋯ , α n 线性相关, β为任一 n维向量,则 ( )。
(A) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β线性相关; (B) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β线性无关; (C) β一定能由 α 1 , α 2 ,⋯, α n 线性表示; (D) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β的相关性无法确定你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:A解答参考:3. 设线性方程组 { 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 −3 x 2 −2 x 3 =1 }则此方程组 (A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 有基础解系你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:A解答参考:4. 设 n维向量组 α1,α2,⋯,αs,若任一 维向量都可由这个向量组线性表出,必须有 (A) s= n (B) s< n (C) s> n (D) s≥ n你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:D解答参考:5. 设 α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量,且4阶行列式 | α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a , | γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ,则4阶行列式 | α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |= (A) a+b (B) −a−b (C) a−b (D) b−a你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:C解答参考:6. 设 B,C 为4阶矩阵, A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ,且 α 1 , α 2 , α 3 是线性方程组 Ax=0 的解,则它们是 (A) 基础解系 (B) 线性相关的 (C) 线性无关的 (D) A,B,C都不对你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:B解答参考:7. 设 n维列向量 α= ( 1 2 ,0,⋯,0, 1 2 ) T ,矩阵 A=I−α α T , B=I+2α α T ,则 AB= (A) 0 (B) −I (C) I (D) I+α α T你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:C解答参考:8. (A) (B) (C) (D) 你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:D解答参考:二、判断题(判断正误,共5道小题)9. 设 A ,B 是同阶方阵,则 AB=BA 。
你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法错误解答参考:10. n维向量组 { α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } 线性相关,则 { α 2 , α 3 , α 4 } 线性无关你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法错误解答参考:11. 若方程组 Ax=0 有非零解,则方程组 Ax=b 一定有无穷多解你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法错误解答参考:12. 若 A ,B 均为 n阶方阵,则当 | A |>| B | 时, A ,B 一定不相似你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法正确解答参考:相似矩阵行列式值相同13. 设 A是 m×n 阶矩阵且线性方程组 Ax=b 有惟一解,则 m≥n 你选择的答案: 未选择 [错误]正确答案:说法正确解答参考:(注意:若有主观题目,请按照题目,离线完成,完成后纸质上交学习中心,记录成绩只需提交客观题答案)三、主观题(共12道小题)14. 设 A是 m×n 矩阵, B是 p×m 矩阵,则 A T B T 是 × 阶矩阵参考答案:A T B T 是 n×p 阶矩阵15. 由m个n维向量组成的向量组,当m n时,向量组一定线性相关。
参考答案:m>n时向量组一定线性相关16. 参考答案:a=6(R( A )=2⇒| A |=0)17. _________________参考答案:( 1 2 3 4 ) T +k ( 2 0 −2 −4 ) T 因为R( A )=3 ,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为η 2 + η 3 −2 η 1 ,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得18. 时方程组有唯一解参考答案:当a=−2 时方程组无解,当a=1 时方程组有无穷多个解,当a≠1,−2 时方程组有唯一解19. 参考答案:。












