初中数学-12345模型(于新华).pdf

1 纪博士数数 12345于特讲题 主讲：纪东旭于新华 整理：郑梦前 【研修团队】 郑梦前、顾永清、焦建林、黄萍 学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！（林福凯） 数学解题五境界 第一个境界：正确解题很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行 了，其实这只是最低境界 第二个境界：一题多解我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题一道题目做 完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单对于最后的结果，是不是可以有其它 的合理解释 第三个境界：多题一解完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一 些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目 第四个境界：发现定理到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律这些结论、定理规律 都是解题的有用工具解题高手都有自己的定理库 第五个境界：自己编题解题的最高境界是能够编题不是所有的老师都具备编题的能力解题高手 拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱即便出题者粗心出现了一个 错误，他也能够很快地纠正纠偏 刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西如果没有真正消化吸收为自己的东西，，过一段时间就忘却了过一段时间就忘却了，，真正弄清楚更重要真正弄清楚更重要，，远胜于蜻蜓点远胜于蜻蜓点 水式浏览一遍水式浏览一遍 2 一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当 我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我 觉得更加重要和有意义。

因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方在本地方 的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、 容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕 数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材 的知识点，中考想考满分概率为零学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数 学大格局，适合自己的就是最好的！ 版块一版块一 引入问题引入问题 1 如图 1-1，在 33 的网格中标出了 1 和 2，则 1 2 图 1-1图 1-2 2 如图 1-2，在ABC 中，BAC45，AD 是 BC 边上的高，BD3，DC2，则 AD 的长为_________ 版块二版块二““1 2 3””+ +““4 5””的来源的来源 一般化结论：若45则有 1 tan 1 a a ， 1 tan a （1a ） ， 当 3 2 a 时，则得到 21 tantan= 35 （了解） 当当 a a= =2 时，时，则得到则得到 11 tantan= 23 （重要）（重要） 当 5 2 a 时，则得到 23 tantan= 57 （了解）; 当4a 时，则得到 13 tantan= 45 （次重要） 3 【例 1】 （济南市中考题）如图 2-1，AOB是放置在正方形网络中的一个角，则cosAOB的值是 图 2-1 【例 2】 （2015 湖北十堰）如图 2-2，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别在 AB，AD 上，若 CE=53， 且ECF=45，则 CF 的长为（） A102B53C 5 10 3 D105 3 图 2-2 倍角与半角构造倍角与半角构造 当出现等腰三角形或翻折的背景问题时当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，， 解决策略解决策略 ““顶角底角顶角”” 解题依据解题依据 ““ 1 90 2 顶角底角”” 如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形 ABCABC 中，中，ABAB= =ACAC 若若tan2BCA，则，则tanBAC若若 4 tan 3 BAC，则，则tanABC 4 【例 3】如图 2-3，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点将正方形折叠起来，使点 A 和点 E 重合， 折痕为 MN若 3 1 tanAEN，DCCE10 求ANE 的面积；求ENBsin的值 图 2-3 【例 4】 如图 2-4， 已知正方形 ABCD 的边长为10， 对角线 AC、 BD 交于点 O， 点 E 在 BC 上， 且 CE=2BE， 过 B 点作 BFAE 于点 F，连接 OF，则线段 OF 的长度为。

图 2-4 【例 5】 （2011武汉）如图 2-5，PA 为O 的切线，A 为切点，过 A 作 OP 的垂线 AB，垂足为点 C， 交O 于点 B，延长 BO 与O 交于点 D，与 PA 的延长线交于点 E 求证：PB 为O 的切线； 若 tanABE=，求 sinE 图 2-5 【例 6】如图 2-6，正方形 ABCD 中，点 P 是 BC 的中点，把PAB 沿着 PA 翻折得到PAE,过 C 作 CFDE 交 DE 延长线于点 F，若 CF=2，则 DF= 图 2-6 5 （2002盐城）已知：如图 2-7，在直角三角形 ABC 中，BAC90，ABAC，D 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F，若FGE45 求证：BDBCBGBE；求证：AGBE；若 E 为 AC 的中点，求 EF：FD 的值 【例 7】 （江苏省竞赛题）如图 2-8，等腰RtABC中，90C，D为BC中点，将ABC折叠，使 A点与D点重合，若EF为折痕，则sinBED的值为 图 2-8 【例 8】 （全国初中数学联赛试题）如图 2-9，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的 点，且MBCNMB，则有ABMtan 图 2-9 【例 9】 （天津市竞赛试题）如图 2-10，在梯形 ABCD 中，AD//BC，ADCD，BCCD2AD，E 是 CD 上一点，ABE450，则AEBtan的值等于（） A 2 3 B2C 2 5 D3 图 2-10 6 【例 10】如图 2-11，在四边形 ABCD 中，ABC=90，BC=2AD，点 E 在对角线 AC 上，且 AE=AB,连接 BE，tanABE=2 若DAC=60，CD=19，则线段 BE 的长为 图 2-11 【例 11】 （2010上海）如图 2-12，在 RtABC 中，ACB=90半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D，与 边 AC 相交于点 E，连接 DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P 若 CE=2，BD=BC，求BPD 的正切值； 若 tanBPD=，设 CE=x，ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式 图 2-12 【例 12】如图 2-13，在平面坐标系中，点 A(3，0),B(0，4),点 C 在 x 轴的负半轴上，且OAB=2BCO， 求点 C 的坐标 图 2-13 【例 13】如图 2-14，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线交直线 BC 于点 E，交直线 AB 与点 F， 若 AB=4，BE=3，则 BF 的长为 图 2-14 7 【例 14】如图 2-15，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=20，若在 BC、BD 上分别取一点 M、N，使得 MN+NC 的值最小，则这个最小值为 图 2-15 【例 15】如图 12-16，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，使得点 C 落在点 G 处，若 DE=1，CE=2，BC=6，则 AF 的长为 图 2-16 版块三版块三12345 拓展拓展 若定义符号“2”表示正切值为 2 的锐角，其余类似，则 11 290 ,390 23 ； 11 45 ,2 3135 23 ； 11 2=+45 ,345 32 ； 8 114113 , 223334 ； 【例 16】 （202 年泰州市中考题）如图 3-7，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、 D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是 图 3-7 【例 17】如图 3-8，二次函数 2 23yxx，D（,0） ，在第四象限的抛物线上存在点 P，使线段 AP 与直 线 CD 的夹角为 45，求点 P 的坐标 图 2-8 【例 18】 如图 3-20， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， 边 CD 上有一个动点， 将ADE 沿 AE 翻折得AEF， 连接 BD，分别交 AE、AF 于点 M，O，作BAF 的角平分线 AN 交 BD 于点 N，若3 2BN , 则 OE= 图 3-20 【例 19】(盘锦 2015) 如图 3-9-，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A（，0）和 B（5，0）两点，交 y 轴于点 C，点 D 是线段 OB 上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DE，过点 E 作直线 lx 轴于 H，过点 C 作 CFl 于 F 求抛物线解析式； 3 15 5 yxx 9 如图 3-9，当点 F 恰好在抛物线上时，求线段 OD 的长； 在的条件下： 连接 DF，求 tanFDE 的值； 试探究在直线 l 上，是否存在点 G，使EDG=45？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不 存在，请说明理由 版块四版块四于特讲（解）题于特讲（解）题 20如图，在正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边 CD 上, 1 3 DEDC，连接 AE，将ADE 沿 AE 翻折，点 D 落在点 F 处，点 O 是对角线 BD 的中点，连接 OF 并延长 OF 交 CD 于点 G，连接 BF，BG，则BFG 的周长是 2 10DKBG , DFFGDG DCCKDK , 4 622 10 DFFG , 6 102 10 , 55 DFFG, 12 5 22 5 BFFHDF, 10 12 510 5 BFG C 2,3CGHG, 2 10BG , 3 5BH , 3 5 5 FH , 6 5 FJ , 2 10 5 FG 12 510 5 BFG C 我打算从四个方面讲解临时拉了一个提纲： 一、角的拓展 “12345”主要是研究特殊角的大小大家可以思考，你在这个图形，能够获得哪些角的大小？ 图（1） 图（1）显然1 与2 两个角的正切值为 1/3, 由 113 334 ,因此可得12 正切值为 3/4 从而可得BAF 正切值为 4/3（这是基于两个角互余，正切值互为倒数）； 不要以为这是高中知识实际上就是同一个直角三角形中两个互余锐角的事情 图（2） 图（2）由 114 223 ，因此可得BAF（即顶角）一半的正切值为 1/2 从而可得ABF 的正切值为 2,由( 1 290 2 )，因此FBC 的正切值为 1/2 11 要知道，这些知识，写得慢，对于会的人，在头脑中盘算极快 本身，你要学会口算，自然得掌握一些基本功 没有这样的基本功，你第一次听这样的讲座是非常累人的 二、适度几何 既然是几何问题，就尽可能挖掘其中的几何性质 就这个图形中，有哪些几何性质可值得挖掘呢？ 图（3）图（4）图（5） 图（3）：由于ABMEDM，因此 MB2MD 由此可得 MB2MD，进一步可得 MOMD，即 M 是 OD 的中点MB=3MD 图（4）由于翻折，因此 DNNF，且 DFAE因此 AEOG 图（5）考虑 AE 与 DF 垂直关系，且DAE 的正切值为 1/3这样又可以得到一大片角的信息 FDG 的正切值为 1/3，DGF 的正切值为 3 最最关健的还得到一个重要的几何信息：E、G 是边 CD 的三等分点！ 图（6）如此一来，大家注意了没有：OG 与 BG 相当于光反射 这是由于OGD。