河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期中 数学 Word版含解析.docx

河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．2．已知函数，则（    ）A． B． C． D．3．的展开式中常数项为（    ）A． B． C． D．4．记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ）A．2 B．1 C． D．05．已知底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．6．已知是数列的前n项和，，则（    ）A．2575 B．3435 C．4345 D．51357．若函数在时取得极大值0，则（    ）A． B．或 C． D．8．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则（    ）A．是的周期B．在区间上单调递减C．是奇函数D．在区间上恰有2个零点10．已知数列的通项公式是，前项和为，则（    ）A．数列是等差数列B．存在，使得成立C．当时，最大D．数列的最大值为11．已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（    ）A． B． C．e D．2e三、填空题12．函数的图象在点处的切线方程为 .13．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角 .14．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为 .四、解答题15．已知等差数列的前n项和为，，.(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和.16．记为数列的前n项和，，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.17．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：.18．如图，在三棱锥中，P，Q分别是，的中点，，.  (1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求三棱锥的外接球的表面积.19．已知函数的定义域为，数列满足，若存在数列满足，，且，则称为关于的对称数列.(1)若，，求数列关于的一个对称数列；(2)已知函数，数列为数列关于的对称数列，且，，证明：；(3)已知函数，数列为数列关于的对称数列，证明：.题号12345678910答案DABBDBCCACDABD题号11 答案BCD 1．D由条件，结合复数运算法则求再根据共轭复数求.【详解】  由题可知，∴.故选：D.2．A求出，再代入计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A.3．B写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以常数项为．故选：B．4．B根据等差数列通项的基本量以及前项和的计算即可求解.【详解】设数列的公差为d，因为，所以，所以.故选：B.5．D应用圆锥的体积公式列方程求高，进而求母线长，再应用圆锥侧面积公式求侧面积.【详解】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知，则，所以，则该圆锥的侧面积.故选：D6．B根据已知，应用分组求和、等比数列前n项和公式求.【详解】由题知.故选：B7．C利用导数求函数的极值即可.【详解】由题知，，由在时取得极大值，∴，解得或，经检验，当时，，由，，所以在上单调递减；由，，所以在上单调递增；此时在时取得极大值，满足题意，故，当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去；∴，将代入，解得，所以.故选：C.8．C根据椭圆定义求出，后，再利用余弦定理解三角形计算即可求解.【详解】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形，∴，由椭圆定义知，，∴，.在中，，∴.在中，.  故选：C.9．ACD本题考查余弦型函数的图象与性质，由题可知，所以可知，再根据解析式逐项分析即可.【详解】由题知，，所以最小正周期，故A正确；当时，，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在区间上先减后增，故B错误；为奇函数.故C正确；令，得，，∴，，当时，，当时，，均是在区间上的零点，故D正确.故选：ACD.10．ABD利用等差数列的定义可判断A选项；取可判断B选项；分析可知当时，，当时，，可判断C选项；化简的表达式，结合二次函数的基本性质可判断D选项.【详解】∵，∴，，则为等差数列，故A正确；∵，，∴，故B正确；∵当时，，当时，，∴当时，最大，故C错误；∵，，，∴当时，，当或时，，的最大值为，故D正确.故选：ABD.11．BCD分情况讨论函数单调性，利用导数求出函数的最值，画出图像，找出相切情况，进而可得出答案.【详解】解析  由题知，不等式对任意恒成立，设，则，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，，当时，，当时，，，∴当时.直线恒过点，设直线与的图像相切时，切点为，∴，解得或，∴直线与的图象相切时，切线斜率分别为，，在同一坐标系中作出函数的图象与直线，由图知，要使对恒成立，则，故选：BCD.  12．先求导函数，再求得导函数及原函数在1处的函数值，得到切线的斜率及切点坐标，利用点斜式写出切线方程.【详解】由题知，，，切线的斜率，∴切线方程为，即.故答案为：.13．先根据投影向量定义得，再根据向量垂直得到，再由向量夹角的求法求解即可.【详解】因为在上的投影向量为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以，因为，所以.故答案为：14．2或由已知和双曲线的定义，可得，，，，在中，，在中，利用余弦定理表示出，利用，列出方程，化简可得关于的齐次式，进而求出C的离心率.【详解】设C的半焦距为，D为线段的中点，连接.∵，∴，∴是线段的垂直平分线，∴，，由双曲线的定义知，，∵，∴，∴.∵，，在中，，在中，，∴，化简得，解得或.故答案为：2或.15．(1)(2)（1）设出等差数列的公差，结合等差数列通项及前n项和列出方程求解即可.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设的公差为d，依题意，，解得，，所以的通项公式.（2）由（1）知，，所以.16．(1)(2)（1）利用关系，化简计算可得数列为等比数列，即可得到答案；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和，即可得到答案；【详解】（1）∵，，①∴当时，，    当时，，②①-②，得，∴，    又，∴是首项为1，公比为3的等比数列，    ∴.（2）由（1）知，，    ∴，③    ∴，④    ③-④，得，    ∴.17．(1)答案见解析；(2)证明见解析.（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号确定区间单调性；（2）问题化为证明，构造并利用导函数研究不等式恒成立，即可证.【详解】（1）由的定义域为，，若，则，在内单调递增，若，当时，在内单调递减，当时，，在内单调递增.综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，由，得，设，则，设，则，则即在内单调递增，∵，，∴存在，使得，即，即，，当时，，在内单调递减，当时，，在内单调递增，∴，∵当，即时，，上式取不到等号，∴时，.18．(1)证明见解析(2)(3)（1）设O为的中点，连接，，由勾股定理逆定理可证得，，可证平面，利用线面垂直的性质即可证得结果；（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，由，列出方程组，解出，由,利用坐标运算求出，利用球的表面积公式即可求出结果.【详解】（1）  设O为的中点，如图，连接，，∵，则，∴，    ∵P是的中点，∴，.又，则是边长为2的正三角形，∴，，    ∴，∴.∵，平面，平面，平面，    ∵平面，∴平面平面.（2）由（1）知，两两垂直，以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，因为P，Q分别是，的中点，，则，，，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则，令，得，∴平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.（3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，即，解得，，，所以，则，    ∴，∴三棱锥的外接球的表面积为.19．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题知，数列是关于函数的一个对称数列.理由如下：由题知，，定义域为，∵对任意，，，，，，∴，∴数列是关于函数的一个对称数列.（2）由题知，，    ∴，    ∴，即，∵，∴，    ∴.（3）由题知，，当时，，当时，，∴在区间内单调递减，在区间内单调递增.由题知，，，，不妨令，则一定有，要证，即证，即，    又在区间内单调递减，∴只需证，即证，即证，即证.设，即证，∵在区间内单调递增，∴只需证，两边取对数得，    设，则当时，，∴在区间内单调递增，∴，∴，    。