中考数学二轮培优专题09 倍长中线模型（解析版）.doc

专题09 倍长中线模型 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移倍长中线模型模型：【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE证明：∵点D为∆ABC中BC边中点∴BD=DC在∆ABD和∆ECD中AD=ED∠1=∠2 ∴∆ABD≌∆ECD（SAS） ∴∠ABD=∠ECD ∴AB∥CEBD=DC在∆ADC和∆EDB中AD=ED∠ADC=∠BDE ∴∆ADC≌∆EDB（SAS） ∴∠EBD=∠ACD ∴AC∥BEBD=DC【倍长类中线】已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,连接EC，则∆BDF≌∆CDE【基础过关练】1．在中，，中线，则边的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．【详解】解：如图，延长至，使，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，即∴．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为( 　) A．30 B．24 C．20 D．48【答案】B【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用SAS得出△ADB与△EDC全等，得到AB=CE，利用勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，△ABC的面积等于△ACE的面积，利用三角形的面积公式即可得出结果．【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，如图所示：∵D为BC的中点，∴DC=BD，在△ADB与△EDC中， ，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE=AB=6．又∵AE=2AD=8，AB=CE=6，AC=10，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，则S△ABC=S△ACE=CE•AE=×6×8=24；故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．4．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝_____．【答案】30°【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．【详解】解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，又∵∠ADC＝∠BDE，DE＝DC，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴AC＝BE，∵CD：AC：BC＝1：2：2，设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE，∴FC＝FB＝BC＝m，在Rt△CEF中，cos∠FCE＝＝＝，∴∠FCE＝30°，即∠BCD＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．5．如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：． 【答案】见解析【分析】延长至，使，连接．先证明．得到，，再利用外角性质及等式的性质得到，进而得到，最后即可得到．【详解】证明：如图，延长至，使，连接．∵是的中线，∴．在与中，，∴．∴，．∵，∴．∵，，，∴．在与中，，∴．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．6．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证；（2）延长到点F，使得，连接，易证，然后可得，进而可证，最后问题可求证．【详解】（1）证明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示：∵是的中线，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∵，，∴（AAS），∴，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．7．如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．求证：．【答案】详见解析【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得 ，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.【详解】证明：延长FD至G，使，连结CG，∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，∴，，，，又，，，.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等．8．如图，已知，点是的中点，且，求证：．【答案】证明见解析【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示∵点是的中点，∴DE=CE，∵∴∠1=∠M在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME∵∴MC＋BC=AB∴BM=AB在△BAE和△BME中∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．【提高测试】1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．【详解】解：延长BE交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故选：C．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．2．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．【详解】解：如图，延长到，使得，连接，．，，，在和中，，，，，，故选：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，在△NAE和△CFE中， ，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE，∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．4．如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（    ）A．①②③ B．① C．② D．①②【答案】A【分析】连接，利用SAS可证，从而得出，从而求出，即可判断①；根据全等三角形的性质可得，从而得出四边形的面积为，从而判断②；延长到G使，连接，证出和，最后根据三角形的三边关系即可判断③．【详解】解：如图，连接．∵，F为的中点，∴，．∵，∴，∴．又∵，∴．∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．①正确．∵，∴，∴四边形的面积为．∵，∴四边形的面积为16，为定值．②正确．延长到G使，连接．∵，，，∴，∴．∵，∴，∴．在中，∵，∴．③正确．①②③均正确，故选A．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．5．如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；【详解】四边形是平行四边形 由于条件不足，所以无法证明,故选项错误； 故选项错误；同时延长和交于点 在和 中： 由于条件不足，并不能证明，故选项错误； 为的中点 故选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四。