高等代数北大版教案-第2章行列式.pdf

第二章行列式 1 引言 在中学代数中学过，对于二元线性方程组 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 当二级行列式 0 2221 1211 aa aa 时，该方程组有唯一解，即 2221 1211 222 121 1 aa aa ab ab x， 2221 1211 221 111 2 aa aa ba ba x. 对于三元线性方程组有类似的结论， 在这一章我们把这个结论推广到 n元线性方程组 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ...... .................................. ...... ...... 2211 22222121 11212111 的情形 . 为此，我们首先给出n级行列式的定义并讨论它的性质. 2 排列 一 授课内容：2 排列 二 教学目的：理解掌握排列、逆序、逆序数的求法. 三 教学重难点：逆序数的求法 . 四 教学过程； 定义 1 由n,......,2, 1组成的一个有序数组称为一个级排列 例 2431是一个 4 级排列， 45321是一个 5 级排列 显然，n级排列的总数是21).......2)(1(nnn. 我们记!)1(21nnn 读为“n阶乘” . 定义 2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即 前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序. 一个排列中逆序的个 数称为这个排列的逆序数. 例 2431 中，21，43，41，31 是逆序， 2431 的逆序数是 4.45321 的 逆序数为 9. 排列 n jjj...... 21 的逆序数记为( n jjj...... 21 ) 定义 3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为 奇排列 . 例如 2431 为偶排列， 45321为奇排列 . 定义 把一个排列中两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另 一个排列 . 这样的一个变换称为对换. 定理 1对换改变排列的奇偶性 . 推论奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次不改变排列的奇偶性 定理 2 任意一个n级排列与排列 12n都可以经过一系列的对换 互变，并且所做的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. 3 n 级行列式 一 授课内容：3 n 级行列式 二 教学目的：理解掌握行列式的定义与简单性质. 三 教学重难点：n 级行列式的定义 四 教学过程； 在给出 n 级行列式的定义之前， 先看一下二级行列式与三级行列式的 定义 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaa aaa aaa 322311332112312213 aaaaaaaaa 它们都是一些乘积的和， 而每一个乘积都是由行列式中位于不同的行 和不同的列的元素构成的， 并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组 成. 定义 4 n 级行列式 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 (4) 等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 nnjjj aaa 2121 (5) 的代数和，这里 n jjj...... 21 是n,......,2 ,1的一个排列，每一项 (5) 都下列规则 带符号，当 n jjj...... 21 是偶排列时， (5) 带正号，当 n jjj...... 21 是奇排列时， (5) 带负号，这一定义可以写成 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n n n jjj njjj jjj aaa 21 21 21 21 )( )1( 这里， n jjj 21 表示对所有的 n 级排列求和 . 显然， n 级行列式是由 n！项组成 . 例 1计算行列式 0004 0030 0200 1000 . 解：由定义知 0004 0030 0200 1000 244321. 例 2 计算上三角行列式 nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 . 解：除去为零的项后 nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 nn aaa 2211 . 换句话说，这个行列式就等于主对角线( 从左上角右下角的这条对角 线)上的元素的乘积 . 作为本例的特殊情况，有 n n ddd d d d 21 2 1 00 00 00 . 1 100 010 001 . 主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式. 实际上，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符 号，我们同样可以把每一项按列指标排列起来，于是定义又可以写成 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n n n iii niii iii aaa 21 21 21 21 )( ) 1(. 由此，可得行列式的下列性质 性质 1行列互换，行列式不变，即 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 = nnnn n n aaa aaa aaa 21 22212 12111 . 4 n 级行列式的性质 一 授课内容：4 n 级行列式的性质 二 教学目的：理解掌握行列式的性质，熟练地加以运用. 三 教学重难点：行列式性质的运用 四 教学过程； 性质 2 nnnn inii n aaa kakaka aaa 21 21 11211 = nnnn inii n aaa aaa aaa k 21 21 11211 性质 3 nnnn nn n aaa cbcbcb aaa 21 2211 11211 = nnnn n n aaa bbb aaa 21 21 11211 + nnnn n n aaa ccc aaa 21 21 11211 . 性质 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 所谓两行相同 就是说两行的对应元素相同. 性质 5如果行列式中两行成比例，那么行列式为式为零. 性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 性质 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 例 1计算 n 级行列式 abbb babb bbab bbba d. 解： ba ba bba bbb bnad 000 000 00 1 )1( 1 )()1( n babna. 例 2一个 n 级行列式，假设它的元素满足 jiij aa, nji,......,2,1,. 证明 当 n 为奇数时，这个行列式为零. 5 行列式的计算 一 授课内容：5 行列式的计算 二 教学目的：理解掌握矩阵、矩阵的初等变换及方阵的初等变换与行 列式的关系 三 教学重难点：初等变换 四 教学过程； 定义 5 由 sn 个数排成的 s 行( 横的)n 列( 纵的) 的表 snss n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为一个 ns 矩阵. 数 ij a， si,......,2, 1 ， nj,......,2 ,1 称为矩阵的元素， i 称为元素 ij a的 行指标， j 称为列指标 . 当一个矩阵的元素全是某一数域P 中的数时，它 就称为这一数域 P 上的矩阵 . nn矩阵也称n级方阵，一个n级方阵 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 定义一个n级行列式 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为矩阵 A的行列式，记为A . 定义 6所谓数域 P上矩阵的初等行变换是指以下三种变换： (1) 以 P 中一非零的数乘矩阵的一行. (2) 把矩阵的某一行的c加另一行，这里c是 P 中任意一个数 . (3) 互换矩阵中两行的位置 . 我们称形式如 0000 1000 1210 ， 32000 20100 21121 ， 300 120 101 的矩阵为阶梯行矩阵， 它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零 元素所在的下方全为零，如该行全为零，则它的下面的行也全为零. 可以证明，任意一个矩阵经过一系列的初等行变换总能变为阶梯行矩 阵. 显然，阶梯行方阵的行列式都是上三角形的. 例 计算行列式 10782 5513 71391 3152 . 解 经过一些列初等行变换可得 10782 5513 71391 3152 = 2 3 000 81600 1725130 71391 312 2 3 16)13(. 对于矩阵同样可以定义初等列变换，即 (1) 以P中一非零的数乘矩阵的一列. (2) 把矩阵的某一列的c加另一列，这里c是 P 中任意一个数 . (3) 互换矩阵中两列的位置 . 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换. 6 行列式按一行 ( 列) 展开 一 授课内容：6 行列式按一行 ( 列) 展开 二 教学目的：理解掌握余子式，代数余子式概念，利用行列式按一行 展开求行列式 . 三 教学重难点：行列式按一行展开求行列式. 四 教学过程： 由行列式的定义，有 nnnn inii n aaa aaa aaa 21 21 11211 = ininiiii AaAaAa 2211 ,ni,......,2 ,1. 定义 7在行列式 nnnn inii n aaa aaa aaa 21 21 11211 中划去元素 ij a所在的第 i 行和第 j 列，剩下的 2 )1(n个元素按原来的排法 构成一个1n级的行列式 nnjnjnn nijijii nijijii njj aaaa aaaa aaaa aaaa 1,1,1 , 11, 11,11 ,1 , 11, 11,11, 1 11,11, 111 称为元素 ij a的余子式 ，记为 ij M. 可以证明 ij ji ij MA)1(. 定义 8 上面的 ij A称为元素 ij a的代数余子式 . 反 过 来 ， 如 果 令 第 i 行 的 元 素 等 于 第 k 行 的 元 素 ， 也 就 是 kjij aa,nj,......,2, 1，ik. 则 inknikik AaAaAa 2211 = nnn knk knk n aa aa aa aa 1 1 1 111 . 也就是说， 在行列式中， 一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘 积之和为零 . 定理 3 设 nnnn n n aaa aaa aaa d 21 22221 11211 ， ij A 表示元素 ij a 的代数余子式， 则下列公式成立 inknikik AaAaAa 2211 = 0 d ik ik . 0 2211 d AaAaAa njnljljl jl jl . 例 1计算行列式 05320 04140 01320 25271 02135 . 解：先按第 5 列，再按第 1 列展开可得 05320 04140 01320 25271 02135 1080 532 414 132 52. 例 2行列式 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n aaaa aaaa aaaa d. 称为n级范德蒙 (Vandermonde)行列式，我们来证明，对任意的n，n级范 德蒙等于 n aaa,,, 21 这n个数的所有可能的差 ji aa)1 (nij的乘 积. 用连乘号，这个结果可以写为 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n aaaa aaaa aaaa nij ji aa 1 )(. 例 3证明 rrrrkr rk kkk k bbcc bbcc aa aa 11 111111 1 111 00 00 = rrr r kkk k bb bb aa aa 1 111 1 111 . 7 克兰姆 (Cramer) 法则 一 授课内容：7 克兰姆 (Cram。