第9章扭转强度与刚度课件.ppt

1 1、实验：、实验：一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒轴的扭转薄壁圆筒轴的扭转, r0为平均半径）(壁厚壁厚实验实验变形规律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式应力的计算公式2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度了一个不同的角度纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形3 3、切应变（角应变）：直角角度的改变量、切应变（角应变）：直角角度的改变量 认为切应力沿壁厚均匀认为切应力沿壁厚均匀分布（方向垂直于其半径方向）分布（方向垂直于其半径方向）3 3、切应变（角应变）：直角角度的改变量、切应变（角应变）：直角角度的改变量 4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力（1 1）（2 2）因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布3 3）5 5、切应力的计算公式：、切应力的计算公式： dA 对圆心的矩对圆心的矩 d dAr0 0d 薄壁圆筒扭转时薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力计算式横截面上的切应力计算式二、关于切应力的若干重要性质二、关于切应力的若干重要性质1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律做薄壁圆筒的扭转试验可得做薄壁圆筒的扭转试验可得T 纵轴纵轴 Tpsb横轴横轴剪切虎克定律剪切虎克定律在弹性范围内切应力在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。

与切应变成正比关系psb从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体xyzabOcddxdydz 自动满足自动满足存在存在得得2 2、切应力互等定理切应力互等定理Me Me 切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两等，方向同时指向或同时背离两个面的交线个面的交线一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律物理关系：物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律静力关系静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式应力的计算公式一）、几何关系一）、几何关系：1 1、实验：、实验： 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力2 2、变形规律：、变形规律： 圆周线圆周线形状、大形状、大小、间距不变，各圆周小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一线只是绕轴线转动了一个不同的角度。

个不同的角度2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度了一个不同的角度纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形3 3、平面假设：、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线小、间距不变，半径仍为直线4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力（1）（2） 因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向力大小相等，并且方向垂直于其半径方向5 5、切应变的变化规律：、切应变的变化规律： 取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究对为研究对象象DD DA A5 5、切应变的变化规律：、切应变的变化规律：取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究对象为研究对象微段扭转微段扭转变形变形 dj jDD DA ADA点处的切应变点处的切应变a点处的切应变点处的切应变二）物理关系：二）物理关系： 弹性范围内弹性范围内 方向垂直于半径。

方向垂直于半径dj j / / dx扭转角变化率扭转角变化率 扭转切应力分布扭转切应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）三）静力关系：三）静力关系：dA令代入物理关系式代入物理关系式 得：得：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式O扭转扭转变形计算式变形计算式横截面上横截面上 抗扭截面模量抗扭截面模量，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：三、公式的使用条件：三、公式的使用条件：1 1、等直的圆轴，、等直的圆轴， 2 2、弹性范围内工作弹性范围内工作I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定单位单位：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式: :四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wp实心圆截面：实心圆截面：Odd空心圆截面：空心圆截面：DdOd四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wp注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面DdOd解：（解：（1 1）计算外力偶矩、扭矩）计算外力偶矩、扭矩由截面法（2）计算极惯性矩）计算极惯性矩 , AC段和段和CB段段横截面的极惯性矩分别为横截面的极惯性矩分别为 （3 3）计算应力）计算应力 ，例例 AB轴传递轴传递的功率的功率为为，转转速速 。

如如图图所示，所示，轴轴AC段段为实为实心心圆圆截面，截面，CB段段为为空心空心圆圆截面已知已知试计试计算算AC以及以及CB段的最大切段的最大切应应力1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度: :扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外载荷）确定外载荷: :一、一、 扭转强度计算扭转强度计算等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :例例 已已知知 T =1.5 kN . m， = 50 MPa，试试根根据据强强度度条条件件设计实心圆轴与设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴的空心圆轴解：解：1. 1. 确定实心圆轴直径确定实心圆轴直径2. 2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径3. 3. 重量比较重量比较空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻解：1. 计算扭矩作扭矩图计算扭矩作扭矩图例 R050 mm的的薄薄壁壁圆圆管管，左左、右右段段的的壁壁厚厚分分别别为为 d d1 1 = = 5 5 mm，d d2 2 = = 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， = = 50 MPa，试校核圆管强度。

试校核圆管强度2. 2. 强度校核强度校核危险截面：危险截面： 截面截面 A 与与 B圆管强度足够圆管强度足够例 R050 mm的的薄薄壁壁圆圆管管，左左、右右段段的的壁壁厚厚分分别别为为 d d1 1 = = 5 5 mm，d d2 2 = = 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， = = 50 MPa，试试校核圆管强度校核圆管强度解：解：1. 1. 计算扭矩作扭矩图计算扭矩作扭矩图BC段段AB段段2 2、计算轴横截面上的最大、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度切应力并校核强度该轴满足强度条件该轴满足强度条件2214T图（kNm）MA MBMC ACB例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm 材料的许用切应力 = 80MPa ，试校核该轴的强度解解： 1 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图 例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示轴的直径分别为d140，d270，已知作用在轴上的外力偶矩分别为T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。

材料的许用切应力=60MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度 阶梯形圆轴阶梯形圆轴 解解（1）作出扭矩图（见图）作出扭矩图（见图b） （2）强度校核）强度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直径不相段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于此，对于AC 段轴和段轴和BD 段轴的强度段轴的强度都要进行校核都要进行校核0.62kNm1.43kNmAC 段段 BD 段段 计算结果表明，轴的强度足够计算结果表明，轴的强度足够阶梯形圆轴阶梯形圆轴 0.62kNm1.43kNm 例 有一阶梯形圆轴，轴的直径分别为d140，d270，已知T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm材料的许用切应力=60MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度 一、扭转变形：（相对扭转角）一、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度扭转角单位：弧度（rad） GIP抗扭刚度抗扭刚度单位长度的扭转角单位长度的扭转角二、二、 扭转杆的变形和刚度计算扭转杆的变形和刚度计算扭转变形与内力计算式扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴 # 图示阶梯圆杆，如各段材料也图示阶梯圆杆，如各段材料也不同，不同，AB 两截面的相对扭转角为：两截面的相对扭转角为： # 图示等直圆杆受分布扭矩图示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，作用，t 的单位为的单位为 。

T 从中取从中取 dx 段，段，dx 段两相邻截面段两相邻截面的扭转角为：的扭转角为： TAB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为： T 从中取从中取 dx 段，该段相邻两截段，该段相邻两截面的扭转角为：面的扭转角为： # 图示为变截面圆杆，图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为两端直径分别为 d1、d2 AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为： 单位长度的扭转角单位长度的扭转角 圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值圆轴受扭时刚度条件可写作圆轴受扭时刚度条件可写作3 3、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度；3)3)、确定外载荷、确定外载荷: :2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸: :三、三、 扭转杆的刚度计算扭转杆的刚度计算例例 已已知知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。

j jAC=? 校核轴的刚度校核轴的刚度解：解：1. 1. 内力、变形分析内力、变形分析2. 2. 刚度校核刚度校核轴的刚度足够例例 试计算图示圆锥形轴的总扭转角试计算图示圆锥形轴的总扭转角解：解：例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/m，试，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角解解：1.作扭矩图作扭矩图L-x2.2.设计杆的外径设计杆的外径 例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m =2。