浅谈等角螺旋线【精品资料】.docx

肉淡等角螺旋线作者：09公管丁刘泽隆王海班阚萍摘要：木文主要对等角螺线(logarithmic spind)进行了研究，建立了等角螺线的数学模型, 探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用 关键词：等角螺线黄金比应用引言：等角螺线又叫对数螺线(logarithmic spiral )是由笛卡儿在1683年发现的雅各布•伯 努利(Jakob Bernoulli)后来重新研究他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线 经过各种适当的变换之示仍是等角螺线他I-分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死 后将2刻在白己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我^(eadern nmtata resurgo)o可 惜雕刻师误将阿基米徳螺线刻了上去等角螺线用指数形式表达：P =(i"(k")其中, a和k为常数，"是极角，P是极径，e是自然对数的底为了讨论方便，我们把e 或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”等角螺线在自然界规律和T业 生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外売的等角螺线形图案已 有的文献和成果：文献《螺线》等一、 模矍的建立(1) 螺线特别是美学意义可以川指数的形式来表达:P =a eA(ke)其中，a和k为常数，是极角(polar angle),卩是极径(polar Radius), e是白 然对数(natural logarithm)的底。

为了讨论方便，我们把e或由e经过一淀变换和复合 的形式定义为“自然律”因此然律”的核心是e,其值为2.71828……，是一个无限不循环小数solden ratio)(2) 如何得到一条等角螺线・一・等角螺线与黄金比 首先画一个黄金矩形ABCD,即一个长比 宽为(1)的矩形，如果拿掉故大的正方形 ABEF,我们能得到一个新的小黄金矩形 FECDo (证明略)数学提供给我们的生活经验 以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以 通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见 我们可以从新得到的黄金矩形FECD中再拿 掉故大的正方形FGHD,并继续这个过稈，如 此产生出一个不断缩小的黄金矩形的无穷集 合连接其中的B、F、H、I、J、K等点，我们就可以(粗略地)等到一条等角螺线(logarithmic spiral) f 0参考资料《数学爵士乐》【美】爱•徳华伯格迈克•尔斯塔伯徳著模型的性质(1) 等角螺线的臂的距离以几何级数(geomelric progression)递增2) 设L为穿过原点的任意岚线，则L与等角螺 线的相交的用永远相等(故其名)，而此值 为cot1 In bo从螺线的心向螺线上任一点引一条线段，该线段与螺线上该点的切线问的夹角处处相等(图片来白 )⑶设C为以原点为圆心的任意圆，则C与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan 1 In b,名为“倾斜度”(4) 等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。

以上 来白维基百科)(5) 等角螺线的渐屈线(asymptotic curve)和垂足线都是等角螺线6) 从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需 绕原点转无限次这是由Torricelli发现的7) 等角螺线的渐屈线是同样的等价螺线，所以也是它关于原点的反演曲线 (inversional curve)如果把光源放在原点，那么它由反射和折射得到的焦散曲线也是同样的等角螺线8) 如果等角螺线在八条直线上滚动，那么该螺线的成为极的原点的极是另一条玄线 曲线上从极(即0点)到X点的长等于XT,这里T是极的出发点，ZTOX是直角见下图来自《神奇而有趣的几何》【英】戴维•韦尔斯著 余应龙译)三、模型的应用1、白然界中的对数螺线(1) 鹦鹉螺的外売像等角螺线(2) 旋涡星系的旋臂像等角螺线(3) 蜗牛的外壳像等角螺线(4) 低气压的外观像等角螺线(5) 蜘蛛织的网成等角螺线：蜘蛛在结网的过稈 中，腿发挥了关键的作用它们先用腿从抽丝器中抽 丝，固定到树干上，把整个轮廓勾勒出来Z后，沿 着已经建好的轮廓向中心爬，再在合适的地方加上几 根幅线固定，为了保持平衡，再在对称的地方加上相 应的幅线。

这样，Z中就用幅线把圆周分成了儿部分, 相邻幅线间的圆周角大体相同最后，蜘蛛用丝在半 径(幅线)上，从外圈盘旋着走向中心，同时在半径 上安上最麻成网的螺旋线这根螺旋线，形如等角螺 线的图像：越接近中心，每周的间距就越密，螺线上 的任意一点和中心的连线与螺线上这点的切线所形成 的角是一个定角摘白：好父母教育咨询网)2、工业中的对数螺线(1)在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数——螺线的形状，抽水就均匀；（2） 在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切 割草料，又快又好；（3） 工业生产中使用的一种用于砖瓦轮窑焙烧或锅炉助燃的离心式引风机，采用了扩 张宽度的呈对数螺线形状的风箱和后向机翼形叶轮等设计，减少了风量损失，提高了空气动 力性能，具有结构紧凑、移动方便、能量消耗小；（4） 混凝土搅拌机的叶片设计：螺旋叶片的前、后锥采用非等角对数螺旋线，（如图2 所示，）中圆采用等角对数螺旋线如图3所示,）（摘乩 混凝土网）四、参考丈狀《数学爵士乐》【美】爱•徳华们格 边克•尔斯塔们徳著《数学万花镜》【波】胡•施坦豪斯著 裘光明译《邮票上的数学》罗宾・J•威尔逊著李心灿邹建成 郑权译《神奇而有趣的儿何》【英】戴维•韦尔斯著 余应龙译精品资料，你值得拥有!。