定积分的近似计算IV.ppt

实验四实验四 定积分的近似计算定积分的近似计算我我们们已已经经学学习习了了定定积积分分的的基基本本概概念念和和定定积积分分的的计计算算方方法法，，那那里里所所谓谓的的计计算算方方法法，，是是基基于于原原函函数数的的牛牛顿顿-莱莱布布尼尼兹兹公公式式但但在在许许多多实实际际问问题题中中遇遇到到的的定定积积分分，，被被积积函函数数往往往往不不用用算算式式给给出出，，而而通通过过图图形形或或表表格格给给出出；；或或虽虽然然可可用用一一个个算算式式给给出出，，但但是是要要计计算算它它的的原原函函数数却却很很困困难难，，甚甚至至于于原原函函数数可可能能是是非非初初等等函函数数本本实实验验的的目目的的，，就就是是为为了了解解决决这这些些问问题题，，介介绍绍定定积积分分的的“数数值值积积分分”，，即即定定积积分分的的近近似似计算所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计我们知道，定积分出误差估计。

我们知道，定积分 在几在几何上表示何上表示 曲线，直线曲线，直线 及及x轴所围成的曲边梯形的面积定积分近似计轴所围成的曲边梯形的面积定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值分的近似值 1、、  观察黎曼和式的收敛性观察黎曼和式的收敛性     由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式 的极限，因此可以用黎曼和式来近似的极限，因此可以用黎曼和式来近似计算定积分为计算方便，这里特殊的，将积分计算定积分为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为区间等分为 段，并以小区间中点处的函数值作段，并以小区间中点处的函数值作近似，于是黎曼和式为：近似，于是黎曼和式为： 因而因而 。

例例1  计算计算                 的黎曼和的黎曼和 解：输入命令如下：解：输入命令如下： 述命令是将区间述命令是将区间[2, 3]等分为等分为200段，运行求段，运行求得黎曼和为：得黎曼和为： 1、、  梯形法梯形法大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式如果面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法的一个较好的近似方法————梯形积分法具体方梯形积分法具体方法如下：法如下： 将将区区间间         用用                           等等分分为为n个个小小区区间间，，小区间的长度为小区间的长度为          设                                                         ，则每个小梯形的面积为，则每个小梯形的面积为                    ，从而得到梯形法的公式为：，从而得到梯形法的公式为：下下面面来来估估计计梯梯形形法法的的误误差差。

第第  个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积为积为                       ，做变换，做变换                         ，则，则当当在在        区区间间         上上连连续续时时，，利利用用分分部部积积分分法法可可以证明：以证明： 设设    为为            在在区区间间         上上的的最最大大值值，，则则第第    个个小小曲曲边边梯梯形形与与相相应应的的梯梯形形面面积积之之差差的的绝绝对对值值估估计计如如下：下：       于是，梯形法的绝对误差为于是，梯形法的绝对误差为 例例2.2.用梯形法近似计算用梯形法近似计算 ，要求误差不超，要求误差不超过过 解：设解：设               ，则，则                                      ，显然，显然          在在区区间间      上上的的最最大大值值为为               。

下下面面我我们们根根据据梯梯形形法法利利用用Mathematica编编程程，，在在程程序序中中，，定定义义了了     等等分分时时的的梯梯形形公公式式       ，，并并采采用用“Do”命命令令进进行行循循环环直直到到满满足足精精度度要要求求或或达达到到预预定定的的循循环环次次数数为为止止，，每每次次循循环环要要求求输输出出    及及       输输入入命令如下：命令如下：从从运运行行结结果果看看，，循循环环到到100次次结结束束，，最最后后输输出出“fail”，，这这表表明明没没有有达达到到精精度度要要求求，，如如把把n0的的值值改改为为200，，再再次次运运行行，，发发现现循循环环到到n=130时时结结束，此时达到精度要求，积分的近似值为：束，此时达到精度要求，积分的近似值为：3、、  抛物线法抛物线法梯梯形形法法的的近近似似过过程程是是在在每每个个小小区区间间中中用用直直线线段段来来近近似似被被积积函函数数段段，，即即逐逐段段地地用用线线性性函函数数来来近近似似被被积积函函数数为为了了进进一一步步提提高高精精确确度度，，可可以以考考虑虑在在小小范范围围内内用用二二次次函函数数来来近近似似被被积积函函数数，，这这种种方方法法称称为为抛抛物物线线法法，，也也称称为为辛辛普普森森（（Simpson））法法。

具具体方法如下：体方法如下：用用分分点点                                     ，，将将积积分分区区间间n等等分分（这里要求（这里要求n为偶数），各分点对应的函数值为为偶数），各分点对应的函数值为                         ，，即即                                    我我们们知知道平面上三点可以确定一条抛物线道平面上三点可以确定一条抛物线                               ，，而而相相邻邻的的两两个个小小区区间间上上经经过过曲曲线线上上的的三三个个点点，，则则由由这这三三点点做做抛抛物物线线（（因因此此抛抛物物线线法法必必须须将将区区间间等等分分为为偶偶数数个个小小区区间间）），，把把这这些些抛抛物物线线构构成成的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积相相加加，，就就得得到到了了所所求定积分的近似值求定积分的近似值下下面面计计算算在在区区间间           上上以以抛抛物物线线为为曲曲边边的的曲曲边边梯形面积为此，先计算区间梯形面积为此，先计算区间         上，以过三点上，以过三点                                              的的抛抛物物线线                       为为曲曲边边的曲边梯形面积的曲边梯形面积     ：：由由得：得： 故故取取              ，，则则上上面面所所求求的的    等等于于区区间间          上上以以抛抛物物线线为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积。

同同理理可可以以得得到到区间区间               上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积  于于是是，，将将这这     个个曲曲边边梯梯形形的的面面积积加加起起来来，，得得到到定定积分的近似值为（设积分的近似值为（设               ）：）：   上式称为辛普森公式或抛物线公式用这个公式上式称为辛普森公式或抛物线公式用这个公式求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明 不超过不超过 ，其中，其中 是是 在区间在区间上的最大值上的最大值 例例1  用用抛抛物物线线法法近近似似计计算算              ，，要要求求误误差差不超过不超过             解：设解：设 ，可由命令，可由命令D[f[x],{x,4}]得到得到 的四阶导函数为：的四阶导函数为： 显显然然           在在区区间间         上上的的最最大大值值为为                   。

下下面面根根据据抛抛物物线线法法的的思思想想利利用用Mathematica编编程程，，在在程程序序中中，，与与例例2一一样样，，定定义义了了等等分分           时时的的抛抛物物线线公公式式         ，，并并采采用用“Do”命命令令进进行行循循环环直直到到满满足足要要求求或或达达到到预预定定的的循循环环次次数数为为止止，，每每次次循循环环要求输出要求输出     及及            输入命令如下：输入命令如下：从运行结果看，循环到从运行结果看，循环到 时因达到精度要求结时因达到精度要求结束循环，并得到积分的近似值为：从例束循环，并得到积分的近似值为：从例2、例、例3可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实际情况也是相符的际情况也是相符的 最后，我们再说明一点，在最后，我们再说明一点，在Mathematica内部有一个数值积分的命令内部有一个数值积分的命令““NIntegrate””，例如要计算，例如要计算 ，我，我们可以调用命令：们可以调用命令： 或或者者我我们们可可以以通通过过基基本本输输入入模模板板直直接接输输入入积积分分符符号号：：                ，，字字母母“N”是是表表示示输输出出的的结结果果为为实数的形式。

运行后均得结果实数的形式运行后均得结果虽虽然然使使用用内内部部的的命命令令计计算算数数值值积积分分非非常常方方便便，，但但是是误误差差估估计计不不明明显显，，而而且且作作为为一一个个大大学学生生，，应应该该要要知知道道隐隐藏藏在在命命令令后后面面的的原原理理因因此此掌掌握握本本实实验验介介绍绍的的数数值值积积分分的的原原理理、、公公式式及及编编程程方方法也是很必要的法也是很必要的实验习题实验习题41、计算定积分、计算定积分                的黎曼和的黎曼和2、分别用梯形法、抛物线法计算定积分、分别用梯形法、抛物线法计算定积分               的近似值（精确到）的近似值（精确到）。