2022年初三第十讲二次函数与二次方程、二次不等式的关系.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十讲 二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、学问梳理学问点 1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着非常紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c〔a ≠ 0〕的函数值 y=0 时,就是一元二次方程,当y≠ 0 时,就是二次不等式；学问点 2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根,图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的, 这是数和形有机结合的重要表达； 讨论二次函数 y=ax2＋ bx＋c 图象与 x 轴交点问题从而就转化为讨论一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 的根的问题,这样图像问题就可以转化成方程问题, 应用根的判别式、 韦达定理、 求根公式等解题；学问点 3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：△ =b2﹣ 4ac △ ＞ 0 x△ =0 x△ ＜ 0 x二次函数yyyy=ax2+bx+c〔a ＞0〕的图像OOO一元二次方程x 1,2b2 ax2xb 2 a无实数根ax2+bx+c=0〔a ＞0〕的根一元二次不等式x ＜x1或 x ＞xbx 为全体实数ax2+bx+c＞ 0〔a＞0〕的解集（1x ＜x ）2a一元二次不等1x ＜ x ＜2x无解无解ax2+bx+c＜ 0〔a＞0〕的解集（x ＜x ）二、精典题型剖析例 1、已知二次函数 y=x2－（ m－3）x－ m 的图象是抛物线,如图（1）试求 m 为何值时,抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 3？（2）当 m 为何值时,方程 x2－（ m－3）x－m=0 的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为 M ,与 x 轴的交点 P、Q,求当 PQ 最短时 △ MPQ 的面积．abc名师归纳总结 变式训练 ：1、函数 y=ax2－bx＋c 的图象过（－ 1,0）,就bccaab的值是 ________ 第 1 页,共 5 页2、已知二次函数y=x2-2x+3. x 轴有两个交点．〔1〕 如它的图像永久在x 轴的上方,就x 的取值范畴是 __________; 〔2〕 如它的图像永久在x 轴的下方,就x 的取值范畴是 __________; 〔3〕 如它的图像与x 轴只有一个交点,就x 的取值范畴是 __________. 3、已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证： 无论 m 取何实数, 抛物线总与- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4．已知二次函数y=x2－2kx ＋k 2＋ k－2．（1）当实数 k 为何值时,图象经过原点？（2）当实数 k 在何范畴取值时,函数图象的顶点在第四象限内？5．已知抛物线 y=mx2＋（ 3－2m）x＋m－ 2（m≠ 0）与 x 轴有两个不同的交点．（1）求 m 的取值范畴；（2）判定点 P（1,1）是否在抛物线上；（3）当 m=1 时,求抛物线的顶点Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标,并过 P′、Q、P 三点,画出抛物线草图．例 2、〔此题满分12 分〕 二次函数yax2bx6〔a0〕的图像交 y 轴于 C 点,交 x 轴于 A,B 两点（点 A 在点 B 的左侧）,点 A、点 B 的横坐标是一元二次方程x24x120的两个根 . （1）求出点 A、点 B 的坐标及该二次函数表达式. yyyCCCDDAO图1BxAOAQOQBBx图x（2）如图 2,连接 AC、BC,点 Q 是线段 OB 上一个动点（点 Q 不与点 O、B 重合）,过点 Q 作 QD∥ AC 交于 BC 点 D,设 Q 点坐标（ m, 0）,当 CDQ 面积 S 最大时,求 m 的值 . （3）如图 3,线段 MN 是直线 y=x 上的动线段（点 M 在点 N 左侧）,且 MN 2,如 M点的横坐标为 n,过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 P,过点 N 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 Q.以点 P,M,Q,N 为顶点的四边形能否为平行四边形？如能, 恳求出 n 的值；如不能,请说明理由．名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载变式训练 ：（2022.资阳）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象,由图象可知不等式 ax2+bx+c＜0 的解集是（ ）A．1＜x＜5 B．x＞5 0. A、 C（点 AC．x＜﹣ 1 且 x＞5 D．x＜﹣1 或 x＞ 5 例 3、 已知关于x 的一元二次方程x22axb20,a0 b（ 1）如方程有实数根,试确定a,b 之间的大小关系；x 轴的交点为（ 2）如 a∶b=2∶3 ,且2x 1x 22,求 a,b 的值；（ 3）在（ 2）的条件下,二次函数yx22ax 2 b 的图象与在点 C 的左侧）,与 y 轴的交点为 的点,试求 3x－y 的最大值 . B,顶点为 D.如点 P（x,y）是四边形 ABCD 边上变式训练：（2022 甘肃兰州 10 分）设二次函数 y＝ax2＋bx＋c〔a≠ 0〕的图象与 x 轴的两个交点为 A〔x1,0〕,B〔x2,0〕．利用根与系数关系定理可以得到 A、B 两个交点间的距离为： AB＝ |x1－x2|＝名师归纳总结 =b2a4ac；参考以上定理和结论,解答以下问题：A〔x1, 0〕,B〔x2,0〕,抛物线的顶第 3 页,共 5 页设二次函数y＝ax2＋bx＋c〔a＞0〕的图象与 x 轴的两个交点点为 C,明显△ABC 为等腰三角形．〔1〕当△ ABC 为直角三角形时,求b2－4ac 的值；〔2〕当△ ABC 为等边三角形时,求b2－4ac 的值．- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备y欢迎下载nxp 图象的顶点横坐标是2,与 x例 4、（2022 广东肇 庆 10 分） 已知二次函数mx2轴交于A （ x1 , 0 ）、 B （ x2, 0 ）, x1﹤ 0 ﹤ x2,与y 轴交于点C, O 为坐标原点,tanCAOtanCBO1．（1）求证：n4m0 ；（2）求 m、 n 的值；（3）当 p﹥ 0 且二次函数图象与直线 y x 3 仅有一个交点时,求二次函数的最大值．变式训练： （2022 湖北荆门 10 分） 已知： y 关于 x 的函数y=（k﹣ 1）x 2﹣ 2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点．（1）求 k 的取值范畴；（2）如 x1,x2 是函数图象与x 轴两个交点的横坐标,且满意名师归纳总结 （k﹣ 1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求 k 的值；②当k≤x≤k+2 时,第 4 页,共 5 页请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载望子成龙学校九年级数学秋季班【家庭作业】校区： 第____次课 姓名： ______ 作业等级： _____ 1. （2022 天津市 10 分）已知抛物线 y=ax 2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为 P（x0,y0）,点 A（ 1,yA）、B（0, yB）、C（－ 1,yC）在该抛物线上．（Ⅰ）当 a=1,b=4,c=10 时,①求顶点P 的坐标；②求yyAyC-的值；3a〔b0〕 ,如B（Ⅱ）当 y0≥0恒成立时,求yByAyC的最小值．yax2bx2. （2022 湖北黄石10 分） 已知抛物线C1 的函数解析式为名师归纳总结 抛物线 C1 经过点 〔0, 3〕 ,方程ax2bx3a0 的两根为x ,x ,且x 1x24；第 5 页,共 5 页（1）求抛物线C1 的顶点坐标 . （2）已知实数 x0,请证明：x1≥2,并说明x为何值时才会有x12. xx（3）如抛物线先向上平移4 个单位,再向左平移1 个单位后得到抛物线C2,设A〔m, y 〕 ,B〔n, y 〕 是 C2 上的两个不同点,且满意：AOB9 00, m0 , n0.请你用含有 m的表达式表示出△AOB 的面积 S,并求出 S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式；（参考公式：在平面直角坐标系中,如P〔x , y 〕 ,Q〔x2,y 〕 ,就 P,Q 两点间的距离〔x 2 2 x 〕 1〔y 2 2 y 〕 ）1- - - - - - -。