高一第一学期集合典型例题.doc

高一第一学期集合典型例题：1.解不等式： 解: 设，即对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支而函数的图象是一直线解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，此不等式的解在图象上就是抛物线位于直线上方的部分，故不等式的解集是2. 已知，则的最小值是_________如果将看成是两点之间的距离，那么我们头脑里就立即造出一个几何模型来x,y)和(1,1)两点之间的距离点(1,1)到直线的距离即为满足题目条件的最小值3. 若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）= log2a（x + 1）满足f（x）＞0，则a的取值范围是（ ）．-1OxyA．（0，） B．（0， C．（，+∞） D．（0，+∞）分析 数形结合．由在（－1，0）内f（x）＞0可知函数f（x）= log2a（x + 1）在（－1，0）内的图象位于x轴上方，且x→0时，f（x）→0 （如图所示）．所以底数2a应满足0＜2a＜1，得0＜a＜，选A．评注 解题时应善于将f（x）＞0加以转化，由式想形．本题还可进一步考查函数在（－1，0）内的单调性．4. 设函数 f（x）= x sin x（x∈R）．（1）证明 f（x + 2kp）－f（x）= 2kx sin x，其中为k为整数；（2）设x0为f（x）的一个极值点，证明 ．证明 （1）由函数f（x）的定义，对任意整数，有f（x + 2kp）－f（x）=（x + 2kp）sin（x + 2kx）－x sin x =（x + 2kp）sin x－x sin x = 2kp sinx．（2）函数f（x）在定义域R上可导，f ′（x）= x cos x + sin x． ①令 f ′（x）= 0， 得 sin x =－x cos x．若 cos x = 0，则 sin x =－x cos x = 0，这与 cos2 x + sin2 x = 1矛盾，所以cos x≠0．当 cos x≠0 时，f ′（x）= 0 Û x =－tan x． ②由于函数y =－x的图象和函数y = tan x 的图象知，f ′（x）= 0有解，f（x）的极值点x0一定满足 tan x0 =－x0．当f ′（x0）= 0时，．5. 设二次方程：x²-px+15=0，x²-5x+q=0的解集分别为A,B，且A∪B={2.3.5}，A∩B={3}.试求A` B及p、q的值。

解：解：∵A∩B={3}∴3是两个方程的公共跟，分别代入其方程得{.........}得p=8 q=6∴原方程分别为x²-8x+15=0及x²-5x+6=0设他们的另一根分别为α和β，由一元二次方程的根系关系得 3α=15 3β=6 α=5 β=2∴A={3，5} B={2，3}6. 函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围． 解：当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数若a＜0时，无解． ∴a的取值范围是0≤a≤1． 7. 利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证  取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2． 解：定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2． ∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数． 当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数． 根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2． 8. 定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论． 解：当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以f (2a-x1)＜f(2a-x2)注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．同理f(2a-x2)=f(x2)．所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数． 9.已知函数y=sin2x+cos2x-2. (1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象. (2)求这个函数的周期和单调区间. (3)求函数图象的对称轴方程. (4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的. 解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2(1)列表 x02-20-2-4-2其图象如图示 (2)=π. 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函数的单调增区间为 ［-π+kπ,+kπ］,k∈Z. 由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函数的单调减区间为 ［+kπ,π+kπ］,k∈Z. (3)由2x+=+kπ得x=+π. ∴函数图象的对称轴方程为x=+π,(k∈Z). (4)把函数y1=sinx的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y2=sin(x+)的图象； 再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y3=sin (2x+)的图象； 再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin (2x+)的图象； 最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y=2sin (2x+)-2的图象. 10.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+B. (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式. 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20(℃) (2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+B的半个周期的图象. ∴·=14-6ω=. 又由图可得 ∴y=10sin(x+φ)+20. 将x=6，y=10代入上式得：sin(π+φ)=-1 ∴ 故所求的解析式为 y=10sin(x+π)+20，x∈［6,14］.11. a为何值时，方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解. 解：当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x值域中的数值时，原方程有实根.因此，求a的范围，实质上就是求上述函数的值域. ∵y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x =1+sin2x-3cos2x =1+sin2x-(1+cos2x) =sin2x-cos2x-=sin(2x-φ)- . 其中 ∴y∈［］. 即a∈［］时，原方程有实数根. 12. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在 上.设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在 的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？ 分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解. 解：延长GH交CD于N，则NH=40 sinθ,CN=40 cosθ. ∴HM=ND=50-40 cosθ,AM=50-40 sinθ. 故S=(50-40 cosθ)(50-40 sinθ) =100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤).令t=sinθ+cosθ=sin(θ+). 则sinθcosθ=且t∈［1, ］ ∴S=100［25-20t+8(t2-1)］=800(t-)2+450. 又t∈［1, ］.∴当t=1时，Smax=500. 此时sin(θ+)=1sin (θ+)=. ∵≤θ+≤π ∴θ+=或π. EF即θ=0或θ=. 答：当点H在 的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大值是500 m2.13. 已知y=f(x+1)的定义域为[1,2]，求f(x)，f(x-3)的定义域。

分析：f(x+1)的定义域是指x 的取值范围，即1≤x≤2，那么x+1的取值范围为[2,3],这就是f(x)的定义域解：∵y=f(x+1)的定义域为[1,2]，∴2≤x+1≤3    即f(x)的定义域为[2,3]    又∵f(x)的定义域为[2,3]    ∴2≤x-3≤3，∴5≤x≤6    即f(x-3)的定义域为[5,6]14. 试用适当的方式表示：被3整除余1的自然数集合．解 集合可以表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．15. 解不等式x^2-ax+a≥0解：这个二次函数开口是向上的（1） 当△〈0时，整个函数图象都在X轴上方，所以x^2-ax+a恒大于0，成立△〈0，即a2-4a〈0解得a为（0，4）X为R（2） 当△=0函数有一个点在X轴上，其他都在X轴上方，所以x^2-ax+a≥0，成立△=0，a=4或0 X为R（3） 当△〉0，a为（负无穷，0）并（4，正无穷）函数有一部份在X轴下了，函数有两个和X轴的交点了，那要f（X）≥0，X只能取在这两个交点的左右区间，包括交点16. 已知角终边上一点P（－4，3），求的值解：∵∴ 17. 求证： 证明：∵ ∴ 18. 已知，求的值解：∵ 故两边平方得，∴ 而∴ 与联立解得∴ 19. 已知是方程的两根，且，求的值解：∵ 是方程的两根，∴ ，从而可知故又 ∴ 20．已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间解：∵ （1）∴ 函数y的最大值为2，最小值为－2，最小正周期（2）由，得函数y的单调递增区间为：高一第一学期函数典型例题：一、函数值域21、函数，x∈[0，4]的值域是___________．答案：分析：∵ x∈[0，4]，∴ ，∴ ．又 4 ≤ y2 ≤ 4 + (x + 4－x) = 8∴ ．22、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1) 解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]23、②y=x²-2x+3∵1>0∴(4ac-b²)/4a=[4×1×3-（-2）²]/4×1=1即函数的值域是{y|y≥2} 二、函数最值24、f(x)=x²-6x+12 x∈[4,6]解：因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系。