考研概率第三章多维随机变量及其概率分布测试题(含答案).pdf

1 考研概率第三章多维随机变量及其概率分布测试题 2019.4.2 一、选择题（每小题2 分） 1设,X Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为, XY FxFy，则min,ZX Y的 分布函数是（） (A) max, ZXY FzFzFz(B) min, ZXY FzFzFz (C) 111 ZXY FzFzFz(D) ZY FzFy 2设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0,1) 和 N(1,1) ，则 （A） 2 1 )0(YXP （B） 2 1 )1(YXP （C） 2 1 )0(YXP （D） 2 1 )1(YXP 3设二维随机变量,X Y服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（） (A) ,X Y一定相互独立(B) ,X Y的任意线性组合 12 l Xl Y服从于一维正态分布 (C) ,X Y分别服从于一维正态分布(D) 当参数0时，,X Y相互独立 4,相互独立且在0,1上服从均匀分布， 则使方程 2 20 xx有实根的概率为 （） (A) 1 3(B) 1 2(C) 0.4930 (D) 4 9 5设随机变量,X Y都服从正态分布，则（） (A) XY一定服从正态分布(B) ,X Y不相关与独立等价 (C) ,X Y一定服从正态分布(D) ,XY未必服从正态分布 6设随机变量X, Y 相互独立，且X 服从正态分布 ), 0( 2 1 N ，Y 服从正态分布 ),0( 2 2 N ，则 概率 )1|(|YXP （A）随 1与2的减少而减少 （B）随 1与2的增加而减少 （C）随 1的增加而减少，随2 的减少而增加 （D）随 1的增加而增加，随2 的减少而减少 7设),(YX的联合概率密度为： ,0 ;1,/1 ),( 22 他其 yx yxf 则X与Y为 （A） 独立同分布（B）独立不同分布（C）不独立同分布（ D）不独立不同分布 2 8设 Xi N(0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立 , 则 ( ) 成立。

（A）)1 ,0( 4 1 N X （B）)1 ,0( 8 32 N XX （C）)8 ,0( 321 NXXX （D）X1+X2 X3 N (0, 4) 9已知随机变量(X, Y) 在区域D=(x,y)|-1x1,-1ya ， 且 9 7 )(BAP ， 则 a= 8设随机变量X 和 Y 相互独立， 下表列出二维随机变量(X, Y) 的联合分布律记关于X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处： X Y x 1x 2x 3P(Y=yj) y 11/8 y 21/8 P(X=x i) 1/6 1 三、简答题 1（7 分） 设二维随机变量（,X Y）的概率分布为 Y X -1 0 1 -1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 C 其中, ,a b c为常数，且X的数学期望0.2, 0 |00.5EXP YX，记ZXY. 求： （1）, ,a b c的值； （2）Z的概率分布； （3）P XZ 2（7 分） 设某班车起点站上客人数X 服从参数为 (0)的泊松分布， 每位乘客在中途下车 4 的概率为(01)pp，且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求： （1）在发车时有n 位乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量(X, Y) 的概率分布； （3）求关于Y 的边缘分布。

3（8 分） 设 A，B 为两个随机事件，且 4 1 )( AP， 3 1 )|(ABP， 2 1 )|(BAP，令 ，不发生 ，发生 A,0 A, 1 X ，不发生 ，发生 B,0 B, 1 Y （1）求(, )X Y的概率分布；（2）求 22 YXZ的概率分布 4（8分） 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 , 0 ;10, 10,2 ),( 他其 yxyx yxf （1）求 P(X2Y) ；（2）求 Z=X+Y 的概率密度 5 （8 分） 设随机变量X 和 Y 的联合分布是正方形31 , 31| ),(yxyxG上的均匀 分布，试求随机变量U=|X-Y| 的概率密度 6（8 分） 设二维随机变量(X,Y) 在矩形10,20| ),(yxyxG上服从均匀分布， 试求边长为X 和 Y 的矩形面积S 的概率密度 7（ 8 分） 已知随机变量X1，X2的概率分布 4 1 2 1 4 1 101 1 X， 2 1 2 1 10 2 X，而且 1)0( 21X XP， (1) 求 X1和 X2 的联合分布； (2 ) 问 X1和 X2 是否独立？为什么？ 8（8 分） 设随机变量X 与 Y 相互独立，其中X 的概率分布为 7.03.0 21 X，而 Y 的概 率密度为( ) Y fy，求Z=X+Y 的概率密度。

5 参 考 答 案 一、选择题 1 C 2B 3A 4A 5D 6 B 7C 8B 9D 10A 11A 二、填空题 15 721/4 3 3 441/6，1/6，1/6 53/4 61/2 75/3 或 7/3 8 X Y x 1x 2x 3P(Y=yj) y 11/24 1/8 1/12 1/4 y 21/8 3/8 1/4 3/4 P(X=x i) 1/6 1/2 1/3 1 三、简答题 1解：（1）由二维离散型随机变量联合分布律的性质可得，a+b+c=0.4 ， 由已知条件， EX=-(a+0.2)+(c+0.1)=-0.2 ，可得 -a+c=-0.1， 5.0 5.0 1.0 ) 0( ) 0, 0( )0|0( ba ba XP XYP XYP ，从而解得a=0.2，b=0.1，c=0.1； (2) Z 的所有可能取值为-2, -1, 0, 1, 2，其分布律为 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) P(X=Z)=P(Y=0)=0.2 2解：（1）nmppCnXmYP mnmm n ,.,1 , 0,)1()|( ； （2）)|()(),(nXmYPnXPmYnXP ,.1 ,0;,.,1 ,0,)1( ! nnmppCe n mnmm n n ； （3） mn mnmm n n mn ppCe n mYnXPmYP)1 ( ! ),()( 6 ,.1 ,0, ! )( me m pp m 。

3解： （1）由已知条件，得到 12 1 4 1 3 1 )()|()(APABPABP ； 6 1 2/1 12/1 )|( )( )( BAP ABP BP ； 从而有 12 1 )() 1, 1(ABPYXP； 6 1 12 1 4 1 )()0, 1(BAPYXP； 12 1 12 1 6 1 )()1,0(BAPYXP； 3 2 12 1 6 1 4 1 1)()0,0(BAPYXP； （2）Z 的分布律为 4解：（1） 24 17 )2(1)2(1)2( 1 0 2/ 0 x dyyxdxYXPYXP； （2）先计算 , 0 ;10, 10,2 ),( 他其 xzxz xzxf 故当 0z1 时，有)2()2(),()( 0 zzdxzdxxzxfzf z Z ； 当 1z2 时，有 2 1 1 )2()2(),()(zdxzdxxzxfzf z Z ； 其他情形，均有0)(zf Z 5解：由有条件知X 和 Y 的联合密度为 ,0 ,31 , 31, 4/1 ),( others yx yxf 以)()(uUPuF表示随机变量U 的分布函数显然，当0u时， F(u)=0；当2u时 F(u)=1。

设 0u2，则)2(4 4 1 ),()( 2 | udxdyyxfuF uyx 于是，随机变量的密度为 ., 0 , 20),2( 2 1 )( others uu up 6解：二维随机变量(X,Y) 的概率密度为 ,0 , 10 ,20, 2/1 ),( others yx yxf 以)()(sSPsF表示随机变量S 的分布函数 显然，当0s时， F(s)=0； 当2s时 F(s)=1 Z 0 1 2 P 2/3 1/4 1/12 7 设 0s2，则)ln2ln1 ( 22 1 1 2 1 1)( 21 / 2 s s dydxdysF sxs xy , 于是，随机变量的密度为 ., 0 , 20),ln2(ln 2 1 )( others ss sf 7解： (1) X 1 X2 -1 0 1 X2 0 1/4 0 1/4 1/2 1 0 1/2 0 1/2 X11/4 1/2 1/4 1 （2）不独立 8解：先求Z 的分布函数：)()()(zYXPzZPzF )2,() 1,(XzYXPXzYXP)2,2()1, 1(XzYPXzYP )2,2()1, 1(XzYPXzYP 7.0)2(3.0)1()2()2()1()1(zFzFXPzYPXPzYP YY 求导，得到Z 的概率密度为)2(7 .0) 1(3 .0)()(ufufzFzg。