高等数学二全部笔记(共35页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的 ㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加( )；若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加( )；若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少( ) 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c为常数)2.幂函数： y=xn , (n为实数)3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1)4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x∈X2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限: 称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理: 若的极限存在必定有界.2.函数的极限： ⑴当时，的极限： ⑵当时，的极限： 左极限： 右极限：⑶函数极限存的充要条件：定理：㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。

X再某个变化过程是指： 2． 无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量3． 无穷大量与无穷小量的关系： 定理：4． 无穷小量的比较： ⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若 （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量定理：若： 则：㈢两面夹定理1． 数列极限存在的判定准则： 设： （n=1、2、3…） 且： 则： 2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则：㈣极限的运算规则 若： 则：①②③ 推论：① ②③㈤两个重要极限 1． 或 2． §1.3 连续一、 主要内容㈠ 函数的连续性1. 函数在处连续：在的邻域内有定义， 1o 2o 左连续： 右连续：2. 函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续在处极限存在 3. 函数在处连续的充要条件： 定理：4. 函数在上连续： 在上每一点都连续 在端点和连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续 a+ 0 b- x5. 函数的间断点：若在处不连续，则为的间断点。

间断点有三种情况： 1o在处无定义； 2o不存在； 3o在处有定义，且存在， 但 两类间断点的判断： 1o第一类间断点：特点：和都存在可去间断点：存在，但，或在处无定义 2o第二类间断点：特点：和至少有一个为∞， 或振荡不存在无穷间断点：和至少有一个为∞㈡函数在处连续的性质1. 连续函数的四则运算： 设， 1o 2o 3o 2. 复合函数的连续性： 则：3. 反函数的连续性： ㈢函数在上连续的性质 1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在最大值与最小值 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x2. 有界定理： 在上连续在上一定有界。

3.介值定理： 在上连续在内至少存在一点 ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x m 0 a ξ1 ξ2 b x 推论： 在上连续，且与异号 在内至少存在一点，使得： 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分一、主要内容㈠导数的概念 1．导数：在的某个邻域内有定义， 2．左导数：右导数： 定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在； 则： （或：）3.函数可导的必要条件： 定理：在处可导在处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理：存在， 且存在 5.导函数： 在内处处可导 y 6.导数的几何性质： 是曲线上点 处切线的斜率 o x0 x㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o 2o 3o 3.复合函数的导数： ，或 ☆注意与的区别： 表示复合函数对自变量求导； 表示复合函数对中间变量求导4.高阶导数： 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数㈢微分的概念 1.微分：在的某个邻域内有定义， 其中：与无关，是比较高 阶的无穷小量，即： 则称在处可微，记作： 2.导数与微分的等价关系： 定理： 在处可微在处可导，且： 3.微分形式不变性： 不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。

§2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容㈠中值定理 1.罗尔定理: 满足条件: y a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理：满足条件: ㈡罗必塔法则：（ 型未定式）定理：和满足条件：1o；2o在点a的某个邻域内可导，且；3o 则：☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限 2o若不满足法则的条件，不能使用法则 即不是型或型时，不可求导 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。

4o若和还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： 5o若函数是型可采用代数变 形，化成或型；若是型可 采用对数或指数变形，化成或型㈢导数的应用1． 切线方程和法线方程：设：切线方程：法线方程：2． 曲线的单调性：⑴ ⑵ 3.函数的极值：⑴极值的定义：设在内有定义，是内的一点；若对于的某个邻域内的任意点，都有：则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点） ⑵极值存在的必要条件：定理：称为的驻点 ⑶极值存在的充分条件： 定理一：当渐增通过时，由（+）变（-）；则为极大值； 当渐增通过时，由（-）变（+）；则为极小值定理二： 若，。