数列的极限.docx

数列的极限知识概要】1. 数列极限的定义1)数列的极限，在n无限增大的变化过程中，如果数列｛a ｝中的项a无限趋向于某个常 nn数A，那么称A为数列｛a ｝的极限，记作lima = A.换句话说，即：对于数列｛a ｝，如n n nn Sanns果存在一个常数A，对于任意给定的£ > 0,总存在自然数N，当n > N时，不等式a - A 恒成立，把A叫做数列｛a ｝的极限，记为lim n注：①理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近;② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题；③ 这里的常数A是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：｛(-1)" ｝；④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多 个项，都不能改变这个数列的极限；⑤ “无限趋近于A ”是指数列｛a ｝后面的项与A的“距离”可以无限小到“零”.n例 1 判断下列结论的正误(1) 若lima = 0，则a越来越小；nnns(2) 若lim a = A，且｛a ｝不是常数数列，则a无限接近A，但总不能达到A；n n n> a，则｛a ｝没有极限;nnns3)在数列｛a ｝中，如果对一切n e N总有an n+1(4)若 lima = A，则 lim |a 一 A = 0 .n nns ns1解：(1)不正确，例如：a =一一， a > a n n n+1 n2,(n为偶数)2)不正确，例如： an=< 2n ，、n +1(n为奇数)lima = 2.nns但 lim ans(3)不正确，例如：a = 1 - ，a > an n n+1 n4)正确2. 数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果 lima = A, limb = B，那么nnfsnnfslim(a 土 b ) = lim a 土 lim b = A 土 B ；n n n nnfs nfsnslim(a - b ) = lim a - lim b = A - B ；n n n nnfs nfsnslim a A击=B(B 丰 0).nnfs特别地，如果C是常数，那么lim(C - a ) = lim C - lima = C - A.nsns2）四种常见的重要极限(1) lim C = C2）lim — = 0nfsn fs n3) lim qn = 0(-1 < q < 1)4)nfslim(1+ —)nnnfs例 2 下列命题中正确的命题是（A)若 lim a = A, lim b = B ,nnnfs nfs贝 y lim abnfnB)若 lim a = 0，则 lim(a b ) = 0 n nnnfsnfs若 lim a 2 = A2 ，则 lim a = An nfsnnfsD)若 lim a = A，则 lim a 2 = A2nnnfs nfs解：选（D）例3已矢口 lim[(2n 一 1)a ] = 2，求 lim na .nnnfnf解：lim na = lim(2 n - 1)a - lim = 2 x1 = 1n - n 「一 n nfs 2n -1 2nfnf例 4 求下列数列的极限2n 一 1,1 < n < 6limS =37.nnf(1)若 a =] 1 rn , n > 7、2n-6(n g N*)，则 lima = 0 nnf2) limnfn2 + 2n 一 12n2 一 n + 33) lim n (、: n +1 — \ n — 1) — 1 ；n T84）limn s \5）6）limn—g巴（1—1）（1-3）（i—4）…（1-n）=o；3. 数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的 四则运算法则求解。

所谓的解题“技巧”，也就是如何变形的问题一般来说，关于n的数列通项a — f （n），如果仅仅只在底数的位置中含序号n，往往n变形为F（丄），利用lim1 — 0求解；如果仅仅只在指数的位置中含序号n，往往变形成 n n—g nF（qn），利用limqn — 0求解；如果既在底数的位置中含序号n，又在指数的位置中含序号 n—gn，往往变形成F［（1+丄）n］的形式，利用lim（1+^）n — e求解.同时遵循先化简再变形的原n n—g n则.例 5 若 lim(3a + 4b ) — 8,lim(6 a — b ) — 1，求 lim(3a + b ).n n n n n nn—g n—g n—g解：根据3a + b — x(3a + 4b ) + y(6a 一b )求解，可得lim(3a + b ) — 3.n n n n n n n nn—g课堂练习】1. 下列命题正确的是( )①数列I ik：3.有极限②数列{(-1^2}的极限为0③数列的极限为卞3④数列＜(|^ ＞没有极限A.①② B.②③④ C.①②③ D.①②③④・答案：D 2.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0 B.1 C.2 D.31答案：B.由极限的定义仅有②是正确的•①的反例是a二一这是无穷单调递减数列，它的极nn(-1) n-1限是零；③的反例是a二 一它是摇摆的无穷数列，它的极限是零•因为|a —n n(-1)n-1 1。

二^ —0|=2n可以任意小•故选B・an — bn+1 +13.已知a > b > 1，则lim 的值是（ B ）n —an+1 + bn—1bA.—-a1B.-aC. -bD.不存在4.设S是无穷等比数列的前n项和，若limS =1，则首项a的取值范围是(C 41C. (0，411A. （0, 4） B. （0, 2）5.在数列｛a ｝中，若 lim（3n — 1）ann—snn—s=1，贝y lim nan—s6. 设数列 {a } ， {b } 均为等差数列，nnlimn—sb + b +—b+ 2 2nn - a3n7.已知lim （竺三1n+1n—s— an — b ） = 0 ，111U （二，=） D. （0,42公差都不为零)，，b=limn—sa18-已知无穷等比数列｛a ｝的首项为a，公比为q且有lim（茁-qn）二2，则首项a1的取值范围是 1答案：5. 3 6.29 7. 1 T8.1Va29. 若 lim则 a 的取值范围是A. a = 1 B. a < —1 或a > 3C．D．分析：由liman = 0 （a为常数）,ns知a < i，所以由已知可得1 — a2a< 1，解这个不等式就可求得 a 的取值范围．解：由 limn=0，得1 — a2a<1，所以|1 -a <24，两边平方，得：（1 -a）2 < 4a2,3a2 + 2a — 1 > 0, (3a — 1)(a +1) > 0，所以 a < —1 或答案 B10.在数列｛a ｝中，已知 a =］，且 a =—2S S (n > 2)n 1 3 n n n —1求lim你.n th S 2n解：a —2(2n +1)2 _ 2lim n _ lim _ —2ng S2 nT8 (2n + 1)(2n — 1)n11. 已知 f (x) _(x>0)，设a _ 1,a2 - f (a ) _ 2(n e N*)，1 n+1 nb 4 n — 2 a 2求：(1)数列｛a ｝的通项公式；(2) lim n一n nTH b 4n-2 + 3 X 2 a 2n2解：(1)由 a+12・f(a)=2,得 a+12・ =2n n n a 2 + 4n.•.a 2—a2=4 A ｛a 2｝是以1为首项，4为公差的等差数列, n+1 n n.a2=1+4(n—1)=4n—3nVa >0 ・・.a= ｛4n — 3n n4 n — 24 n-3(2)原式二lim n* b4n—2 + 3 X 24n—3当 |b|V2,即一2VbV2 时，原式二一—7当|b|=2，即b=±2时，原式二5当|b|〉2,即b〉2或bV—2时，原式二b2—-,(—2 < b < 2)37综上，原式二］-,(b二±2)b2,(b > 2或b <—2)12.如图，在边长为I的等边AABC中,圆Oi为SBC的内切圆，圆£与圆Oi外切，且与AB、BC相切，…，圆O 与圆O外切,n+1 n且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆O的（I）证明{a } 是等 比数列;n(II)求 lim(a + a + a + + a )的值.1 2 3 nn—g解：（I）记r为圆O的半径二2 tan30°r — r 1n—1 n =sin30° =—r + r 2n—1 n1.・.r 二一 r —1(n^2) n 3 n兀12.*.a = n r 2=1 112a ( r ) = (—n— ) na rn —1 n—1・・・{a}成等比数列.n1（11）・・・叮（9 »—1・％（口斗）lim (a +a +・・・+a )=1 2n—ga 3k 12——1 =1 — 1 329a a a13.设数列｛a ｝满足a +寺+ 3 +…+ —^ =a2n — 1, ｛a ｝的前n项和为n 1 2 3 n nS (a > 0,a 丰 1,n g N*).n⑴求｛a ｝；nS(2)求 lim in* (a 2n - 1)n3）求证：< 2n(n + 1)an+2(n + 2)(n + 1)a + n(n + 2)an n +1a a a解：⑴锐盲+寸+…+ = =a2n-1a a a.°.a —2 + 3 + +—n-^ =a2(n—i)一l(n 三2)1 2 3 n -1aa2(n — 1) — 1 n =a2n— 1n.°.a 二n(a2n—a2n-2)(n±2)n*/a =a2—1 •:当 n=l 时，等式亦成立. /,a =n(a2n—a2n-2)nWN*1n(2) 由 (1) a =n(a2n—a2n—2)=n(a2— 1) a2n—2 •:S =(a2 — 1)(1+2a2+3a4+・・・+na2n—2)nna2S =(a2—1)(a2+2n4+・・・+(n— 1)。