第2章离散傅里叶变换(DFT)课件.ppt

2.1离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)2.2快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)2.3离散卷积离散卷积2.4FFT应用应用第第2章章离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)12.1离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)2.1.1DFT定义定义2.1.2DFT推导推导2.1.3DFT性质性质2.1.4DFT的矩阵计算的矩阵计算22.1.1离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义1.定义定义设设x(n)是是一一个个长长度度为为N的的有有限限长长序序列列，则则定定义义x(n)的的N点离散傅里叶变换为点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为的离散傅里叶逆变换为(3.1.2)式中，式中，N称为称为DFT变换区间长度，通常称变换区间长度，通常称(3.1.1)式和式和(3.1.2)式为离散傅里叶式为离散傅里叶变换对变换对3证明证明IDFTX(k)的唯一性的唯一性证明：把证明：把(3.1.1)式代入式代入(3.1.2)式有式有为整数为整数所以，所以，在变换区间上满足下式：在变换区间上满足下式：IDFTX(k)=x(n),0nN-1由此可见，由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。

式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的4例例3.1.1x(n)=R4(n)，求，求x(n)的的8点和点和16点点DFT解：设变换区间解：设变换区间N=8，则则设变换区间设变换区间N=16，则则n16161615n52.DFT的隐含周期性的隐含周期性前前面面定定义义的的DFT变变换换对对中中，x(n)与与X(k)均均为为有有限限长长序序列列，但但由由于于的的周周期期性性，使使(3.1.1)式式和和(3.1.2)式式中中的的X(k)隐隐含含了了周周期期性性，且且周周期期为为N对对任任意意整整数数m，总有总有均为整数均为整数所以所以(3.1.1)式中，式中，X(k)满足满足同理可证明同理可证明(3.1.2)式中式中x(n+mN)=x(n)6实实际际上上，任任何何周周期期为为N的的周周期期序序列列都都可可以以看看作作长长度度为为N的的有有限限长长序序列列x(n)的的周周期期延延拓拓序序列列，而而x(n)则是则是的一个周期，的一个周期，即即为了叙述方便，为了叙述方便，将将(3.1.5)式用如下形式表示：式用如下形式表示：(3.1.7)7图图3.1.2有限长序列及其周期延拓有限长序列及其周期延拓82.1.2DFT推导推导1.由由Z变换推导变换推导由由Z变换可知，非周期序列变换可知，非周期序列x(n)的的Z变换为变换为对于有限长序列对于有限长序列x(n)(n=0,N-1)，X(z)的收敛区域的收敛区域总包括单位圆。

若总包括单位圆若在单位圆的在单位圆的N个均分点上计算个均分点上计算Z变换变换，得周期序列为得周期序列为9上式两边乘以上式两边乘以，再对，再对k从从0N-1求和，得求和，得这说明，长度小于或等于这说明，长度小于或等于N的有限时宽序列可以的有限时宽序列可以用它的用它的Z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N个取样精确地表示，或个取样精确地表示，或有有限时宽序列的限时宽序列的DFT相当于其相当于其Z变换在单位圆等间隔点上变换在单位圆等间隔点上的取样的取样Z平面IR2/N10图图3.1.1X(k)与与X(ej)的关系的关系X(z)X(ej)X(k)112.由离散傅里叶级数推导由离散傅里叶级数推导如如果果x(n)的的长长度度为为N，且且，则则可可写写出出的离散傅里叶级数为的离散傅里叶级数为(3.1.8)(3.1.9)式中式中(3.1.10)123.由连续傅里叶变换推导由连续傅里叶变换推导设设xa(t)与与Xa(j)构成傅立叶变换对，则构成傅立叶变换对，则(1)时域采样时域采样：将：将xa(t)离散化离散化其频谱为其频谱为X(ej)，是以，是以2为周期的周期函数，即为周期的周期函数，即13(2)时域截断时域截断：将：将xa(nT)由无限变为有限时宽由无限变为有限时宽x(n)x(n)=xa(nT)w(t)其中其中且且N=T0/T也即也即此时频谱为此时频谱为X(ejT)*W(j)，是，是的连续周期函数。

的连续周期函数14(3)频域采样频域采样：将频谱离散化：将频谱离散化为周期序列，其时域函数为为周期序列，其时域函数为显然，显然，是以是以T0（T0=NT）为周期的序列，故其一周）为周期的序列，故其一周内恰好为原信号内恰好为原信号xa(t)的的N个采样值个采样值15将上述将上述求解，得求解，得令令显然显然完全由完全由X(k)确定，而确定，而X(k)是以是以N为周期的序列，为周期的序列，且在且在0N-1区间上区间上xa(nT)可用可用x(n)表示，于是表示，于是16同样，可推导出同样，可推导出显然，当显然，当时域采样满足时域采样定理时域采样满足时域采样定理时，时，频域不会发频域不会发生混叠生混叠，这时，在，这时，在0N-1区间上定义的区间上定义的X(k)恰好表示恰好表示Xa(j)在带限区域内的采样值；而当在带限区域内的采样值；而当频域采样满足频频域采样满足频域采样定理域采样定理时，时，时域才不会发生混叠时域才不会发生混叠，在，在0N-1区间上区间上定义的定义的x(n)才能代表才能代表x(t)的有效采样值的有效采样值上述推导说明，离散傅立叶变换与连续傅立叶变上述推导说明，离散傅立叶变换与连续傅立叶变换有密切关系。

换有密切关系172.1.3DFT性质性质DFT有有许许多多性性质质与与连连续续、序序列列傅傅里里叶叶变变换换相相似似，但但也也有其独特性，这主要源于它所隐含的周期性，即循环性有其独特性，这主要源于它所隐含的周期性，即循环性1.线性性线性性如果如果x1(n)和和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为是两个有限长序列，长度分别为N1和和N2y(n)=ax1(n)+bx2(n)0nN-1式中式中a、b为常数，为常数，N=maxN1,N2，则，则y(n)的的N点点DFT为为Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),0kN-1(3.2.1)其中其中X1(k)和和X2(k)分别为分别为x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT该性质说明，该性质说明，DFT适用于离散线性系统适用于离散线性系统182.循环位移性质循环位移性质若若x(n)X(k)成立，则成立，则x(n-n0)X(k)称为时间位移性称为时间位移性(1)或或x(n)X(k-k0)称为频率位移性称为频率位移性(2)(1)说说明明时时域域信信号号的的加加载载时时刻刻，对对信信号号DFT的的幅幅度度不产生任何影响，只在不产生任何影响，只在频域引入一线性相移频域引入一线性相移。

2)说说明明用用特特定定频频率率的的余余弦弦（或或正正弦弦）对对信信号号进进行行调调制制，其其结结果果是是信信号号的的频频谱谱发发生生了了位位移移（以以调调制制频频率率为中心）为中心）由由于于x(n)与与X(k)的的周周期期性性，使使DFT的的位位移移呈呈现现循循环特性环特性19图图3.2.1循环位移过程示意图循环位移过程示意图203.对称性对称性若若x(n)X(k)成立，则成立，则x*(n)X*(-k)（复共轭序列的（复共轭序列的DFT）或或x*(-n)X*(k)或或(1/N)X(n)x(-k)说明说明DFT的时域与频域具有的时域与频域具有对偶对偶关系21证明：证明：根据根据DFT的唯一性的唯一性由由X(k)的隐含周期性，有的隐含周期性，有X*(N-k)=X*(-k)，X(N)=X(0)用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明DFTx*(N-n)=X*(k)(3.2.8)224.DFT的共轭对称性的共轭对称性如如同同任任何何实实函函数数都都可可以以分分解解成成偶偶对对称称分分量量和和奇奇对对称称分分量量一一样样，任任何何有有限限长长序序列列x(n)也也可可以以表表示示成成其其共共轭轭对称分量对称分量和和共轭反对称分量共轭反对称分量之和，之和，即即x(n)=xep(n)+xop(n),0nN-1(3.2.11)将式中的将式中的n换成换成N-n，并取复共轭，得到，并取复共轭，得到x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)(3.2.12)xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)(3.2.13)xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)(3.2.14)23(1)如果如果x(n)=xr(n)+jxi(n)其中其中xr(n)=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n)jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n)则则DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n)=1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k)DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n)=1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k)由由DFT的线性性质可得的线性性质可得X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)(3.2.16)其中其中Xep(k)=DFTxr(n)，X(k)的共轭对称分量的共轭对称分量Xop(k)=DFTjxi(n)，X(k)的共轭反对称分量的共轭反对称分量24(2)如果如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0nN-1(3.2.17)其中其中xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)，x(n)的共轭对称分量的共轭对称分量xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)，x(n)的共轭反对称分量的共轭反对称分量则则DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n)=1/2X(k)+X*(k)=ReX(k)DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n)=1/2X(k)-X*(k)=jImX(k)因因 此此 X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)(3.2.18)其中其中XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n)jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n)25有限长有限长实序列实序列DFT的共轭对称性说明：的共轭对称性说明：设设x(n)是长度为是长度为N的实序列，且的实序列，且X(k)=DFTx(n)，则，则(1)X(k)共轭对称，即共轭对称，即X(k)=X*(N-k),0kN-1(3.2.19)(2)如果如果x(n)=x(N-n)，则，则X(k)实偶对称，即实偶对称，即X(k)=X(N-k)(3.2.20)(3)如果如果x(n)=-x(N-n)，则则X(k)纯虚奇对称，即纯虚奇对称，即X(k)=-X(N-k)(3.2.21)26利利用用DFT的的共共轭轭对对称称性性，通通过过计计算算一一个个N点点DFT，可以得到可以得到两个两个不同实序列的不同实序列的N点点DFT。

设设x1(n)和和x2(n)为两个实序列，构成新序列为两个实序列，构成新序列x(n)如下：如下：x(n)=x1(n)+jx2(n)对对x(n)进行进行DFT，得到，得到X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)由由(3.2.16)式、式、(3.2.13)式、式、(3.2.14)式得到式得到Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k)所以所以X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k)X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k)272.1.4DFT的矩阵计算的矩阵计算DFT计算也可以采用矩阵计算法，这样可以计算也可以采用矩阵计算法，这样可以利用计算机中的矩阵乘法子程序利用计算机中的矩阵乘法子程序281.DFT的矩阵计算的矩阵计算根据根据DFT定义有定义有用一组线性方程表示为用一组线性方程表示为29令令x(n)=x(0)，x(1)，x(2)，x(N-1)TX(k)=X(0)，X(1)，X(2)，X(N-1)T则方程组可用矩阵表示为则方程组可用矩阵表示为X(k)=ANx(n)302.IDFT的矩阵计算的矩阵计算根据根据IDFT定义有定义有类似地，可将逆变换表示为类似地，可将逆变换表示为其中其中AN*是是AN的共轭矩阵，。