二线变换的简单质.ppt

二、 线性变换的简单性质,§1 酉空间的介绍,二、酉空间中的重要结论,一、酉空间定义,一、酉空间定义,欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的.,酉空间实际就是复数域上的欧氏空间.,定义 1 设 V 是复数域上的线性空间，在 V,上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 ( , ),,它具有以下性质：,共轭复数；,2) (k , ) = k( , ) ;,3) ( +  ,  ) = ( ,  ) + ( ,  ) ;,4) ( ,  ) 是非负实数，且 ( ,  ) =0 当且仅当, =0 .,这里  ,  ,  是 V 中任意的向量，k 为任意复数，,这样的线性空间称为酉空间.,例1 性空间 Cn 中，对向量, = (a1 , a2 , … , an) ,  = (b1 , b2 , … , bn) ,,定义内积为,显然，内积 (1) 满足定义 15 中的条件.,这样 Cn 就,成为一个酉空间.,例2 用C[a,b]表示区间[a,b]上所有连续复值函数组成的线性空间，规定,,,,是C[a,b]上的一个内积，此时,,,,C[a,b]成为一个酉空间.,容易验证，,二、酉空间中的重要结论,由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似,,有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的,结论，而不详细论证.,首先由内积的定义可得到,2) ( ,  +  ) = ( ,  ) + ( ,  ) .,与实内积空间类似，酉空间V 中由于有了内积的,概念，从而就有长度、角度、正交、距离等度量概念.,定义2 非负实数,叫做向量  的长度，,记为 || .,显然|0|=0，≠0时， ||0.容易证明：,,定理1 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，,即对任意的向量  ,  有,| ( , ) |  |  | |  |，,当且仅当  ,  线性相关时，等号成立.,注意：,酉空间中的内积 ( , ) 一般是复数，,故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入,定义3 酉空间V中，两个非零, 的夹角,规定为,于是,,（2）,从（7）式得出，,,定义4 向量  ,  ，当 ( , ) = 0 时称为正交或互,相垂直.,与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中，,有三角形不等式和勾股定理.我们可以定义两个向,量, 的距离,与实内积空间一样，在酉空间V 中，有正交向,量组的概念，并且可以证明：正交向量组一定线性,无关.从而有正交基、标准正交基的概念，利用施,密特正交化和单位化，可把V 的一个基变成与它等,价的标准正交基.,n 维酉空间V 中，向量组η1,η2,…,ηn是V 的一个,标准正交基当且仅当,,利用标准正交基η1,η2,…,ηn，容易计算向量的内,积. 设, 在η1,η2,…,ηn下的坐标分别是, =(x1,x2,…,xn)’,  =(y1,y2,…,yn)’, 则,,,,利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积,表达. 设 在标准正交基η1,η2,…,ηn下的坐标是,(x1,x2,…,xn)’,则,,两边用ηj作内积，得,,因此,,（3）,（3）式称为 的傅里叶（Fourier）展开，其中每,个系数（  ，ηj）称为 的傅里叶（Fourier）系数.,n维酉空间V 中，向量组η1,η2,…,ηn是V 的一个,标准正交基，向量组1, 2,…, n 满足,,则i在标准正交基η1,η2,…,ηn下的坐标是P的第,i列Xi ,,,，于是,1, 2,…, n 是V 的一个标准正交基,,,,,的共轭复数作元素的矩阵.,如 P 满足,则称之为酉矩阵.,它的行列式的绝对值等于1 .,,,,或,两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.,类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以,引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵.,它们也分别,具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把,它列举在下面：,1) 酉空间 V 的线性变换 A ，如果满足,(A  , A  ) = ( ,  )，,就称为 V 的一个酉变换.,酉变换在标准正交基下,的矩阵是酉矩阵.,2) 如果矩阵 A 满足,则叫埃尔米特(Hermite)矩阵.,在酉空间 Cn 中令,则,(A  ,  ) = ( , A  )，,A 也是对称变换.,3) V 是酉空间，V1 是子空间，V1 是 V1 的,正交补，则 V = V1  V1 .,又设 V1 是对称变换的不变子空间，则 V1 也,是不变子空间.,4) 埃尔米特矩阵的特征值为实数.,它的属于,不同特征值的特征向量必正交.,5) 若 A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C，使,是对角形矩阵.,6) 设 A 是埃尔米特矩阵，二次齐次函数,叫做埃尔米特二次型.,必有酉矩阵 C，当 X=CY,时,。