概率论重点及课后题答案2.docx

第2章 条件概率与独立性一、大纲要求 （1）理解条件概率的定义.（2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式.（3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算.（4）了解独立重复试验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用.二、重点知识结构图 独立试验概型二项概率公式贝叶斯公式乘法公式：定义：事件独立性的定义条件概率概率全概率公式： 三、基础知识 1.条件概率定义 设有事件 ，且，在给定发生的条件下的条件概率，记为，有2．乘法公式定理 若对于任意事件，都有 ，则这个公式称为乘法定理.乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形.定理 设为任意个事件（），且 ，则有3．全概率公式定理 设为一列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有 则对任一事件，有. 4.贝叶斯公式 定理 设为一系列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有 则对任一具有正概率的事件，有 5.事件的相互独立性定义 若两事件满足 ，则称（或）相互独立，简称独立. 定理 若四对事件中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立. 定义 设是个事件，若对所有可能的组合成立： （共个） （共个）（共个）则称 相互独立. 定理 设个事件相互独立，那么，把其中任意（）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的个事件仍然相互独立. 6. 重复独立试验，而且这些重复试验具备：（1）每次试验条件都相同，因此各次试验中同一个事件的出现概率相同；（2）各次试验结果相互独立；满足这两个条件的 次重复试验，称为重独立试验. 定理 （二项概率公式）设在一次试验中，事件出现的概率为，则在重伯努利试验中，事件恰好出现次的概率为式中， 四、典型例题 例1 掷两颗骰子，在第一枚骰子出现的点数被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数大于8的概率. 解 同时掷两枚骰子，样本空间所包含的样本点数总数为.若设 ={第一枚骰子出现的点数能被3整除}，则第一枚骰子出现3点或者6点，此时事件所包含的样本数为.设={两枚骰子出现的点数之和大于8}，则={（3,6），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）}，故， ， 例2 袋子有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，现有两人依次随机地从袋子中各取一球，然后不放回，求两人取得黄球的概率.解 设 ={第个人摸到黄球} ，则例3 对一个目标依次进行三次对立的射击，设第一、二、三次射击命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：（1）三次射击击中恰好有一次命中的概率；（2）三次射击中至少有一次命中的概率.解 设 ={第 次命中}， ={恰有一次命中}，={至少有一次命中}，则（1） （2）例4 设三次独立试验中事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率为19/27，求事件在一次试验中出现的概率.解 由于 解得例5 掷三枚均匀骰子，设={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样}， ={至少有一枚骰子掷出1}，问是否独立？解 考虑，若发生，则三枚骰子不出现1点，那么只有5种可能性发生（2,3,4,5,6），比不知发生时可能取的点数（1,2,3,4,5,6）少了一个，从5个数字取3个（可重复取），其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时有两个一样的可能性要大些，即.由此可以推出，故不独立.例6 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设，， 设某人检出阳性，问：他“带菌”的概率是多少？解 设={某人检出阳性}，={带菌}，={不带菌}由题设知，故所求的概率为 例7 甲、乙两人独立地对同一个目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率.解 设={甲射击一次命中目标}，={乙射击一次命中目标}，则所求概率为 例8 已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设={抽到一名男性}；={抽到一名女性}；={抽到一名色盲患者}，由全概率公式得由贝叶斯公式得例9 有两箱相同种类的零件，第一箱装50个，其中10个一等品；第二箱装30个，其中18个一等品.今从两箱中任取一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任选一个，均不放回抽样，试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.解 （1）设={在第次中取到一等品}（） ，={挑到第箱}，则（2）由于 故 例10 设，求 解 由于 故 例11 某商店成箱出售玻璃杯，每箱20个，假设各箱有0，1，2个残次品的概率依次为0.8,0.1,0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4个，如无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则退回.试求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率.解 设={顾客买下玻璃杯}，={箱中有只残次品}（=0,1,2） ，由题意可知，，则（1）由全概率公式，得（2）由贝叶斯公式，得五、课本习题全解2-1 （1）（2）（3）（4）2-2 因为是独立事件，所以有 （1） （2） （3）（4）2-3 因为，所以又因为，所以当时，第一个不等式中的等号成立；当时，第二个不等式中的等号成立；当时，第三个不等式中的等号成立.2-4 证明 所以，分别与独立2-5 设={射手击中目标}，={第一次击中目标}，={第二次击中目标}，={第三次击中目标}.有题意可知，，即； 2-6 设={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，={点数和为8}，={点数和为6}（1）（2）（3）2-7 设={此密码能被他们译出}，则2-8 2-9 设={第一次取得的全是黄球}，={第二次取出黄球、白球各一半}，则所以 2-10 设={第一次取得的是黄球}，={第二次取得的是黄球}，={第三次取得的是白球}，则所以 2-11 设={这批货获得通过}，={样本中恰有一台次品}，={这批空调设备退货}；={第一次抽的是合格品}，={第二次抽的是合格品}（1）（2）（3）2-12 设={选出的产品是次品}，={产品是由 厂生产}，={选出的产品是正品}（1） （2）（3）2-13 设={检验为次品}，={实际为正品}（1）（2）2-14 设={这位学生选修了会计}，={这位学生是女生} （1）（2）（3） 2-15 设={此人被诊断为患肺癌}，={此人确实患肺癌}（1）（2）（3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的.2-16 设={收到信息为0}，={发送信息为0}，则有所以 2-17 设={这批计算机是畅销品}，={这批计算机销路一般}，={这批计算机是滞销品}，={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有（1） （2）（3）（4）2-18 设={硬币抛掷出现正面}，={硬币是第个硬币} （=1,2,3,4,5），={抛掷又出现字面}（1） （2）， ， ， ， ；（3）2-19 设={一人击中}，={两人击中}，={三人击中}，={飞机被击落}.根据题意有所以 2-20 设={这批元件能出厂}，则 2-21 （1）设={这批产品经检验为合格品}，则 （2）设={产品真是合格品}，则六、自测题及答案1 设与为两事件，若，且 ，则与 .2 设事件与满足，， ，则 .3 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%和10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（ ）.（A） (B) (C) (D) 4.每次试验成功的概率为（），重复进行试验直到第次才取得（）次成功的概率是（ ）（A） （B）（C） （D）5．设事件与为互不相容事件，且 ，，则命题正确的是（ ）（A） （B） （C）与独立 （D）与不独立6. 设 为任意两个事件，且 ， ，则下列成立的是（ ）（A） （B）（C） （D）7.设 满足，则（ ）（A）是必然事件（B）（C）（D）8将一枚硬币独立地掷两次，设={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件（ ）（A）相互独立 （B）相互独立（C）两两独立 （D）两两独立9.设是两事件，且 ， ， ，则必有（ ）（A） （B）（C） （D）10．设 . 试证明：11．现有两种报警系统与，每种系统单独使用时，系统有效的概率为0.92，系统有效的概率为0.93.在失灵的条件下，有效的概率为0.85.试求：（1）在失灵的条件下，有效的概率；（2）这两个系统至少有一个有效的概率. 12．设有分别来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出2份，试求：（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率.13．甲袋中有9个白球和1个黑球。