甘肃省天水市2023-2024学年高一下学期5月期中数学（解析版）.docx

2023-2024学年高一第二学期期中联考数学试卷本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式计算即可.【详解】由余弦的二倍角公式知.故选：B2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（ ）A. B. 或 C. D. 或【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理结合特殊角的三角函数值即可求得的值.【详解】由正弦定理可得，由，，可得，则，又，则.故选：C3. 计算：（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正切两角差的公式即可求解.【详解】因为，所以，故.故选：A4. 已知向量，，若向量满足，且，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，根据数量积的坐标表示求出，即可求出向量的坐标，再求出其模.【详解】因为，设，又，所以，解得，所以，所以.故选：D5. 函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式及三角函数的周期性计算即可.【详解】，由正弦函数的周期性公式知最小正周期为.故选：B6. 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则对冰球所做的功为（ ） A. B. C. 17 D. 10【答案】C【解析】【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案.【详解】因为，，所以，又，故力对冰球所做的功为.故选：C.7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理边角互化即可求解.【详解】由得,由于，所以，故，故选：B8. 已知向量与是非零向量，且满足在上的投影为，，则与的夹角余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设与的夹角为，由投影的定义可得，再由数量积的定义结合，即可得出答案.【详解】设与的夹角为，因为在上的投影为，，所以，则，即，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在平行四边形中，，，，M是边上的中点，则可以表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】利用平面向量加减法的几何意义计算即可.【详解】易知，且，所以；.故选：AC10. 函数，则（ ）A. 的一条对称轴方程为 B. 的一个对称中心为C. 的最小值是 D. 的最大值是【答案】AD【解析】【分析】先化简，令求出的对称轴可判断A；令求出的对称中心可判断B；当或求出的最大值和最小值可判断C，D.【详解】对于A，令，所以，令，所以的一条对称轴方程为，故A正确；对于B，令，则，令，所以的一个对称中心为，故B错误；对于C，当时，最小值是，故C错误；对于D，当时，的最大值是，故D正确.故选：AD.11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为【答案】BCD【解析】分析】对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得，即可判断.【详解】对于A，若，又，，由正弦定理得，故A错误；对于B，由题意，，，由正弦定理得，故B正确；对于C，由余弦定理得，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，由，，及余弦定理得，，所以，当且仅当时取等号，所以的周长，所以周长的最大值为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量，，若与垂直，则非零向量的坐标可以是________.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一，非零向量的坐标满足且即可）【解析】【分析】根据向量垂直满足的坐标运算即可求解.【详解】与垂直，则，且不能同时为0，故取，故答案为：（答案不唯一，非零向量的坐标满足且即可）13. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，M，N分别为线段BC，DC上的点，且，，则的值为________.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，由于，，所以，故，,，故答案为：14. 我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点处分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图，则该塔高________m.【答案】60【解析】【分析】设，利用直角三角形的特殊角可表示长度，再根据余弦定理解计算即可.【详解】设，由在处分别测得塔顶P点的仰角为，，，则根据题意有，在中由余弦定理知，，因为三点共线，所以，则.故答案为：60【点睛】思路点睛：利用各点仰角可设高表示，再利用两角互补、余弦定理解方程即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知单位向量，的夹角为，，.（1）求；（2）求与的夹角余弦值.【答案】（1）6 （2）【解析】【分析】（1）由数量积的运算律求解即可；（2）由数量积的运算律先求出与，再由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】因为，.【小问2详解】，所以，，所以. 设与的夹角为，又，所以.16. 已知角，，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先利用同角三角函数关系求得，，从而利用两角差的正切公式求得，最后化弦为切代入求解即可；（2）利用两角和的正切公式求解即可.【小问1详解】由题意角，，由得，则.所以，所以.【小问2详解】.17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.（1）求角A的大小；（2）已知，，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标运算及正弦定理得，化简得，根据特殊角的三角函数值求解即可；（2）方法一：结合题干利用余弦定理求得，再代入面积公式求得，利用数量积定义求得，即可解答；方法二：根据三角形面积公式求得，进而利用数量积的定义求得，再利用余弦定理和题干求得和，即可得解.【小问1详解】由向量，，且，得，利用正弦定理可得，又，所以，可得.又，所以.【小问2详解】方法一：由（1）得，即由.得，得.又可得，此时，所以.方法二：由（1）得，，又，可得，此时，由余弦定理可得，即，由，得，得，由，可得，故.18. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，.（1）若，，，求AB的值；（2）若△ABC是锐角三角形，，求证：.【答案】（1）6 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先在△ACD中由余弦定理解得CD，再在△ABD中用余弦定理即可求解；（2）根据正弦定理得到和的关系，利用的范围即可得证.【小问1详解】在△ACD中，由余弦定理得，即，而，解得，则，在△ABD中，，由余弦定理得 ；【小问2详解】在锐角△ABC中，，且，则，由正弦定理得，显然，即，因此，即，所以.19. 对于数集，其中，.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.定义向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性质，则称为“向量伴随数集”.（1）已知数集，请你写出数集对应向量集，并验证是否具有性质；（2）已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质；（3）若，且具有性质，写出的值（不需要写出解析过程），并说明是否为“向量伴随数集”.【答案】（1），具有 （2），具有 （3），是【解析】【分析】（1）根据所给定义列出，再判断是否具有性质；（2）根据所给定义列出，再判断是否具有性质；（3）设数集对应的向量集，表示出，选取（），则中与垂直的元素必有形式，即可求出，再列出，找到符合题意的向量即可判断.【小问1详解】因为，所以，因为，，， 即对任意，存在，使得，所以具有性质.【小问2详解】因为，则 因为，，，，，即对任意，存在，使得，所以具有性质.【小问3详解】因为，设数集对应的向量集，则，选取（），则中与垂直的元素必有形式，则，又，当时，则，不符合题意，当时，则，不符合题意，当时，则，不符合题意，所以，则，解得或（舍去），所以，经检验时具有性质；此时，则子集 若取，，由，故，即存在不相等的向量，，使得，所以是“向量伴随数集”.【点睛】关键点点睛：本题是新定义问题，解答的关键是准确利用所给定义，再利用数量积的坐标表示判断.第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司。