D15函数的极限、无穷小无穷大、极限运算法则hw.ppt

主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即形如： 函数的极限函数的极限 第三节第三节 第一章 本本节内容：定义与性质节内容：定义与性质一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时时函数极限的定义函数极限的定义 引例引例. 描述性定义描述性定义（粗略地）：（粗略地）：设函数在设函数在 附近（去心）有定义：当附近（去心）有定义：当 无限接近于无限接近于 时时 的值无限接近于一个常数的值无限接近于一个常数 ，称，称 为为 当当 时的极限时的极限 定义定义1 . 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作极限存在函数局部有界(P36定理2) 这表明: 几何解释几何解释:例例1. 证明证证:故对任意的当时 , 因此总有例例2. 证明证证:故取当时, 必有因此例例3. 证明证证:（分析：欲使取则当时, 必有因此只要即 ）不妨令 ，要使得只要 即可，练习练习. 证明: 当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若且 A > 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A > 0 时, 取正数则在对应的邻域上(< 0)则存在( A < 0 )(P37定理3)若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有推论推论:(P37定理定理3´)分析分析:定理定理 2 . 若在的某去心邻域内, 且 则思考思考: 若定理若定理 2 中的条件改为中的条件改为是否必有是否必有不能不能! 证明：证明：略如 *定理定理3. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 （（P37 Th4））*定理定理3.有定义且有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列不存在 .法法2 找两个趋于的不同数列及使例例1. 证明不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列及有由定理 1 知不存在 .3. 左极限与右极限左极限与右极限（（单侧极限单侧极限））P34左极限 :当时, 有右极限 :当时, 有定理定理 3 .（（P34））( P39 题题* *11 )注：可以注：可以说明某些函数极限不存在，如符号函数说明某些函数极限不存在，如符号函数例例4. 给定函数讨论 时的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 . 因为显然所以不存在 .二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限引例引例. 定义定义2 . 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线 .A 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限例例5. 证明证证:取因此注注:就有故欲使只要直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，内容小结内容小结1. 函数极限的或定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考题思考题1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则例3 作业作业 P37 1；2 ; 4 ; Th1Th3Th2是否一定有？ 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 . 若时, 函数则称函数例如 :函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小 .时为无穷小.注：除除 0 以外任何以外任何很小的常数很小的常数都都不是无穷小不是无穷小 ! 其中 为时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 )证证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证 .二、二、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给任给 M > 0 ,一切满足的 x , 总有称函数当时为无穷大。

，，使对①类似可定义类似可定义(正数正数 X ) ,总存在注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! （P42. Ex 6）例如例如, 函数但不是无穷大 !例例 . 证明证证: 略见P40若 则直线为曲线的铅直渐近线 .铅直渐近线说明说明:三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系Th13. 无穷小与无穷大的关系Th2练习练习P42 ex 1 , 5P42 题*3 提示: 作业作业P42 4 (1) ; 8 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节第五节极限运算法则极限运算法则时, 有一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 证证: 由定义得设 则当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 . 例如，例如，( P56 题 4 (2)；P49 题1（12））见课件注：注：Th1 1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 . 2. 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设又设即当时, 有 .取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设又设即当时, 有 .取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .练习练习 . P31 Ex 5推论推论 2说明说明 ：： 无限个无穷小的乘积未必是无穷小无限个无穷小的乘积未必是无穷小 .例例1. 求 P48. 例8解解: 利用定理 2 可知说明说明 : y = 0 是的渐近线 .二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证证: 因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3-1 . 若推论推论: 若若且则( P46 定理定理 5保号性保号性 )利用保号性定理证明利用保号性定理证明 .说明说明: 定理定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令为无穷小定理定理 3-2 若且 B≠0 , 则有证证: 因有其中设由极限与无穷小关系定理 , 结论可得。

因此  为无穷小, 定理定理 3-2 . 若则有说明说明: 定理 3-2 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .( C 为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式试证证证:定理定理 3-3 若且 B≠0 , 则有证证: 略见P44；或者见本课件最后一页定理定理4 若则有提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .（已经在第二节讲过）例例3. 设有分式函数分式函数其中都是多项式 ,试证: 证证: 说明说明: 1. 不能直接用商的运算法则，如例不能直接用商的运算法则，如例4、例、例5要先化简，或者通过求倒数的极限要先化简，或者通过求倒数的极限 若例例5 . 求 解解:x = 1 时, 分母分母 = 0 , 分子分子≠0 ,例例4. x = 3 时分母为 0 !例例6 . 求解解: 分子分母同除以则“ 抓大头抓大头”原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )( 如如 P47 例例5 )( 如如 P47 例例6 )( 如如 P47 例例7 )三、三、 复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则定理定理5. 设且 x 满足时,又则有证证:略略 当时, 有当时, 有对上述取则当时故①因此①式成立.定理定理5. 设且 x 满足时,又则有 说明说明: 若定理中若定理中则类似可得例例7 . 求求解解: 方法方法 1则令∴∴ 原式方法方法 2内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 要求分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3-1 Th3-2 Th3-3Th5练习题练习题1.是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.解解: 原式2.问3. 求解法解法 1 （分子有理化）（分子有理化）原式 =解法解法 2 （换元）（换元） 令则原式 =作业作业P49 1 (3)，，(5)，，(7)，，(9), (14) 2 (2) 3 (2) 5思考题思考题 1. 设解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故2. 试确定常数 a 使解解 :令则故因此为无穷小(详见书详见书P44)定理定理 3-3 证明证明证证:有其中设无穷小有界由极限与无穷小关系定理 , 得因此  为无穷小, 注注。