综合检测题1.doc

第一章综合素能检测 时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1．(2014·全国高考卷Ⅰ) 某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是( ) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 [答案] B 2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为( ) A．6 B．3 2 C．6 D．12 2 [答案] D [解析] △OAB 是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝ ×6×4＝12. 1 2 3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5，菱形的对角线的长分别是 9 和 15，则 这个棱柱的侧面积是( ) A．30 B．60 3434 C．30＋135 D．135 34 [答案] A [解析] 由菱形的对角线长分别是 9 和 15，得菱形的边长为＝，则这 9 22＋ 15 2 2 3 2 34 个菱柱的侧面积为 4××5＝30. 3 2 34 34 4．半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A．πR3 B．πR3 3 24 3 8 C．πR3 D．πR3 5 25 5 8 [答案] A [解析] 依题意，得圆锥的底面周长为 πR，母线长为 R，则底面半径为 ，高为R， R 2 3 2 所以圆锥的体积为 ×π×( )2×R＝πR3. 1 3 R 2 3 2 3 24 5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V1和 V2，则 V1V2＝( ) A．13 B．11 C．21 D．31 [答案] D [解析] V1V2＝(Sh)( Sh)＝31. 1 3 6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则 该球的表面积为( ) A．π B．π 16 3 19 3 C．π D． π 19 12 4 3 [答案] B [解析] 设球半径是 R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为 2，侧棱长为 1 的正三 棱柱，记上，下底面的中心分别是 O1，O，易知球心是线段 O1O 的中点，于是 R2＝( )2＋( 1 2 ×2× )2＝，因此所求球的表面积是 4πR2＝4π×＝，选 B． 3 3 2 3 19 12 19 12 19π 3 7．一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A．8π B．6π C．4π D．π [答案] C [解析] 设正方体的棱长为 a，则 a3＝8，所以 a＝2，而此正方体内的球直径为 2，所 以 S表＝4πr2＝4π. 8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为 1，那么这个几 何体的体积为( ) A．1 B． 1 2 C． D． 1 3 1 6 [答案] C [解析] 该几何体的直观图为如图所示的四棱锥 P－ABCD，且 PA＝AB＝AD＝1，PA⊥AB，PA⊥AD，四边形 ABCD 为正方形，则 V＝ ×12×1＝ ，故 1 3 1 3 选 C． 9．(2015·全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙 角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约 为 3，估算出堆放斛的米约有( ) A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛 [答案] B [解析] 设圆锥底面半径为 r，则 ×2×3r＝8，∴r＝，所以米堆的体积为 1 4 16 3 × ×3×()2×5＝，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选 B． 1 4 1 3 16 3 320 9 320 9 9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84π，则圆台较小底面的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．3 [答案] A [解析] 设上，下底面半径为 r，R.则 2πR＝3×2πr，所以 R＝3r.又 π(r1＋r2)l＝S侧，所 以 S侧＝π(3r＋r)×3＝84π，所以 r＝7. 10．正三棱柱有一个半径为 cm 的内切球，则此棱柱的体积是( ) 3 A．9 cm3 B．54 cm3 3 C．27 cm3 D．18 cm3 3 [答案] B [解析] 由题意知棱柱的高为 2 cm，底面正三角形的内切圆的半径为 cm，∴底面 33 正三角形的边长为 6 cm，正三棱柱的底面面积为 9 cm2，∴此三棱柱的体积 3 V＝9×2＝54(cm3)． 33 11．(2014·课标全国Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线 画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削 得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A． B． 17 27 5 9 C． D． 10 27 1 3 [答案] C [解析] 由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示． 切削掉部分的体积 V1＝π×32×6－π×22×4－π×32×2＝20π(cm3)， 原来毛坯体积 V2＝π×32×6＝54π(cm3)． 故所求比值为＝＝. V1 V2 20π 54π 10 27 12．(2013·全国Ⅰ·理科)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如 果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A． cm3 B． cm3 500π 3 866π 3 C． cm3 D． cm3 1372π 3 2048π 3 [答案] A [解析] 设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆 的距离为 R－2，则 R2＝(R－2)2＋42，解得 R＝5.∴球的体积为＝ cm3. 4π × 53 3 500 3 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上) 13．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，三视图完全一样的 是__________ ________. [答案] ②④ 14．用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的 x 轴和 正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________ ________. [答案] 6 4 15．棱锥的高为 16，底面积为 512，平行于底面的截面面积为 50，则截得的棱台的高 为__________ ________. [答案] 11 [解析] 设棱台的高为 x，则有()2＝，解之，得 x＝11. 16－x 16 50 512 16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________ ________. [答案] 36＋128π [解析] 由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体 积为 V＝ ×3×4×6＋16π×8＝36＋128π. 1 2 三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 17．(本小题满分 10 分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 14，母线长为 10 cm.求圆锥的母线长． [解析] 如图，设圆锥母线长为 l，则＝ ，所以 l＝cm. l－10 l 1 4 40 3 18．(本小题满分 12 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体？ (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积． [解析] (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六 棱锥． (2)该几何体的侧视图如图．其中 AB＝AC，AD⊥BC，且 BC 的长是 俯视图正六边形对边的距离，即 BC＝a，AD 是正六棱锥的高，即 3 AD＝a，所以该平面图形的面积为 ·a·a＝ a2. 3 1 233 3 2 (3)设这个正六棱锥的底面积是 S，体积为 V， 则 S＝6×a2＝a2， 3 4 3 3 2 所以 V＝ ×a2×a＝ a3. 1 3 3 3 23 3 2 19．(本小题满分 12 分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋， 如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由． [解析] 因为 V半球＝ × πR3＝ × ×π×43≈134(cm3)， 1 2 4 3 1 2 4 3 V圆锥＝ πr2h＝ π×42×12≈201(cm3)， 1 3 1 3 134201， 所以 V半球V圆锥， 所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子． 20．(本小题满分 12 分)(2015·湖南常德上学期期末) 已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体 积． [解析] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为 1，底面 是半径为 2 和 的同心圆，故该几何体的体积为 4π×1－π( )2×1＝. 3 2 3 2 7π 4 21．(本题满分 12 分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方 形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为 2 m，高为 m，制造这个塔顶需要多少 7 铁板？ [解析]如图所示，连接 AC 和 BD 交于 O，连接 SO.作 SP⊥AB，连接 OP. 在 Rt△SOP 中，SO＝(m)，OP＝ BC＝1(m)， 7 1 2 所以 SP＝2(m)， 2 则△SAB 的面积是 ×2×2＝2(m2)． 1 222 所以四棱锥的侧面积是 4×2＝8(m2)， 22 即制造这个塔顶需要 8m2铁板． 2 22．(本小题满分 12 分)如图，正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，连接 A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥 A′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥 A′－BC′D 的体积． [解析] (1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体， ∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a， 2 ∴三棱锥 A′－BC′D 的表面积为 4× ×a××a＝2a2. 1 22 3 223 而正方体的表面积为 6a2，故三棱锥 A′－BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为 ＝. 2 3a2 6a2 3 3 (2)三棱锥 A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的． 故 V三棱锥 A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥 A′－ABD ＝a3－4× × a2×a＝. 1 3 1 2 a3 3 。