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4－3 奈奎斯特稳定判据 第三章曾经引见，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质独一确定对于三阶以下系统，解出特征根就能判别系统能否稳定三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面引见了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据 奈奎斯特〔Nyquist〕稳定判据〔简称奈氏判据〕是判别系统稳定性的又一重要方法它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联络起来的一种判据奈氏判据是一种图解法，它根据的是系统的开环频率特性由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，运用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和适用的优点奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念一、幅角定理一、幅角定理(Kauthy (Kauthy 幅角定理幅角定理) ) 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数实际根幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数实际根底上的由于奈氏判据是以幅角定理为根据的，因此有必要底上的由于奈氏判据是以幅角定理为根据的，因此有必要先简要地引见幅角定理。

先简要地引见幅角定理 设有一复变函数设有一复变函数 称之为辅助函数，其中称之为辅助函数，其中 是系统的开环传送函数是系统的开环传送函数. .通常可写成如下方式 式中 是系统的开环极点，将式〔4-106〕代入式〔4-105〕得 比较式〔4—107〕和式〔4—106〕可知， 辅助函数 的零点 即闭环传送函数的极点，即系统特征方程 的根因此，假设辅助函数 的零点都具有负的实部，即都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否那么系统便不稳定 假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为延续的正那么函数,也就是说 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析点，在 平面上必有一点〔称为映射点〕与之对应。

例如，当系统的开环传送函数为 那么其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 那么〔一〕〔一〕S S平面与平面与 平面的映射关系平面的映射关系  如图4—37所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点 图4-37 S平面上的点在F〔S〕平面上的映射 如图4—38所示，假设解析点 在S平面上沿封锁曲线 〔 不经过 的奇点〕按顺时针方向延续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封锁曲线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要根据辅助函数的性质而定 图4-38 S平面到F(s)平面的映射〔二〕幅角定理〔映射定理〕〔二〕幅角定理〔映射定理〕 设 在在S S平面上，除有限个奇点外，平面上，除有限个奇点外，为单值的延的延续正那么函数，假正那么函数，假设在在S S平面上任平面上任选一封一封锁曲曲线 s s，并使，并使 s s不不经过 的奇点，那么的奇点，那么S S平面上的封平面上的封锁曲曲线 s s 映射到映射到F(s)F(s)平面上也是一条封平面上也是一条封锁曲曲线 F F。

当解析点当解析点s s按按顺时针方向沿方向沿 s s 变化一周化一周时，那么在，那么在 平面上，平面上，  F F 曲曲线按逆按逆时针方方向向绕原点的周数原点的周数N N等于封等于封锁曲曲线 s s内包含内包含F(s) F(s) 的极点数的极点数P P与零与零点数点数Z Z之差即 N=P-Z N=P-Z 〔〔4—1084—108〕〕 式中，假式中，假设N>0N>0，那么，那么 F F按逆按逆时针方向方向绕F(s)F(s)平面坐平面坐标原原点点N N周；假周；假设N<0N<0，那么，那么 F F按按顺时针绕 F(s) F(s)平面坐平面坐标原点原点N N周；周；且假且假设 N=0 N=0，那么，那么 F F不包不包围F(s)F(s)平面坐平面坐标原点。

原点 在在图4—384—38中中, ,在在S S平面上有三个极点平面上有三个极点P1P1、、P2 P2 、、P3P3和三个和三个零点零点Z1Z1、、Z2Z2、、Z3 Z3 被 s s 曲曲线包包围的零点有的零点有Z1Z1、、Z2Z2两个，即两个，即Z=2Z=2，包，包围的极点只需的极点只需P2 P2 ，即，即P=1P=1，由式〔，由式〔4—1084—108〕得〕得 N=P-Z=1-2=-1 N=P-Z=1-2=-1 阐明明 s s 映射到映射到 F(s) F(s)平面上的封平面上的封锁曲曲线 F F顺时针绕F(s)F(s)平平面原点一周面原点一周 由幅角定理，我由幅角定理，我们可以确定可以确定辅助函数助函数 被被封封锁曲曲线 s s 所包所包围的极点数的极点数P P与零点数与零点数 Z Z的差的差值P-ZP-Z  前面曾经指出， 的极点数等于开环传送函数 的极点数，因此当从 平面上确定了封锁曲线F 的旋转周数N以后，那么在 S 平面上封锁曲线s 包含的零点数Z〔即系统的闭环极点数〕便可简单地由下式计算出来 Z=P-N 〔4-109〕 封锁曲线s和F 的外形是无关紧要的，由于它不影响上述结论。

关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单阐明设有辅助函数为 〔4-110〕 其零、极点在S平面上的分布如图 4—39 所示，在 S平面上作一封锁曲线s , s不经过上述零、极点，在封锁曲线s 上任取一点 , 其对应的辅助函数 的幅角应为 (4-111) 当解析点s1沿封锁曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，一切位于封锁曲线s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封锁曲线s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2pi弧度〔一周〕这样，对图4—39〔a〕，Z=1，P=0， ，即N=－1， 绕 平面原点顺时针旋转一周；对图4—39〔b〕，Z=0，P=1， ，即N=1， 绕 平面原点逆时针旋转一周；对图4—39〔c〕，Z=1，P=1， ，即N=0， 不包围 平面原点。

将上述分析推行到普通情况那么有 〔4-112〕由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z 〔4-113〕图 4-39Fs图 4-39图 4-39 二、基于辅助函数 的奈氏判据 为了分析反响控制系统的稳定性，只须判别能否存在S平面右半部的闭环极点为此，在S平面上作一条完好的封锁曲线s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕如图4—40所示，该曲线包括S平面的整个虚轴〔由 到 〕及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封锁轨迹这一封锁无穷大半圆称作奈氏轨迹显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数图4-40 Nyquist轨迹 前面曾经指出，辅助函数 的极点等于系统的开环极点， 的零点等于系统的闭环极点。

因此，假设奈氏轨迹中包围 的零点数Z=0，系统是稳定的，此时由 映射到 平面上的封锁曲线F 逆时针绕坐标原点的周数应为 N=P 〔4-114〕由此得到运用幅角定理分析系统稳定性的判据如下：s 假设辅助函数 的解析点s沿奈氏轨迹 s 按顺时针延续环绕一周，它在 平面上的映射F 按逆时针方向环绕其原点 P周，那么系统是稳定的，否那么是不稳定的 假设开环系统是稳定的，即S平面右半部的开环极点数P=0此时系统稳定的充分条件是不包围 平面坐标原点，即 N=0三、基于开环传送函数三、基于开环传送函数 的奈氏判据的奈氏判据 用辅助函数用辅助函数 来分析系统的稳定性依然来分析系统的稳定性依然不大方便，不大方便， 实践上，实践上， 开环传送函数与辅助函数之间的关系非开环传送函数与辅助函数之间的关系非常简单，即常简单，即 〔〔4-115〕〕 上式意味着将上式意味着将 平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面即为面即为 GH平面〔如图平面〔如图4-41〕。

〕 平面的坐标原点是平面的坐标原点是GH 平平面的面的 点因此，点因此，  F 绕绕 平面原点的周数等效于平面原点的周数等效于 绕绕GH平面平面 点的周数点的周数1, j0)00[GH][F]1图4-41 由分析，得到基于开环传送函数 的奈氏判据如下： 闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射在GH平面上的封锁曲线 逆时针包围 点P周，其中P为开环传送函数 在S平面右半部的极点数 当 在S平面右半部没有极点时，即P=0，闭环系统稳定的充分必要条件是 在GH平面上不包围 点 四、基于开四、基于开环频率特性率特性 的奈氏判据的奈氏判据〔一〕〔一〕 与与 之之间的关系的关系 前面曾前面曾经指出，指出，频率特性是率特性是 特定情况下的特定情况下的传送函数。

下面分送函数下面分两种情况来研两种情况来研讨 与与 之之间的关系 1、当、当 在在S平面虚平面虚轴上〔包括原点〕无极点上〔包括原点〕无极点时，奈氏，奈氏轨迹可分成迹可分成三个部分如三个部分如图4—42所示，〔所示，〔1〕〕 ，，s沿沿负虚虚轴变化；〔化；〔2〕〕 ，，s沿正虚沿正虚轴变化；〔化；〔3〕〕 ，，s沿以原点沿以原点为圆心，半径心，半径为无无穷大的右大的右半半圆弧弧变化，其中化，其中 ，，对应 由由 顺时针绕图4-42 Nyquist轨迹s 〔1〕当s在S平面负虚轴上变化时， ，〔4-117〕在[GH]平面上的映射如图4—43中曲线〔1〕图4-43 s 在GH平面上的映射〔2〕当s在S平面正虚轴上变化时， 如图4-43中的曲线〔2〕，这正是系统的开环频率特性。

由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线〔1〕、〔2〕两部分也对称于实轴当s 过平面原点时， ，它在GH平面上的映射为 〔4-118〕即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K〔K为系统开环增益〕 〔3〕当s在s 的第三部分上的变化时， ， 当n=m时， 奈氏轨迹的第三部分〔无穷大半圆弧〕在GH平面上的映射为常数k〔根轨迹增益〕，如图4—43〔a〕所示 当n>m时， 〔4-121〕s的第三部分在GH平面上的映射是它的坐标原点〔图4—43〔b〕〕。

奈氏轨迹s 在GH平面上的映射 称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线4-120)(4-119) 2、当 在S平面的虚轴上〔包括原点〕有极点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，s必需避开虚轴上的一切开环极点添加第4部分曲线，如图4-44所示其中〔1〕〔2〕 和〔3〕部分的定义与图4—42一样. 第〔4〕部分的定义是：阐明s沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化〔 〕这样， s 既绕过了 原点上的极点， 又包围了整个右半S平面，假设在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将s 绕过这些虚轴上的极点设系统的开环传送函数为 〔4-122〕其中v称为无差度，即系统中含积分环节的个数或位于原点的开环极点数当 时， (4-123) 式(4-123)阐明， s 的第〔4〕部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为 弧度。

图4—45〔a〕、〔b〕分别表示当 v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是s 的无穷小半圆弧在GH平面上的映射图4-44 虚轴上有开环极点 时的奈氏轨迹图4-45 时的奈氏曲线s 运用奈氏判据分析系统稳定性时，能够会遇到以下三种情况： (i) 当系统开环传送函数 的全部极点都位于S平面左半部时〔P=0〕，假设系统的奈氏曲线 不包围GH平面的 点〔N=0〕，那么闭环系统是稳定的〔Z=P-N=0〕，否那么是不稳定的； 〔ii)当系统开环传送函数 有p个位于S平面右半部的极点时，假设系统的奈氏曲线 逆时针包围 点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数〔N=P〕，那么闭环系统是稳定的〔Z=P-N=0〕，否那么是不稳定的； (iii) 假设系统的奈氏曲线 顺时针包围 点〔N>0〕，那么闭环系统不稳定〔Z=P-N>0〕 〔iv〕当 曲线恰好经过GH平面的 点〔留意不是包围〕，此时假设系统无位于S平面右半部的开环极点，那么系统处于临界稳定形状。

综 上 ， 奈 氏 曲 线 能 否 包 围 GH平 面 的 点是判别系统能否稳定的重要根据五、奈氏判据的运用五、奈氏判据的运用 例例4—6 4—6 试用奈氏判据分析例用奈氏判据分析例4—14—1系系统的的稳定定性解解该系系统的开的开环传送函数送函数为 其其对应的的频率特性是率特性是 当当 时系系统的奈氏曲的奈氏曲线如如图 4-46 4-46所示该系系统的两的两个开个开环极点极点 和和 均在均在S S平面左半部，平面左半部，即即S S平面右半部的开平面右半部的开环极点数极点数P=0P=0，由，由图4-464-46可知，系可知，系统的奈氏曲的奈氏曲线 不包不包围 点〔点〔N=0N=0〕，根据奈氏判据，位于〕，根据奈氏判据，位于S S平面右半平面右半部的部的闭环极点数极点数 Z=P Z=P－－N=0N=0，， 该闭环系系统是是稳定的定的确定幅相曲确定幅相曲线起点和起点和终点，正确作出幅相曲点，正确作出幅相曲线对于判于判别系系统的的稳定性很重要定性很重要!!!。

图4-46 例4-6奈氏曲线 例例4—7 4—7 试用用奈奈氏氏判判据据分分析析例例4—34—3系系统的的稳定性 解解 该系系统的开的开环传送函数送函数为其其对应的的频率特性是率特性是当当 时，，系系统的的奈奈氏氏曲曲线如如图 4—484—48所所示示由由于于系系统含含有有一一个个积分分环节〔〔v=1v=1〕〕，，当当 对应奈奈氏氏曲曲线为顺时针环绕坐坐标原原点点的的无无穷大半大半圆〔〔图4—484—48中虚中虚线所示〕图4-48 例4-7奈氏曲线开环传送函数无右半S平面的极点，即P=0，系统能否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值 的大小，当 时， 不包围 点，即N=0图4-48〔a〕，系统是稳定的；当 时,奈氏曲线 顺时针包围 点两周，即 ,图4-48〔b〕，系统不稳定。

 例4—8 知反响控制系统的开环传送函数为试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性解 系统的开环频率特性是其幅频特性和相频特性分别是图4-50 例4-8系统的奈氏曲线。