第10章动能定理.ppt

理论力学1010 动动 能能 定定 理理9/4/20249/4/20241第10章 动能定理10.1 力的功10.2 质点和质点系的动能10.3 动能定理10.4 功率 功率方程 机械效率 10.5 势力场 势能 机械能守恒定律10.6 普遍定理的综合应用举例210.1 10.1 力的功力的功一、一、 常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功 功是代数量，在国际单位制中，功的单位为功是代数量，在国际单位制中，功的单位为 J J（焦耳）上式也可以写成上式也可以写成3 力在全路程上作的功等力在全路程上作的功等于元功之和于元功之和： 力在无限小位移力在无限小位移dr中作的功称为中作的功称为元功：元功：力力F从从M1到到M2的过程所作的功的过程所作的功在直角坐标系中，在直角坐标系中，i，，j，，k为三坐标轴的单位矢量，则为三坐标轴的单位矢量，则上两式也可写成以下矢量点乘形式上两式也可写成以下矢量点乘形式：二、变力在曲线运动中的功二、变力在曲线运动中的功 10.1 10.1 力的功力的功4根据质心坐标公式，有根据质心坐标公式，有 三、几种常见力的功三、几种常见力的功1 1．重力的功．重力的功重力重力重力作功为重力作功为 对于质点系，设质点对于质点系，设质点 i 的质量为的质量为mi，运动始末的高，运动始末的高度差为（度差为（zi1-zi2）），，则全部重力作功之和为：则全部重力作功之和为：在直角坐标轴上的投影为在直角坐标轴上的投影为所以所以10.1 10.1 力的功力的功5质点质点M 由由M1 运动到运动到 M2时，弹时，弹性力作功为性力作功为2 2．弹性力的功．弹性力的功弹性范围内，弹性力大小为弹性范围内，弹性力大小为k————弹性刚度系数（或刚性系数）。

弹性刚度系数（或刚性系数）弹性力弹性力10.1 10.1 力的功力的功6当质点从当质点从M1 1运动到运动到M2时，引力时，引力F作的功为作的功为3 3．万有引力的功．万有引力的功万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关质量为质量为m2的质点的质点M受到另一质量为受到另一质量为m1的固定点的固定点O的引的引力力F的作用由牛顿万有引力定律知的作用由牛顿万有引力定律知式中式中f 为万有引力常数为万有引力常数 f =6.667×10×10-11-11m3/（（kg·s·s2 2））r0r1r2M1M2MFo10.1 10.1 力的功力的功7 如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中算，其中Mz为力偶对转轴为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢的矩，也等于力偶矩矢M在轴在轴上的投影上的投影4 4．转动刚体上作用力的功．转动刚体上作用力的功力力F在切线上的投影为在切线上的投影为刚体转动时刚体转动时力力F的元功为的元功为因为因为Ft R等于等于F对于转轴对于转轴z的力矩的力矩Mz，于是，于是10.1 10.1 力的功力的功810.1 10.1 力的功力的功5 5．平面运动刚体上力系的功．平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。

平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力偶所作功之和偶所作功之和证明：证明：平面运动刚体上受多个力作用，平面运动刚体上受多个力作用，取刚体的质心取刚体的质心C为基点，当刚体为基点，当刚体有无限小位移时，任一力有无限小位移时，任一力Fi作用作用点点Mi的位移为：的位移为：910.1 10.1 力的功力的功力力Fi在在作用点作用点Mi位移上所作元功为：位移上所作元功为：如刚体无限小转角为如刚体无限小转角为d d ，则转角位移，则转角位移所以所以  — — Fi与转动位移与转动位移dric间的夹角间的夹角MC（（Fi）） — — Fi对质心对质心C的矩1010.1 10.1 力的功力的功力系全部力所作元功之和：力系全部力所作元功之和：结论：平面运动刚体上力系的功等于力结论：平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得力和力偶作功之和系向质心简化所得力和力偶作功之和11正压力　，摩擦力　作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3) 滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶m的功的功 6 6．摩擦力的功．摩擦力的功(1) 动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功FN=常量时, W= –f´FN S, 与质点的路径有关。

若m = 常量则10.1 10.1 力的功力的功127 7．质点系内力的功．质点系内力的功 只要只要A、、B两点间距离保持不变两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零内力的元功和就等于零 　不变质点系的内力功之和等于零刚体的内力功之和等于零不变质点系的内力功之和等于零刚体的内力功之和等于零不可伸长的绳索内力功之和等于零不可伸长的绳索内力功之和等于零10.1 10.1 力的功力的功138．理想约束力的功．理想约束力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束1．光滑固定面约束．光滑固定面约束2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承3．刚体沿固定面作纯滚动．刚体沿固定面作纯滚动4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）．联接刚体的光滑铰链（中间铰）5．柔索约束（不可伸长的绳索）．柔索约束（不可伸长的绳索）　　拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零10.1 10.1 力的功力的功14 一、一、 质点和质点系的动能质点和质点系的动能设质点的质量为设质点的质量为m，速度为，速度为v，则质点的动能为，则质点的动能为动能是标量，恒取正值。

在国际单位制中动能的单位也动能是标量，恒取正值在国际单位制中动能的单位也为为J（焦耳）2. 质点系的动能质点系的动能质点系内各质点动能之和称为质点系的动能，即质点系内各质点动能之和称为质点系的动能，即10.2 10.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能1. 质点的动能质点的动能15转动刚体的动能转动刚体的动能平动刚体的动能平动刚体的动能 10.2 10.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能16平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能点点C ——质心，质心， 点点P ————某瞬时的瞬心，某瞬时的瞬心，ω ————角速度角速度10.2 10.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能1710.2 10.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能例：均质细长杆为例：均质细长杆为l，重，重Q，上端，上端B靠在光滑的墙上，下端靠在光滑的墙上，下端A以铰以铰链和圆柱的中心相连圆柱重为链和圆柱的中心相连圆柱重为P，半径为，半径为r，放在粗糙的地面滚，放在粗糙的地面滚而不滑，图示位置时，点而不滑，图示位置时，点A的速度为的速度为v求此时系统的动能求此时系统的动能解：圆柱与杆都做平面运动解：圆柱与杆都做平面运动。

各点速度如图各点速度如图圆柱的速度瞬心为圆柱的速度瞬心为D D点；杆点；杆的速度瞬心为的速度瞬心为P P点P P各速度为：各速度为：1810.2 10.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能P P1910.2 10.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能练习：图示各均质物体的质量都是练习：图示各均质物体的质量都是m，物体的尺寸及绕轴转动的，物体的尺寸及绕轴转动的角速度或质心速度如图示试分别计算各种情况下物体的动能角速度或质心速度如图示试分别计算各种情况下物体的动能作业：作业：10-210-2，，10-310-3，，10-410-4，，10-5 10-5 20一、质点的动能定理一、质点的动能定理 取质点运动微分方程的取质点运动微分方程的矢量形式矢量形式 因因 得得上式称为质点动能定理的微分上式称为质点动能定理的微分形式形式: :即质点动能的增量等于即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功作用在质点上力的元功上式称为质点动能定理的积分形上式称为质点动能定理的积分形式：式：在质点运动的某个过程中，在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。

点的力作的功10.3 10.3 动能定理动能定理21 上式称为质点系动能定理的积分上式称为质点系动能定理的积分 形式：形式：质点系在某一段运动过程中，质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在作用于质点系的全部力在 这段过程中所作功的和这段过程中所作功的和二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质点，质量质点系内任一质点，质量为为mi，速度为，速度为vi，有，有式中式中δWi 为作用于这个为作用于这个质点上的力质点上的力Fi作的元功作的元功设质点系有设质点系有n个质点，个质点，将将n个方程相加，得：个方程相加，得：上式称为质点系动能定理的微上式称为质点系动能定理的微分形式：分形式：质点系动能的增量等质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的于作用于质点系全部力所作的元功的和元功的和上式积分，得：上式积分，得：10.3 10.3 动能定理动能定理22质点系内力的功质点系内力的功只要只要A、、B 两点间距离保持不变两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零内力的元功和就等于零 刚体的内力的功之和等于零。

不可伸长的绳索内力的刚体的内力的功之和等于零不可伸长的绳索内力的功之和等于零功之和等于零rBA10.3 10.3 动能定理动能定理23理想约束反力的功理想约束反力的功1 1．光滑固定面约束．光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束2 2．活动铰支座、固定铰支座和向心．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承轴承10.3 10.3 动能定理动能定理245 5．柔性约束（不可伸长的绳索）．柔性约束（不可伸长的绳索）4 4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）．联接刚体的光滑铰链（中间铰）3 3．刚体沿固定面作纯滚动．刚体沿固定面作纯滚动10.3 10.3 动能定理动能定理25例．例．图示的均质杆图示的均质杆OA的质量为的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态设弹簧常数为处于自然状态设弹簧常数为 k =3kN/m，为使杆能由铅直，为使杆能由铅直位置位置OA转到水平位置转到水平位置OA’，在铅直位，在铅直位置时的角速度至少应为多大？置时的角速度至少应为多大？解：解：取取OA杆研究对象杆研究对象得得由由mgF10.3 10.3 动能定理动能定理26 例例: 均质圆盘均质圆盘A：：m，，r；滑块；滑块B：：m；杆；杆AB：质量不：质量不计，计，平行于斜面。

斜面倾角平行于斜面斜面倾角，摩擦系数，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系，圆盘作纯滚动，系统初始静止求：滑块的加速度统初始静止求：滑块的加速度解：解：取整体为研究对象取整体为研究对象运动学关系：运动学关系：由动能定理由动能定理:对对ｔｔ求导，得求导，得mgmgFNAFAFNBFBvw10.3 10.3 动能定理动能定理27 例例: 图示系统中图示系统中,均质圆盘均质圆盘A、、B各重各重P，半径均为，半径均为R, 两两盘中心线为水平线盘中心线为水平线, 盘盘A上作用矩为上作用矩为M(常量常量)的一力偶；重的一力偶；重物物D重重Q问下落距离问下落距离h时重物的速度与加速度时重物的速度与加速度绳重不计，绳重不计，绳不可伸长，盘绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止作纯滚动，初始时系统静止)QPP10.3 10.3 动能定理动能定理28解法一：解法一：(用动能定理）用动能定理）取取系统为研究对象系统为研究对象QPPavwAwBC1vB由运动分析知：由运动分析知：h10.3 10.3 动能定理动能定理29上面上面(1)式求导得：式求导得：(1)(1)10.3 10.3 动能定理动能定理3010.3 10.3 动能定理动能定理练习：练习：1010－－8 8解法二：解法二：(用动量矩定理）用动量矩定理）（（1 1）取圆盘）取圆盘A A及重物为研究对象及重物为研究对象由动量矩定理：由动量矩定理：（（2 2）取圆盘）取圆盘B B为研究对象为研究对象由平面运动微分方程：由平面运动微分方程：QPP3110.3 10.3 动能定理动能定理10-8 10-8 在图示滑轮组中悬挂两个重物在图示滑轮组中悬挂两个重物M M1 1和和M M2 2，质量分别为，质量分别为m m1 1与与m m2 2。

定滑轮定滑轮O O1 1的半径为的半径为r r1 1，质量为，质量为m m3 3；动滑轮；动滑轮O O2 2的半径为的半径为r r2 2，质量为，质量为m m4 4两轮均可视为均质圆盘如绳重和摩擦略去不计，并设两轮均可视为均质圆盘如绳重和摩擦略去不计，并设m m2 2>2>2m m1 1- -m m4 4 求重物M M2 2由静止下降距离由静止下降距离h h时的速度时的速度题10-8图32一、一、 功率功率 单位时间内力所做的功称为功率，以单位时间内力所做的功称为功率，以P表示 因为因为 所以所以 功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为式中式中Mz是力对转轴是力对转轴z的矩，的矩，ω是角速度即：是角速度即：作用于转动作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积10.4 10.4 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率33取质点系动能定理的微分形式，两端除以取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得，得 上式称为上式称为功率方程功率方程，即，即质点系动能对时间的一阶导数，质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。

等于作用于质点系的所有力的功率的代数和 每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）在一般情况（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）在一般情况下，功率方程可写成：下，功率方程可写成：或或二、二、 功率方程功率方程 10.4 10.4 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率34 ，如一部机器，如一部机器有有n级传动，设各级的效率分别级传动，设各级的效率分别为为η1、、η2 、、…、、ηn ,则总效率为则总效率为有效功率有效功率 = = 机械效率机械效率η表示机器对输入功率的有效利用程度，它表示机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一是评定机器质量好坏的指标之一显然显然，， ，机械效率用，机械效率用η表示，即表示，即三、三、 机械效率机械效率 10.4 10.4 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率35 例：例： 车床的电动机功率为车床的电动机功率为5.4 kW。

由于传动零件之间由于传动零件之间的摩擦耗损功率占输入功率的的摩擦耗损功率占输入功率的30%如工件的直径如工件的直径d = 100 mm，转速，转速n = 42 r/min，问允许切削力的最大值为多少？，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为若工件的转速改为n′=112 r/min，问允许切削力的最大值为，问允许切削力的最大值为多少？多少？解：解： 由题意知：由题意知： 当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为 设切削力为设切削力为F，切削速度为，切削速度为v，则，则 即即 10.4 10.4 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率36当当n′=112 r/min 时，允许的最大切削力为时，允许的最大切削力为当当n=42 r/min 时，允许的最大切削力为时，允许的最大切削力为 10.4 10.4 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率37 例：例： 电动机车质量为电动机车质量为m ，由静止以匀加速度，由静止以匀加速度a 沿水平沿水平直线轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于直线轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于kmg (其其中中k是常数是常数)。

求电动机车的功率求电动机车的功率 解：解：设电动机车行驶距离设电动机车行驶距离s时的速度为时的速度为v，发动机所做，发动机所做的功为的功为W，由动能定理得：，由动能定理得：将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并注意及及得电机车的功率得电机车的功率将将代入上式，得：代入上式，得：10.4 10.4 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率38 例：例：均质圆轮半径均质圆轮半径r，质量为，质量为m，受到轻微扰动后，在半，受到轻微扰动后，在半径为径为R的圆弧上往复滚动，如图所示设表面足够粗糙，的圆弧上往复滚动，如图所示设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动求质心使圆轮在滚动时无滑动求质心C的运动规律的运动规律 解：解：取轮为研究对象，取轮为研究对象，均质圆均质圆轮作平面运动，其动能为轮作平面运动，其动能为只有重力作功只有重力作功, ,重力的功率为重力的功率为 10.4 10.4 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率39应用功率方程：应用功率方程：得得当当θ很小时很小时sinθ≈,于是得质心于是得质心C的运动微分方程为的运动微分方程为10.4 10.4 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率作业：作业：10-610-6，，10-710-7，，10-1310-1340一、一、 势力场势力场 如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力力场场。

例：重力场，太阳引力场等等例：重力场，太阳引力场等等 如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为迹形状无关，这种力场称为势力场势力场（或（或保守力场保守力场） 在势力场中，物体受到的力称为在势力场中，物体受到的力称为有势力有势力（或（或保守力保守力）例：重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有例：重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有引力都是有势力引力都是有势力 10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律41 在势力场中，质点由点在势力场中，质点由点M 运动到任选的点运动到任选的点M0 ，有势，有势力所作的功称为质点在点力所作的功称为质点在点M 相对于点相对于点M0的的势能势能以V 表表示为示为 点点M0 称为称为零势能点零势能点在势力场中，势能的大小是相对在势力场中，势能的大小是相对零势能点而言的零势能点零势能点而言的零势能点M0可以任意选取，对于不同的可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。

零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值 二、二、 势能势能10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律421 1．重力场中的势能．重力场中的势能质点重力质点重力mg在各轴上的投影为在各轴上的投影为 取取Mo为零势能点，则质点在为零势能点，则质点在点点M的势能为的势能为 几种常见势能的计算几种常见势能的计算10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律432 2．弹性力场中的势能．弹性力场中的势能 设弹簧的一端固定，另一端与设弹簧的一端固定，另一端与物体连接弹簧的刚度系数为物体连接弹簧的刚度系数为k 取取M0为零势能点，则物体在点为零势能点，则物体在点M的势能为的势能为 如取弹簧的自然位置为零势能点，则有如取弹簧的自然位置为零势能点，则有δ0 = 0，则，则10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律443 3．万有引力场中的势能．万有引力场中的势能 设质量为设质量为m1 的质点受质量为的质点受质量为m2的物体的万有引力的物体的万有引力F 作用。

作用 取点取点M0为零势能点，则质点在点为零势能点，则质点在点M 的势能为的势能为式中式中 f 为引力常数为引力常数 因为因为 所以所以 如选取点如选取点M0 在无穷远处，即在无穷远处，即r1=∞，则，则 10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律45 如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点质点系中的各质点都处于其零势能点的一组的零势能点质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置，称为质点系的位置，称为质点系的““零势能位置零势能位置”” 10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 质点系从某位置到其质点系从某位置到其““零势能位置零势能位置””的运动过程中，的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能 例如：质点系在重力场中，取各质点的例如：质点系在重力场中，取各质点的z z坐标为坐标为z z1010，， z z2020 ，，……，， z zn0n0时为零势能位置，则质点系各质点时为零势能位置，则质点系各质点z z坐标为坐标为z z1 1，， z z2 2 ，，……，， z zn n时的势能为时的势能为4610.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律例：一质量为例：一质量为m、长为、长为 l 的均质杆的均质杆AB。

A端铰支，端铰支，B端由端由无重弹簧拉住，并于水平位置平衡此时弹簧已拉长无重弹簧拉住，并于水平位置平衡此时弹簧已拉长δ0如弹簧刚度系数为如弹簧刚度系数为k，，质点系重力势能质点系重力势能 其中其中m为质点系全部质量，为质点系全部质量，zc为质心的为质心的z坐标，坐标，zc0为零势为零势能位置质心能位置质心z坐标47(2)如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角角j 处，势能为处，势能为 (1)如重力以杆的水平位置为零如重力以杆的水平位置为零势能位置，弹簧以自然位置为零势势能位置，弹簧以自然位置为零势能点，则杆于微小摆角能点，则杆于微小摆角j处势能为处势能为注意注意 可得可得 10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律48 质点系在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算质点系在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算 设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点M1 到点到点M2，该力所作的功为，该力所作的功为W12。

取点取点M0 为零势能点，则为零势能点，则 因有势力的功与轨迹形状无关，从因有势力的功与轨迹形状无关，从M1经经M2到到M0 即即有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和终了位置的势能的差终了位置的势能的差10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律49 质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为机械能机械能 由质点系动能定理由质点系动能定理如只有有势力作功，则如只有有势力作功，则 移项后移项后 即即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变能保持不变这种质点系称为这种质点系称为保守系统保守系统10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律50 如质点系还受到非保守力的作用，称为如质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统非保守系统，非，非保守系统的机械能是不守恒的设保守力所作的功为保守系统的机械能是不守恒的设保守力所作的功为W12，， 非保守力所作的功为非保守力所作的功为W '12 ，由动能定理有，由动能定理有因因 则则 如如W ′12为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为为机械能耗散机械能耗散；； 如如W ′12为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对时外界对 系统输入了能量。

系统输入了能量10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律51 例例: 长为长为l，质量为，质量为m的均质直杆，的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上当杆无初瞬时直立于光滑的桌面上当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角杆的倾角和质心的位置表达）和质心的位置表达） 解：解：取杆为研究对象，由于水平方向不受外力，且初始取杆为研究对象，由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心静止，故质心C 铅垂下降铅垂下降由于只有重力作功由于只有重力作功, 因此机械因此机械能守恒取地面为零势能面能守恒取地面为零势能面10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律52由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：将将代入上式，化简后得代入上式，化简后得10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律53 例例: 两根均质杆两根均质杆AC和和BC各重为各重为P，长为，长为l，在，在C处光滑铰接，置于处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C 点高度点高度为为h，求铰，求铰C到达地面时的速度。

到达地面时的速度10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律54 解：取整体为研究对象：由于只解：取整体为研究对象：由于只有重力作功有重力作功, 因此机械能守恒取地因此机械能守恒取地面为零势能面面为零势能面分析分析AC杆运动，杆运动，由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：vAA点为其速度瞬心点为其速度瞬心10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律55 例：均质圆轮半径例：均质圆轮半径r，质量为，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时的圆弧上往复滚动，如图所示设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动求质心无滑动求质心C的运动规律的运动规律 解：取轮为研究对象，此系统解：取轮为研究对象，此系统的机械能守恒，取质心的最低位置的机械能守恒，取质心的最低位置O 为重力场零势能点，圆轮在任一为重力场零势能点，圆轮在任一位置的势能为位置的势能为同一瞬时的动能为同一瞬时的动能为由机械能守恒，有由机械能守恒，有10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律56把把V和和T的表达式代入，取导数后得的表达式代入，取导数后得于是得于是得 当当θ很小时，很小时， ，于是得，于是得 因因10.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律5710.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律5810.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律5910.5 10.5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律作业：作业：10-910-9，，10-11,10-1410-11,10-1460　　质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定　　质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。

理和动能定理　　动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标　　动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题 应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力 应用动能定理时，要考虑理想约束力和内力作不作功应用动能定理时，要考虑理想约束力和内力作不作功10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例61式为式为质点系动量定理的积分形式质点系动量定理的积分形式，即，即在某一时间间隔内，在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和冲量的矢量和 即即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和量和。

或或 即即质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和矢量和上式也可写成上式也可写成动量定动量定理理62在应用时应取投影形式在应用时应取投影形式在直角坐标系的投影式为在直角坐标系的投影式为和和动量定动量定理理63质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律，，则即即质点系的点系的动量保持不量保持不变1. 如果如果2. 如果如果，，则即即质点系的点系的动量在量在x轴上投影保持不上投影保持不变 以上结论称为以上结论称为质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律动量定动量定理理64质心运动定理质心运动定理 或或 上式表明，上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和（即等于外力的主矢）用于质点系外力的矢量和（即等于外力的主矢） 质心运动定质心运动定理理65质心运动定理是矢量式质心运动定理是矢量式应用时取投影形式应用时取投影形式直角坐标轴上的投影式为直角坐标轴上的投影式为自然轴上的投影式为自然轴上的投影式为质心运动定质心运动定理理66质心运动守恒定律质心运动守恒定律即即质心作匀速直心作匀速直线运运动；若开始静止，；若开始静止，则质心位置始心位置始终保保持不持不变。

2.2. 如果如果则则所以所以即即质心速度在心速度在x轴上的投影保持不上的投影保持不变；若开始速度在；若开始速度在x轴上上的投影等于零，的投影等于零，则质心沿心沿x轴的坐的坐标保持不保持不变1.1. 如果如果则则所以所以以上结论，称为以上结论，称为质心运动守恒定律质心运动守恒定律质心运动定质心运动定理理67上式称为质点系动量矩定理：上式称为质点系动量矩定理：质点系对于某定点质点系对于某定点O的动量矩对时间的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点对点O的主矩）的主矩）应用时，取投影式应用时，取投影式 动量矩定理动量矩定理68三、动量矩守恒定律三、动量矩守恒定律质点：质点：如果如果则则常矢量如果如果 则则常量 上述两种情况就是上述两种情况就是质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律质点系：质点系：如果如果 则则 则则 如果如果 常矢量 常量 上述两种情况就是上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律质点系的动量矩守恒定律 动量矩定理动量矩定理69刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程主动力：主动力：F1 ，，F2 ，，……，，Fn 轴承约束力：轴承约束力：FN1 ，，FN2由质点系对由质点系对z轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有 或或 以上各式均称为以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程。

转动惯量是刚体转动惯性的度量转动惯量是刚体转动惯性的度量70 设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系系F1、、F2、、…、、Fn，，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得理，得上式也可写成上式也可写成 以上两式称为刚体的以上两式称为刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程71 上式称为质点系动能定理的积分上式称为质点系动能定理的积分 形式：形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和中所作功的和 质点系的动能定理质点系的动能定理上式称为质点系动能定理的微分形式：上式称为质点系动能定理的微分形式：质点系动能的质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和上式积分，得：上式积分，得：动能定理动能定理72取质点系动能定理的微分形式，两端除以取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得，得 上式称为上式称为功率方程功率方程，即，即质点系动能对时间的一阶导数，质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。

等于作用于质点系的所有力的功率的代数和功率方程功率方程 功率功率··功率方程功率方程··机械效率机械效率73如只有有势力作功，则如只有有势力作功，则 即即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变械能保持不变这种质点系称为这种质点系称为保守系统保守系统势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律7410.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例应用动力学普遍定理的解题思路与应用原则应用动力学普遍定理的解题思路与应用原则（（1 1）首先以整体为研究对象，判断是否有守恒条件，如动量守）首先以整体为研究对象，判断是否有守恒条件，如动量守恒、动量矩守恒、质心运动守恒或机械能守恒恒、动量矩守恒、质心运动守恒或机械能守恒应优先考虑守应优先考虑守恒情况2 2）解刚体系动力学问题同解刚体系平衡问题一样，一般以整）解刚体系动力学问题同解刚体系平衡问题一样，一般以整体为研究对象，求解部分未知量；然后将刚体系分解，选取适体为研究对象，求解部分未知量；然后将刚体系分解，选取适当的研究对象，求出其余未知量。

当的研究对象，求出其余未知量3 3）有些动力学问题可用不同的定理求解，这时可比较其烦简）有些动力学问题可用不同的定理求解，这时可比较其烦简而选用某一定理而选用某一定理①①求物体的运动（速度、加速度）时，有时几个定理都可求解，求物体的运动（速度、加速度）时，有时几个定理都可求解，而往往用动能定理较简捷而往往用动能定理较简捷②②转动问题宜用动量矩定理转动问题宜用动量矩定理③③移动问题宜用动量定理或质心运动定理移动问题宜用动量定理或质心运动定理7510.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例④④力是距离的函数宜用动能定理；力是时间的函数宜用动量定力是距离的函数宜用动能定理；力是时间的函数宜用动量定理；力是常量则都可用理；力是常量则都可用⑤⑤碰撞问题宜用动量或动量矩定理碰撞问题宜用动量或动量矩定理4 4）有些动力学问题不能用某些定理求解，应根据题意而选用有些动力学问题不能用某些定理求解，应根据题意而选用需求力时几个普遍定理各有其局限性：需求力时几个普遍定理各有其局限性：动量定理和动量矩定理不能求内力，须取分离体或用动能定理动量定理和动量矩定理不能求内力，须取分离体或用动能定理。

动能定理中不反映理想约束力动能定理中不反映理想约束力如果求固定支座反力，应选用动量定理或质心运动定理如果求固定支座反力，应选用动量定理或质心运动定理5 5）有时问题较复杂，则应综合（运动学、动力学）运用例）有时问题较复杂，则应综合（运动学、动力学）运用例如同时求力和运动，或系统运动的自由度大于一如同时求力和运动，或系统运动的自由度大于一76解：取杆为研究对象解：取杆为研究对象或由动能定理（功率方程）：或由动能定理（功率方程）：例：均质杆例：均质杆OA，重，重P，长，长l，，绳子突然剪断求该瞬时，杆的绳子突然剪断求该瞬时，杆的角加速度及角加速度及O处约束力处约束力对对O点应用动量矩定理：点应用动量矩定理：10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例7710.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例由质心运动定理：由质心运动定理：a aaCyxyaCx78ll0AB　　例：图示弹簧两端各系以重物　　例：图示弹簧两端各系以重物A和和B，放在光滑的水平，放在光滑的水平面上面上, 重物重物A和和B的质量分别为的质量分别为m1、、m2, 弹簧的原长为弹簧的原长为l0，刚，刚度系数为度系数为k。

若将弹簧拉到若将弹簧拉到 l 然后无初速地释放，问当弹簧然后无初速地释放，问当弹簧回到原长时，重物回到原长时，重物A和和B的速度各为多少？的速度各为多少？10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例是否有物理量守恒？是否有物理量守恒？79ll0AB解：取整体为研究对象解：取整体为研究对象m1 gm2 gFAFBvAvBx因为因为，所以，所以应用动量定理应用动量定理应用动能定理应用动能定理（2）（1）由由(1)(1)、、(2)(2)两式解得：两式解得：10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例80　　例：图示圆环以角速度　　例：图示圆环以角速度ω绕铅垂轴绕铅垂轴AC自由转动此圆自由转动此圆环半经为环半经为R, 对轴的转动惯量为对轴的转动惯量为J在圆环中的点在圆环中的点A放一质量放一质量为为m的小球设由于微小的干扰小球离开点的小球设由于微小的干扰小球离开点A，小球与圆环，小球与圆环间的摩擦忽略不计求当小球到达点间的摩擦忽略不计求当小球到达点B和和C时，圆环的角速时，圆环的角速度和小球的速度度和小球的速度ACB10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例是否有物理量守恒？是否有物理量守恒？81ACB解：取整体为研究对象。

解：取整体为研究对象zmgPFyF1zF1xF1yFx1.小球小球A→B应用动量矩定理应用动量矩定理因为因为，所以，所以应用动能定理应用动能定理10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例82ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx2.小球小球A→C应用动量矩定理应用动量矩定理因为因为，所以，所以应用动能定理应用动能定理解得解得解得解得10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例练习：练习：10-2010-2083 例：如图所示两均质圆轮质量均为例：如图所示两均质圆轮质量均为m，半径为，半径为R，，A轮绕固定轮绕固定轴轴O转动，转动，B轮在倾角为轮在倾角为θ的斜面上作纯滚动，的斜面上作纯滚动，B轮中心的绳绕到轮中心的绳绕到A轮上若A轮上作用一力偶矩为轮上作用一力偶矩为M的力偶，忽略绳子的质量和的力偶，忽略绳子的质量和轴承的摩擦，求（轴承的摩擦，求（1））B轮中心轮中心C点的加速度；（点的加速度；（2）绳子的张力；）绳子的张力；（（3）轴承）轴承O的约束力；（的约束力；（4）斜面的摩擦力斜面的摩擦力10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例84解解:(1)取整体为研究对象。

取整体为研究对象假设轮假设轮B的中心的中心C由静止开始沿斜面向上运动一段距离由静止开始沿斜面向上运动一段距离s，则各力，则各力所作功的和为所作功的和为由动能定理，得由动能定理，得将上式对时间求导，得将上式对时间求导，得10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例85 (2)取轮取轮A为研究对象应用定轴转动微分方程为研究对象应用定轴转动微分方程其中其中 得得 (3)应用质心运动定理，得应用质心运动定理，得因因 aox=aoy=0，得，得10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例86 (3)取轮取轮B为研究对象，为研究对象，代入已量，得代入已量，得本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解 应用质心运动定理，得应用质心运动定理，得10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例87 例例: 均质细长杆为均质细长杆为l、质量为、质量为m，静止直立于，静止直立于光滑水平面光滑水平面上当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角上当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。

速度和地面约束力CA10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例88CA解：取杆为研究对象由于水平方向不受力，倒下过程中解：取杆为研究对象由于水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落质心将铅直下落由动能定理，得由动能定理，得 当当 时解出时解出 mgFNvAvCP 设任一瞬时杆与水平线的夹角为设任一瞬时杆与水平线的夹角为θ，如，如图所示，图所示，P为杆的瞬心为杆的瞬心由运动学知由运动学知, , 杆的角速度杆的角速度10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例89aA杆刚到达地面时杆刚到达地面时 由于质心运动在水平方向守恒，由于质心运动在水平方向守恒，aC 应为铅垂应为铅垂,以点以点A为基点为基点沿铅垂方向投影，得沿铅垂方向投影，得mgFNaCAC由刚体平面运动微分方程，得由刚体平面运动微分方程，得aA由运动学知由运动学知10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例90　　例：两个相同的滑轮　　例：两个相同的滑轮A和和B，半径各为，半径各为R，重量各为，重量各为P，，用绳缠绕连接。

两滑轮可视为均质圆轮系统从静止开始用绳缠绕连接两滑轮可视为均质圆轮系统从静止开始运动求轮运动求轮B质心质心C的速度的速度v及加速度及加速度a与下落距离与下落距离h的关系ACBh10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例91ACBh解：取整体为研究对象解：取整体为研究对象FxFyPPv由运动学知：由运动学知：ACBFxFyPPvFF'取轮取轮A为研究对象为研究对象取轮取轮B为研究对象为研究对象由动能定理：由动能定理：应用动量矩定理应用动量矩定理10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例92由于由于F=F'，开始时系统静止，所以，开始时系统静止，所以代入上面的方程，得代入上面的方程，得上式两边求导，得上式两边求导，得10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例93　　例：图示三棱柱体　　例：图示三棱柱体ABC的质量为的质量为m1, 放在光滑的水平放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动质量为面上，可以无摩擦地滑动质量为m2的均质圆柱体的均质圆柱体O由静由静止沿斜面止沿斜面AB向下滚动而不滑动如斜面的倾角为向下滚动而不滑动如斜面的倾角为θ,求三求三棱柱的加速度。

棱柱的加速度ABCO10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例94ABCOm1gm2gFNvrv1v1解：取整体为研究对象解：取整体为研究对象应用动量定理应用动量定理x因为因为，所以，所以应用动能定理应用动能定理s其中其中v210.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例95两边求导（注意：两边求导（注意： ），得），得所以所以10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例96例：重例：重150N的均质圆盘与重的均质圆盘与重60N、、长长24cm的均质杆的均质杆AB在在B处用处用铰链连接铰链连接 系统由图示位置无初速地释放系统由图示位置无初速地释放求系统经过最低位求系统经过最低位置置B'点时的速度及支座点时的速度及支座A的约束力的约束力解：解：（（1 1）由动量矩定理求盘的角加速度）由动量矩定理求盘的角加速度 取圆盘为研究对象取圆盘为研究对象，圆盘平动，圆盘平动由相对于质心的动量矩定理由相对于质心的动量矩定理10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例97（（2）用动能定理求速度。

用动能定理求速度 取系统研究初始时取系统研究初始时T1=0 ，， 最低位置时：最低位置时：代入数据，得代入数据，得由动能定理：由动能定理：vB′′G1G2G1G210.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例98（（3 3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度a a 由于由于所以所以 a a＝＝0 0 杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：盘质心加速度：盘质心加速度：aB′′aC以系统为研究对象以系统为研究对象10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例99（（4）由质心运动定理求支座反力由质心运动定理求支座反力代入数据，得代入数据，得以整体为研究对象以整体为研究对象10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例100　　例：物块　　例：物块A、、B的质量均为的质量均为m, 两均质圆轮两均质圆轮C、、D的质量的质量均为均为2m, 半径均为半径均为RC轮铰接于无重悬臂梁轮铰接于无重悬臂梁CK上上, D为动为动滑轮，梁的长度为滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动。

系统由静止开始，绳与轮间无滑动系统由静止开始运动运动, 求：求：1.A物块上升的加速度；物块上升的加速度；2.HE段绳的拉力；段绳的拉力；3.固固定端定端K处的约束力处的约束力KEDCBAH§§10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例101mgmg解：解：1.1.取整体为研究对象取整体为研究对象 式中式中得得该系统所有力的功率为该系统所有力的功率为vAvBKEDCBAH2mg2mg10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例102由功率方程由功率方程可解得可解得CAvAmgF2mgFCxFCy2.取轮取轮C和重物和重物A为研究对象为研究对象由质心运动微分方程，有由质心运动微分方程，有 所以所以 对点对点C应用动量矩定理应用动量矩定理10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例103KC3.取梁取梁CK为研究对象为研究对象F'CxF'CyFKxFKyMK解得解得 KEDCBAH10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例104例：例： 质量为质量为m 的杆置于两个半径为的杆置于两个半径为r ，，质量为　的实心圆柱上，质量为　的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力P时，杆的加速度。

设时，杆的加速度设接触处都有摩擦，而无相对滑动接触处都有摩擦，而无相对滑动取系统为研究对象，设任一瞬时，杆的速度为取系统为研究对象，设任一瞬时，杆的速度为v，，则圆柱体质心则圆柱体质心速度为速度为v/2，，角速度角速度系统的动能系统的动能由动能定理的微分形式：由动能定理的微分形式：解：解：(1)(1)用动能定理求解用动能定理求解vCw w10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例105(2) 用动量矩定理求解用动量矩定理求解　取系统为研究对象　取系统为研究对象根据动量矩定理：根据动量矩定理：10.6 10.6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例106第10章 动 能 定 理结 束作业：作业：10-2210-22，，10-2410-24107。