信号流图与梅森公式.doc

2.5 信号流图与梅森公式信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对 图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数. 1. 信号流图的组成及基本性质 信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两 个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支 路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入 支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出 节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特 征描述还需要以下专用术语:前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向 通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次 的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路.由图 2-31 的信号流图可以说明以上的基本元素,即是节点；74321XXXXXL为支路增益；jhdcba,,,,,L为输入节点；4, 1XX为输入节点；7X 为混合节点。

6532XXXX信号流图共有三条前向通道，第一条是；第二条是765321XXXXXX ；第三条是76531XXXXX765324XXXXXX有两个单独回路，一个是，起点和终点是；另一个起点、终点在的565XXX5X3X 自回路而且这两个回路无公共节点，是不接触回路图图 2-31 信号流图信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的2.5.2 信号流图的绘制信号流图的绘制 信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制 1． 根据系统方框图绘制 将方框图中比较点和引出点分别作为信号流图的节点，方框图中的方框变为信号流图中 标有传递函数的线段，便得到支路从系统方框图绘制信号流图是时应尽量精简节点数目若在方框图的比较点之前没有引出点，但在比较点之后有引出点时，只需在比较点之后设置一个节点即可，如图 2-32（a） 所示；若方框图的比较点之前有引出点，就需要在比较点和引出点处各设一个节点，分别 表示两个变量，两个节点之间的增益是 1，如图 2-32(b)所示图图 2-32 比较点与节点对应关系比较点与节点对应关系系统结构图如图 2-33 所示，其对应的信号流图如图 2-34 所示。

图图 2-33 比较点与节点对应关系比较点与节点对应关系图图 2-34 系统信号流图系统信号流图2． 根据系统方程绘制信号流图 某线形系统由下方程组描述12aXX 423eXbXX4324fXdXcXX根据系统（2-55） ，首先确定接点 ，然后绘制式（2-55）中各方程信4, 3, 2, 1XXXX号流图，如图 2-35（a）,(b), (c), 所示；最后将各个图连接起来，即得到系统的信号流图，如图 2-35（d）所示 为输入变量，为输出变量1X4X图图 2-35 系统信号流图系统信号流图如果采用克莱姆法则求解，将输入变量 留到方程右侧，其余移到方程左边经整1X 理式（2-55）变为12aXX  0432eXXbX 0432eXXbX 上述方程组的系数行列式为1114 001011 11001   acabd dcbafde fdceb则有 14 41)(XfdedbcaX从上式求解过程可知，系数行列式与信号流图之间有一种巧妙的关系，首先作为传递 函数分母的系数行列式 ，其中的两项恰巧与信号流图中的两各回路增益之和相对应，即。

其次，作为传递函数分子系数行列式 的系数，其中的两项恰好与信号流图)(def 4中的两个前向通道总增益之和相对应，即这种对应关系，为我们直接从信号流acabd  图采用观察的方法，求区系统的传递函数提供了一般规律，这就是梅森公式的基本指导思 想2.5.3 梅森公式梅森公式由信号流图可以得到任意输入接点之间的传递函数，即任意两个节点之间的总增益 任意两个节点之间传递函数的梅森增益公式为knkPP 141式中：P 为从输入节点到输出节点的总增益（或传递函数） ； n 为从输入节点到输出节点的前向通道条数；为系统特征式，其中LfedcbaLLLLLL1为系统流图中所有单独回路的增益之和；aL为所有两个互不接触回路的回路增益乘积之和；cbLL为所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和；fedLLL为第 k 条的前向通道增益；kP为第 k 条前向通道的余因子，即在信号流图中，把与第 k 条前向通道相接触的回k 路除去以后的 值 例 2-11 如图 2-36 所示信号流图，求输入节点到输出节点的传递函数图图 2-36 例例 2-11 的系统信号流图的系统信号流图解 根据梅森增益公式，从输入节点到输出节点之间，只有一条前向通道，其增益为43211GGGGP 有三个单独回路，即 ，，1321HGGL2432HGGL343212HGGGGL 其回路之和为34321243121HGGGGHGGHGGLa这三个回路都有公共点，所以不存在互不接触电路。

于是特征式为3432124312111HGGGGHGGHGGLa因为这三个回路都和前向通道 接触，所以其余因子式 ，最后得到输入节点到输出节点 的总增益 P 即系统传递函数为34321243121432111 1HGGGGHGGHGGGGGGPP例 2-12 求图 2-37 所示信号流图的传递函数图图 2-37 例例 2-12 的系统信号流图的系统信号流图解 由图 2-37 知，系统有 4 个单独回路，分别为eghfLchLbgLafL4321,,,其回路之和为ehgfchbgafLLLLLa4321只有 与 回路互不接触，所以两两互不接触回路增益乘积为1L3LafchLL31于是特征式为afchehgfchbgaf1有两个前向通道，分别为 ，abcdP 1edP 2第一条前向通道与所有回路都接触，第二条前向通道与回路 不接触，因此bgL 2bg1, 121系统的总增益即传递函数为afchehgfchbgafbgedabcdPPP1)1 ()(1 2211例 2-13 如图 2-38 所示为一个交叉反馈系统，求其开环传递函数。

图图 2-38 例例 2-13 的系统结构图的系统结构图解 系统相应的信号流图如图 2-39 所示分析信号流图，克制有 5 个单独回路，分 别为，221 1)1)(1 (5 ssKsKL221 2)1)(1 (5 ssKsKL221 3)1)(1 (5 ssKsKLssKL1 41ssKL)1 (52 5图图 2-39 例例 2-13 的系统信号流图的系统信号流图其增益之和为54321LLLLLLa没有互不接触回路，系统特征式为22121221221221221 5)1 (5)1 ()1)(1 (15)1(51)1)(1 (5)1)(1 (5)1)(1 (51ssKssKssKsKs ssK ssKssKsK ssKsK ssKsKL前向通道有 4 条，分别为，ssKP1 11)1(52 2ssKP，221 3)1)(1 (5 ssKsKP221 4)1)(1 (5 ssKsKP4 个前向提到与所有的单独回路都接触，因此1, 1. 1, 14321由梅森公式得系统传递函数为)1)(1 (15)1 (5)1 ()1)(1 (10)1 (5)1 ()1)(1 (10)1 (5)1 (1)(1)(2121221212212144332211sKsKsKssKsssKsKsKssKsssKsKsKssKsPPPPPs  对于单位负反馈系统，有)(1)()(sGsGs式中为系统的开环传递函数，则)(sG 5)(5)51 (10)(106)105()1)(1 (5)1)(1 (10)1 (5)1 ( )(1)()(2122121221112122121sKKsKKsKKsKKKKsKsKssKsKsKssKs sssG熟悉了梅森公式以后，根据它求取系统得增益，比利用结构图更简便有效，特别是复 杂得多环系统和多输入，多输出系统效果更著。

因此，信号流图得到了广泛得使用，并常 用于控制系统得计算和辅助设计。