含参变量的积分.ppt

第三节,一、含参变量的有限积分,二、含参变量的无穷积分,含参变量的积分,第十二章,一、含参变量的有限积分,上的连续函数,,则积分,记作,u 称为参变量, 上式称为含参变量的有限积分.,含参变量积分的性质,定理1.(连续性),上连续,,则函数,— 连续性, 可积性, 可微性 :,,确定了一个定义在 上的函数,,在区间,也连续.,证:,在闭区域R上连续, 所以一致连续,,即,只要,就有,有,这说明,定理1 表明,,定义在闭矩形域上的连续函数,,其极限运,算与积分运算的顺序是可交换的.,同理可证,,上连续,,则含参变量的积分,定理2. (可积性),上连续,,推论:,在闭矩形域上连续函数f(x,y), 其累次积分可交换,即,定理2表明,,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同,变数的积分(简称累次积分)可交换积分次序.,求积顺序,,定理3. (可微性),都在矩形,证: 令,函数,,因上式左边的变上限积分可导,,右边,有,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续,时,,导数与积分运算是可以交换次序的 .,定理3说明,,变量外,积分上、下限也含有参变量，即,但,对应唯一一个积分（值）,则它仍是区间,的函数，设,.,一般情况，,含参变量的有限积分，除被积函数含有参,下面给出函数,在区间,的可微性.,定理4.,都在矩形域,而函数,与,在区间,可导，,，有,,则函数,在区间,可导，且,求函数,的导数(y0).,例1.,解：,，暂时固定，,，使,显然，被积函数,与,在矩形域,都连续，,根据定理2，有,例2.,解:,由被积函数的特点想到积分:,例3.,解:,考虑含参变量 t 的积分所确定的函数,显然,,由于,故,因此得,例4.,解:,例5.,分小时, 函数,的 n 阶导数存在, 且,证: 令,在原点的某个闭矩形邻域内连续,,由定理5 可得,,即,同理,于是,二.含参变量的无穷积分,1.含参变量的无穷积分的定义,设二元函数f(x,u)在区域,有定义。

无穷积分,都收敛，,即,都对应唯一一个无穷积分（值）,.,于是，,是区间,的函数，表为,称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，,u是参变量.,2.含参变量无穷积分一致收敛的定义,设,，无穷积分,收敛.,若,有,则称无穷积分,在区间I一致收敛证明：无穷积分,在区间[a,b](a0),例6.,一致收敛.,证明:,设A0,,无穷积分(u看作常数),已知a≤u≤b,有,使不等式,成立，解得,取,于是，,有,即无穷积分,在区间[a,b](a0)一致收敛.,,3.含参变量无穷积分一致收敛的判别法,定理5 (柯西一致收敛准则）,无穷积分,在区间 I,一致收敛,,,有,定理6(优函数判别法),若,有,,且无穷积分,收敛，,则无穷积分,在区间I一致收敛.,例7.,证明:无穷积分,在区间,一致收敛(a0).,证明：,有,因为无穷积分,收敛,,所以无穷积分,从而无穷积分,收敛，,也收敛,,根据定理6,则无穷积分,在区间,一致收敛(a0).,例8.证明无穷积分,在R一致收敛.,证明：,，有,.,而无穷积分,收敛,,则无穷积分,在R一致收敛.,说明:,虽然用定理6判别某些无穷积分一致收敛很简便,,但此定理的应用局限在无穷积分必是绝对收敛,,若无穷积分是一致收敛,同时又是条件收敛,,则不能用定理6来判别.,定理7.,若函数f(x,u)在区间,，,连续且,在D有界,即,,有,,无穷积分,,在区间I一致收敛.,即:,4.含参变量无穷积分的性质,定理8(连续性),★注意:,定理 9 (可积性),即,,(积分次序可交换),可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算,可以交换.即,定理10 (可微性),即,注意:,例9.,证明：,,证明:,,,已知,有,而无穷积分,收敛 .,根据定理6，无穷积分,在区间,一致收敛，,根据定理9，交换积分次序，有,。