《指数对数的恒成立问题》+论文.doc

指数对数的恒成立问题（学习新报张海亮约稿，周四上午交）江西省吉安县二中肖圣明 吉安县实验小学龚美珍恒成立问题是每年高考的热点与重点内容，从近年考题来看主要是侧重在考查学生 的数学转化能力与数学思想，下面以与指数、对数有关的恒成立的问题分类解析，旨在抛砖 引玉，希望给同学们复习时能有一点启示和帮助一、考查复合函数的单调性恒成立问题关于指、对数的函数恒成立的问题中常常涉及到其复合过程的单调性，对这种情况应分 别考察其复合过程中的每一个函数的单调性，同时又要整体考虑其单调性，对于对数函数而 言还要保证真数位置的值一定要大于零例L当xg［0,2］时，函数），= log状在其范围内恒为减函数，求a的取值范围.分析：本题可视为由两种基本初等函数复合而成的函数，其单调性应由两种函数的单 调性来决定解析：,/c?>0且a尹1, ..・设仁3 —以，则有y = log；;,显然函数片3 —以为减函数，3 从而知 a>l,又 t=3~ax在［0, 2］上应有 Q>0, A3-20. :.a<-o2故 1 V aV — 9点评：木题是由一次函数与对数函数复合的函数，要注意的一点是在保证C>0 的前提下求解。

二、考查分高变量后化求基本初等函数最值恒成立问题一个命题转化得越简单，其求解的思路就越明朗，对于指、对数函数的恒成立问题通常进行 等价命题转换，分离变量，分离后一般为〉f（X）或“0恒成立，求的取值范围.分析：木题是涉及以指数函数为背景构造的复合函数（二次）形式，可直接由二次函数 形式来解，但较发杂，而进行分离变量后由二次函数来解则显得思维清晰，明朗 + 2X解析：由题意，得1 + 2、+4在姮（一8, 1］上恒成立，即〉 在41 + 2xe（—oo,1|上恒成立，即只须求:y=———的最大值，而41 + ?v 1 1 ill 3"顷-顷顼+「当时值域为牛3 ‘3二> —4点评：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法，而分离 变量又是常采用的比较实在的技巧三、考查分离变量后利用导数工具求函数的最值恒成立问题导数是高中数学中处理与最极或极值、单调性等等有关的命题工具，近年高考中的大题凡涉 及函数恒成立的问题通常先分离变量后由导数来求另一边函数的最值来处理。

例3：已知2；〉芝对任意xe(O,l)恒成立，求实数的取值范围分析：本题是涉及指数函数形式、；昴函数形式的不等式恒成立问题，可通过两边取导分离 变量后由导数来处理1 1 a 1解析：在 两边取对数，得一In2>olnx，由于0〈尤<1,所以—— >—— ，x In 2 xlnx为此只须求出f(x) = —L , 0-e\n2.In 2四、考查两种函数之间关联构建恒成立的综合性问题两种函数之间的关联构建的恒成立问题，也是近年出现在高考中的一•种命题趋 势，特别是大题中体现了考查学生的一种能力例4：已知a>0,设函数f(x) = (x2+ax-3-2a)e3x f若在区间［0,3］上恒有25fM > 0 ,在区间［3,4］ 恒有广a)<0,函数g⑴=(屏+一)/•,若存在 4有孟［0,4］,使得|f()-g(窑|〉1恒成立，求a的取值范围。

分析：木题是考查两种与指数函数有关的复合函数构建的恒成立问题，应先分别求出/(X)与g(x)的值域来处理解析：由条件可知f(x)在区间［0,3］单调递增,在区间［3,4］ 单调递减，且有/(())= 一(3 + 2)/vO, /(4) = (13 + 2tz)gT〉0, /(3) 二 6>0,从而可知/(x)25在区间［0,4］上的值域为［~(2a + 3)疽M + 6］,又g(x) = (a2 +二)e、在区间［0,4J上为增函475 75数,所以其值域为［（后+仝）,3+仝）疽〕，4 40 25 o 1 1 o（er +——）一（ 6） 一 —= （一 一）~ NO ,4 4 225 3/.只须仅须（后+ —） - （ 6） > 1且a>0即可，化简求得4 23故所求的范围为2点评：本题是关于两种复合函数构建的恒成立问题，要从|/（）-g（）l〉l中真正理 解其含义，找出值域中两个值差的绝对值的最小值。