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中考数学二轮培优重点突破讲练专题33 将军饮马模型(教师版).docx

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    • 专题33 将军饮马模型【模型1】两点一线1.如图,在直线两侧各有一个定点,分别是点A、B,怎样在直线上找到一点P,使得PA+PB的值最小?思路:由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时,PA+PB的值最小,即为AB的长度.构图:连接AB,AB与的交点即为点P,如图所示:2.如图,在直线同侧有A、B两个定点,怎样在直线上找到一点P,使得PA+PB的值最小?构图:作点A关于的对称点A’,连接A’B,A’B与直线的交点即为点P,如图所示:3.如图,在直线同侧有A、B两个定点,怎样在直线上找到一点P,使得的值最大?构图:连接AB并延长与的交点即为点P,如图所示:4.如图,在直线两侧各有一个定点,分别是点A、B,怎样在直线上找到一点P,使得的值最大?构图:作点B关于直线的对称点B’,连接AB’并延长与的交点即为点P,如图所示:5.如图,在直线同侧有A、B两个定点,怎样在直线上找到一点P,使得的值最小?构图:连接AB,作AB的垂直平分线与直线交于点P,此时为0,如图所示:【模型2】一定两动1.如图,点P在∠AOB的内部,怎么样在OA上找一点C,在OB上找一点D,使△PCD的周长最小?构图:分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’,连接P’P’’,交OA、OB于点C、D,此时△PCD的周长最小,P’P’’即为△PCD的周长最小值,如图所示:2.如图,点P在∠AOB的内部,怎么样在OA上找一点C,在OB上找一点D,使PD+CD的值最小?构图:作点P关于OB的对称点P’,过点P’作P’C⊥OA交OB于点D,交OA于点C,此时PD+CD的值最小,P’C即为PD+CD的值最小.3.如图,点P在∠AOB的内部,怎样在OA、OB上分别取点C、D,使得△PCD的周长最小?构图:分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’,连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D,此时△PCD的周长最小值为PQ+P’Q’,如图所示:【模型3】两点两线在直线m、n上分别找两点P、Q,使得PA+PQ+QB的值最小.1.A、B两点都在直线的外侧2.一个点在内侧,一个点在外侧3.两个点都在内侧【例1】如图,正方形ABCD的边长为4,点M在DC上,且DM=1,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为(    )A.4 B. C. D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称,连接BM交AC于N′,N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可.【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴点B与D关于直线AC对称,∴DN=BN,连接BD,BM交AC于N′,连接DN′,∴当B、N、M共线时,DN+MN有最小值,则BM的长即为DN+MN的最小值,∴AC是线段BD的垂直平分线,又∵CD=4,DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3,在Rt△BCM中,BM=故DN+MN的最小值是5.故选:D.【例2】如图,O为矩形ABCD对角线AC,BD的交点,AB=8,M,N是直线BC上的动点,且MN=2,则OM+ON的最小值是____________.【答案】【分析】根据题意,过O作OH∥BC,且令OH=2,连接NH,作O点关于BC的对称点K,连接OK,KH,则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK,当H、N、K三点共线的时候,OM+ON有最小值,最小值为HK的长.根据矩形性质及图形的对称性,易知,在中,运用勾股定理求得HK的长即可.【解析】解:过O作OH∥BC,且令OH=2,连接NH,作O点关于BC的对称点K,连接OK,KH,∵OH∥BC,OH=MN=2,∴四边形OMNH是平行四边形,∴OM=NH,∴OM+ON= NH+ON.∵O点关于BC的对称点是点K,∴ON=NK,∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK,∵,∴当H、N、K三点共线的时候,OM+ON有最小值,最小值为HK的长.∵OH∥BC,O点关于BC的对称点是点K,∴.  ∵O为矩形ABCD对角线AC,BD的交点,O点关于BC的对称点是点K,∴OK=AB=8.∵OH= 2,,∴,∴OM+ON的最小值是.【例3】如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点,其中OA=2,S△ABC=12,点C在x轴的正半轴上,且OC=OB.(1)求直线AB的解析式;(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1,直线l1与y轴交于点E,与直线CB交于点D,过点E作y轴的垂线l2,若点P为y轴上一个动点,Q为直线l2上一个动点,求PD+PQ+DQ的最小值;(3)若点M为直线AB上的一点,在y轴上是否存在点N,使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形,若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=2x+4(2)(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形,N的坐标为(0,﹣2)或(0,10)【分析】(1)设OB=OC=m,由S△ABC=12,可得B(0,4),设直线AB解析式为y=kx+b,利用待定系数法即可求解;(2)将直线AB向下平移6个单位,则直线l1解析式为y=2x−2,可得E(0,−2),垂线l2的解析式为y=−2,由B(0,4),C(4,0),得直线BC解析式为y=−x+4,从而可求得D(2,2),作D关于y轴的对称点D,作D关于直线y=−2对称点D,连接DD交y轴于P,交直线y=−2于Q,此时PD+PQ+DQ的最小,根据D(−2,2),D(2,−6),得直线DD解析式为y=−2x−2,从而P(0,−2),Q(0,−2),故此时PD=2,PQ=0,DQ=,PD+PQ+DQ的最小值为4.(3)设P(p,2p+4),N(0,q),而A(−2,0),D(2,2),①以AD、MN为对角线,此时AD中点即为MN中点,根据中点公式得N(0,−2);②以AM、DN为对角线,同理可得N(0,10);③以AN、DM为对角线,同理可得N(0,−2).【解析】(1)解:(1)设OB=OC=m,∵OA=2,∴AC=m+2,A(﹣2,0),∵S△ABC=12,∴AC•OB=12,即m•(m+2)=12,解得m=4或m=﹣6(舍去),∴OB=OC=4,∴B(0,4),设直线AB解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线AB解析式为y=2x+4;(2)将直线ABy=2x+4向下平移6个单位,则直线l1解析式为y=2x﹣2,令x=0得y=﹣2,∴E(0,﹣2),垂线l2的解析式为y=﹣2,∵B(0,4),C(4,0),设直线BC解析式为y=px+q,∴,解得,∴直线BC解析式为y=﹣x+4,由得:,∴D(2,2),作D关于y轴的对称点D',作D关于直线y=﹣2对称点D'',连接D'D''交y轴于P,交直线y=﹣2于Q,此时PD+PQ+DQ的最小,如图:∴D'(﹣2,2),D''(2,﹣6),设直线D'D''解析式为y=sx+t,则,解得,∴直线D'D'解析式为y=﹣2x﹣2,令x=0得y=﹣2,即P(0,﹣2),令y=﹣2得x=0,即Q(0,﹣2),∴此时PD=2,PQ=0,DQ=2,∴PD+PQ+DQ的最小值为4.(3)存在,理由如下:设P(p,2p+4),N(0,q),而A(﹣2,0),D(2,2),①以AD、MN为对角线,如图:此时AD中点即为MN中点,∴,解得,∴N(0,﹣2);②以AM、DN为对角线,如图:同理可得:,解得,∴N(0,10);③以AN、DM为对角线,如图:同理可得,解得,∴N(0,﹣2),综上所述,以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形,N的坐标为(0,﹣2)或(0,10).一、单选题1.如图,点M是菱形ABCD的边BC的中点,P为对角线BD上的动点,若AB=2,∠A=120°,则PM+PC的最小值为(    )A.2 B. C. D.1【答案】B【分析】连接AM、AC,AM交BD于P,此时PM+PC最小,连接CP,由菱形的性质可知C和A关于BD对称,AP=CP,由条件易证△ABC是等边三角形,根据三线合一可知AM⊥BC,再根据勾股定理可求AM的值,即可求解.【解析】解:连接AM、AC,AM交BD于P,此时PM+PC最小,连接CP,∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,AC⊥BD,∴C和A关于BD对称,∴AP=PC,∵∠A=120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=2,∵M是BC的中点,∴AM⊥BC,∴∠BAM=30°,∴BM=1,∴AM=,∴PM+PC=AM=.故选B.2.已知线段AB及直线l,在直线上确定一点,使最小,则下图中哪一种作图方法满足条件(    ).A. B.C. D.【答案】C【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题.【解析】解:∵点A,B在直线l的同侧,∴作B点关于l的对称点B',连接AB'与l的交点为P,由对称性可知BP=B'P,∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小故选:C.3.如图1,在菱形ABCD中,AB=6,∠BAD=120°,点E是BC边上的一动点,点P是对角线BD上一动点,设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象,其中H(a,b)是图象上的最低点,则a+b的值为(  )A. B. C. D.36【答案】A【分析】从图2知,是的最小值,从图1作辅助线知;接下来求出,设与交于点,则求出,,最后得,所以,选.【解析】解:如下图,在边上取点,使得和关于对称,连接,得,连接,作,垂足为,由三角形三边关系和垂线段最短知,,即有最小值,菱形中,,,在△中,,解得,是图象上的最低点,此时令与交于点,由于,在△中,,又,,又的长度为,图2中是图象上的最低点,,又,,故选:A.4.如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是边AC上一点,若AE=2,则EM+CM的最小值为(    )A. B.3 C.2 D.4【答案】C【分析】连接BE,交AD于点M,过点E作EF⊥BC交于点F,此时EM+CM的值最小,求出BE即可.【解析】解:连接BE,交AD于点M,过点E作EF⊥BC交于点F,∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,∴B点与C点关于AD对称,∴BM=CM,∴EM+CM=EM+BM=BE,此时EM+CM的值最小,∵AC=6,AE=2,∴EC=4,在Rt△EFC中,∠ECF=60°,∴FC=2,EF=2,在Rt△BEF中,BF=4,∴BE=2,故选:C.5.如图,正方形ABCD的边长是4,点E是DC上一个点,且DE=1,P点在AC上移动,则PE+PD的最小值是(    )A.4 B.4.5 C.5.5 D.5【答案】D【分析】连接BE,交AC于点N',连接DN',N'即为所求的点,则BE的长即为DP+PE的最小值,利用勾股定理求出BE的长即可.【解析】解:如图,∵四边形ABCD是正方形,∴点B与点D关于直线AC对称,连接BE,交AC于点N',连接DN',∴DN'=BN',D。

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