学而思几何模型 (1).docx

中点模型【模型 1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交A AE【模型 2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连D【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ZABC=60°, G是DF的中点，连接GC、GE.(1) 如图1,当点E在BC边上时，若AB=10, BF=4,求GE的长；(2) 如图2,当点F在AB的延长线上时，线段GE、GC有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给 予证明；(3) 如图3,当点F在CB的延长线上时，()问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.E【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF,且AE=AF,ZDAE = /BAF.(1) 求证：CE=CF；(2) 若ZABC=120°，点G是线段AF的中点，连接DG、EG,求证：DG丄EG.解答】(1) 证明△ABE9\ADF 即可；(2) 延长DG与AB相交于点 H 连接HE,证明△ HBE^^EFD即可【例3】如图，在凹四边形ABCD中，AB=CD, E、F分别为BC、AD的中点，BA交EF延长线于G点, CD 交 EF 于 H 点，求证：ZBGE=ZCHE.【解答】取 BD 中点可证，如图所示E角平分线模型模型 1】构造轴对称模型 2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分ZBAD交BC边于E, EF丄AE交边CD于F点，交AD边 于H,延长BA到G点，使AG=CF，连接GF.若BC=7, DF=3, EH=3AE,则GF的长为 .【解答】延长 FE、AB 交于点 I,易得 CE=CF, BA=BE,设 CE=x,贝V BA = CD = 3+x, BE=7~x,3+x=7-x, x=2, AB=BE=5, AE=f〔；；，作 AJ 丄 BC,连接 AC,求得 GF=AC=3 -GH手拉手模型【条件】OA = OB, OC=OD,ZAOB=ZCOD【结论】△OACmHOBD,/AEB=/AOB=/COD （即都是旋转角）；OE平分ZAEDOEA导角核心图形：八字形【例5】（2014重庆市A卷）如图，正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点，点E在 CD上，且DE 2CE，连接BE.过点C作CF丄BE,垂足是F,连接OF,则OF的长为 .. —ar 模型很重要，对吗？【例6】如图，△ABC中，ZBAC=90°, AB=AC, AD丄BC于点D,点E在AC边上，连接BE, AG丄BE于F,交BC于点G,求ZDFG.答案】 45°A【例7】（2014重庆B卷）如图，在边长为6爲的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线一点，BE=DG,连接EG, CF丄EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE、BH若BH=8,则FG邻边相等对角互补模型模型1】【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°【结论】AC平分ZBCD模型 2】【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°【结论】① ZACB=ZACD=45°； ② BC+CD='込 AC【例8】如图，矩形ABCD中，AB=6, AD=5, G为CD中点，DE=DG，FG丄BE于F,则DF为.【例9】如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M 使BM=1,连接AM,过点B作BN丄AM, 垂足为N, O是对角线AC、BD的交点，连结ON,则ON的长为 .AB【答案】上歹5【例10】如图，正方形ABCD的面积为64, △BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G,则DG的长为 D CA BE【答案】4 \3 +4DCAB半角模型【模型1】【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,ZEAF=1 ZBAD, 点E在直线BC上，点F在直线CD上2【结论】 BE、DF、EF 满足截长补短关系【模型 2】【条件】如图，在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足ZEAF=45°, AE、 AF分别与对角线BD交于点M、N.【结论】①BE+DF=EF；② SAABE + SAADF = 7 AB；④ J = 2AB⑤ BM 2+DN2=MN2； ⑥△ANMs'DNFs'BEMs'AEFs'BNAs'DAM （由 AO： AH=AO： AB=1： 屁 可得到△ANM和AAEF相似比为 1： 込）炉$ = S :⑧厶AOMs^ADF； △AONs△ABE；⑨△ AENAAMN 四边形MNFE为等腰直角三角形，ZAEN=45。

HAFM为等腰直角三角形，ZAFM=45⑩A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆.DF模型 2 变形】【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是CB、DC延长线上的点，且满足ZEAF=45【结论】BE+EF=DF模型 2 变形】【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是BC、CD延长线上的点，且满足ZEAF=45【结论】DF+EF=BE【例11】如图，△ABC和ADEF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°，^DEF的顶点E 与AABC的斜边BC的中点重合，将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P， 射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.若AQ=12, BP=3，则PG= .【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型 设 AC=x，由厶BPCs^CEQ 得BP， 3/ (2)一£ (x+12),解得x=122CE CQ 2 x 2 x/设 PG=y，由 AG2+BP2—PG2得 32+(12—3—x)2=x2，解得 x=5【例12】如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点、E、F在AB、AD上，且AE=DF.连接BF与DE交于点G,连接CG与BD交于点H,若CG=1,则S四边形BCD= .解答】一线三等角模型【条件】ZEDF=ZB=ZC，且 DE=DF【结论】△ BDE^^CFD【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3, GC=4,连接EF、 FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH9WGI则 bc=bf+cf=hf—bh+fi—ci=gi—bh+he—ci7BFCADC弦图模型条件】正方形内或外互相垂直的四条线段结论】新构成了同心的正方形GG【例14】如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，点F在DE的延长线上，AF=AB, AC与FD交于点G,/FAB的平分线交FG于点H 过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I.若AH=3AI, FH=2迈，则DG= .【例15】如图，△ABC中，ZBAC=90°, AB=AC, AD丄BC于点D,点E是AC中点，连接BE,作AG 丄BE于F,交BC于点G,连接EG,求证：AG+EG=BE.C【解答】过点C作CH丄AC交AG的延长线于点H,易证AH最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马PA\\、.P2、费马点【垂线段最短】两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一 个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为1,求l的最 小值．【解答】600 + 500朽，点线为最短.【例17】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接 BE交AG于H,若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值为 ..A E F DB C【解答】如图，取AB中点P,连接PH、PD,易证PH三PD—PH即DH三亍5-1.GP怎样才能找到这样的P 点：实际上是某个圆的 圆心.【例18】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4, AD= 4-12 , E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点,△BEF沿直线EF翻折到△ BEF，连接DB , DB最短为.解答】4【例19】如图1, 口 ABCD中，AELBC于E, AE=AD, EG丄AB于G,延长GE、DC交于点F 连接AF.(1) 若 BE=2EC, AB=113，求 AD 的长；(2) 求证：EG=BG+FC；(3) 如图2,若AF= , EF=2,点M是线段AG上一动点，连接ME,将AGME沿ME翻折到△ GME , 连接DG，试求当DG取得最小值时GM的长.解答】1) 32) 如图所示3 117 — 3解得GM = GN + MN = ' 4 —课后练习题【练习1】如图，以正方形的迦B为斜边在正方形内作直角三角形ABE ZAEB=90° , AC.BD交于O.已知AE、BE的长分别为3、5,求三角形OBE的面积.BA【解答】【练习2】1问题1：如图1,在等腰梯形ABCD中，ADIIBC, AB=BC=CD,点M, N分别在AD, CD上, ZMBN 亍 ZABC,试探究线段MN, AM, CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2,在四边形ABCD中，AB=BC,ZABC+ZADC=180°,点M, N分别在DA, CD延长 线，若ZMBN= L ZABC仍然成立，请你进一步探究线段MN, AM, CN又有怎么样的关量关系？写出你 2的猜想，并给予证明。

解答】问题一 方法一：如图所示方法二：如图所示问题方法方法二：【练习3】已知：如图1,正方形ABCD中，为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接 DF, G为DF中点，连接EG, CG.(1) 求证：EG=CG 且 EG丄 CG；(2) 将图1中MEF绕B逆时针旋转45°，如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG,问(1)中的结 论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3) 将图1中ABEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问1)中的结论是否仍然 成立？解答】1)略2）方法一：如图所示方法二：如图所示（3） 方法方法二：。