数学建模第四章微分方程.ppt

动态动态问题问题• 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程• 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律• 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态• 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模• 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设• 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程一般处理动态连续问题一般处理动态连续问题 微分方程应用问题大多是物理或几何方面的典型微分方程应用问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只需用数学符号将已知规律问题，假设条件已经给出，只需用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的．而本章主要讨论实际问题，答案是唯一的，已经确定的．而本章主要讨论实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件．作出不要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件．作出不同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的．同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的．求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验．求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验． 微分方程建模是数学建模的重要方法之一，在自然微分方程建模是数学建模的重要方法之一，在自然科学以及工程、经济、军事、社会等学科中，许多实际科学以及工程、经济、军事、社会等学科中，许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题. 1.1.根据实际要求确定要研究的量（自变量、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系未知函数、必要的参数等）并确定坐标系．． 2.2.找出这些量所满足的动态特征和基本找出这些量所满足的动态特征和基本规律．规律． 3.3.运用这些规律列出方程和定解条件，运用这些规律列出方程和定解条件，从而建立微分方程模型．从而建立微分方程模型． 把各种实际问题化成微分方程的定解问把各种实际问题化成微分方程的定解问题，建立微分方程模型，可按以下步骤：题，建立微分方程模型，可按以下步骤：在工程实际问题中在工程实际问题中 * “改变改变”、、“变化变化”、、“增加增加”、、“减少减少”等关键等关键词提示我们注意什么量在变化词提示我们注意什么量在变化. 关键词关键词“速率速率”、、“增长增长” “衰变衰变” ，，“边边际的际的” ，常涉及到导数，常涉及到导数. 建建立立方方法法常常用用微微分分方方程程运用已知规律列方程运用已知规律列方程 利用平衡与增长式利用平衡与增长式 运用微元分析法运用微元分析法模拟近似法模拟近似法1.1.根据规律列方程．利用数学、力学、物理、化学根据规律列方程．利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规和定律，如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等建立问题的微分方程模型．律等建立问题的微分方程模型． 2.2.微元分析法．自然界中的许多现象所满足的规微元分析法．自然界中的许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。

对于律是通过变量的微元之间的关系式来表达的对于这类问题，不能直接列出自变量和未知函数及其变这类问题，不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知规律建立变量的微元之间的关系式，再通过取极知规律建立变量的微元之间的关系式，再通过取极限的方法得到微分方程模型．限的方法得到微分方程模型．与第一种方法不同的与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律．是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律． 3.3.模拟近似法．模拟近似法．在生物、经济等学科的实际问在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时解也是极其复杂的，建模时常常需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，根据假设，在不同的假设下去模拟实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法建立微分方程模型．型．然然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象．拟某些实际现象． 4.4.利用平衡与增长式．利用平衡与增长式．许多研究对象在数量上常许多研究对象在数量上常常表现出某种常表现出某种不变的特性不变的特性，利用变量间的平衡与增，利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系. . 例例1 一个较热的物体置于室温为一个较热的物体置于室温为180c的的房间内，该物体最初的温度是房间内，该物体最初的温度是600c，，3分钟以后分钟以后降到降到500c .想知道它的温度降到想知道它的温度降到300c 需要多少时需要多少时间？间？10分钟以后它的温度是多少？分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体的物体放入处于常温放入处于常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化的变化速率速率正正比于比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差. . 分析分析：假设房间足够大，放入温度较低或较：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡, ,保持为保持为m m，，采用牛顿冷却定律是一个采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似．相当好的近似． 建立模型建立模型：设物体在冷却过程中的温度为：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，，t≥0，， “T的变化速率正比于的变化速率正比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差” 翻译为翻译为数学语言数学语言建立微分方程建立微分方程其中参数其中参数k >0，，m=18. 求得通解为求得通解为代入条件，求得代入条件，求得c=42 ，，k=－－ , 最后得最后得 T(t)=18+42 , t ≥0. 结果结果 ：：T(10)=18+42 =25.870，，该物体温度降至该物体温度降至300c 需要需要8.17分钟分钟. 例例2 2、车间空气的清洁问题、车间空气的清洁问题 问题问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一台机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳（CO2），为清洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台风量为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来降低车间里的空气的CO2含量．假定通入的新鲜空气能与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量排出车间．又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2.问经过t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2?最多能把车间空气中CO2的百分比降到多少？设t时刻（单位为分钟）车间每立方米空气含CO2的百分比为x(t)%,考虑时间区间并利用质量守恒定律：内车间空气含CO2量的“增加”等于 时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量．用数学公式表示出来就是分析和建模分析和建模于是，令得其中，解为这就是t时刻空气中含CO2的百分比。

通常否则含CO2的量只会增加 令得这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到讨论：如果设V=10000立方米，r=0.3立方米/分钟，K=1500立方米/分钟，m=0.04%，x0=0.12%试问：（1）需多少分钟后，车间空气中含CO2的百分比低于0.08%?（2）车间空气中含CO2的百分比最多只能降到多少？ 此外，许多饲养场也要在限定的时间内使牲畜或此外，许多饲养场也要在限定的时间内使牲畜或家禽增肥到一定重量出售，取得最大利润．他们应该家禽增肥到一定重量出售，取得最大利润．他们应该怎么办？怎么办？ 对于人类来说，肥胖症或减肥问题越来越引起人对于人类来说，肥胖症或减肥问题越来越引起人们的广泛关注．一时间，爱美的人，害怕肥胖的人面们的广泛关注．一时间，爱美的人，害怕肥胖的人面对各种减肥食品、药物或疗法简直无所从适从．对各种减肥食品、药物或疗法简直无所从适从．试从数学上讨论减肥问题（即科学减肥的数学）试从数学上讨论减肥问题（即科学减肥的数学）分析分析：用：用热量平衡方程热量平衡方程来解此问题．来解此问题．4.1 减肥问题的数学模型减肥问题的数学模型热量热量B，活动消耗热量，活动消耗热量C×体重体重，并且理想假定增，并且理想假定增重、减重的重、减重的热量主要由脂肪提供，每公斤脂肪量主要由脂肪提供，每公斤脂肪转化化的的热量量为D，，记W(t)为体重，于是有下述平衡方程体重，于是有下述平衡方程得得微分方程微分方程设每天的饮食可产生热量设每天的饮食可产生热量A，用于新陈代谢消耗，用于新陈代谢消耗其中常数其中常数 与食量、新陈代谢有关，与食量、新陈代谢有关，与活动量有关与活动量有关. 为初始体重为初始体重. 解得解得分析分析：：1. 理论上增重，减肥都是可能的，因为当理论上增重，减肥都是可能的，因为当 时，时， ．调节．调节a与与b可得到你所愿望的可得到你所愿望的那个值．近代科技发展表明新陈代谢也是可调节的，那个值．近代科技发展表明新陈代谢也是可调节的，但如何调节但如何调节a，，b要靠医生、营养师、生物学家等一要靠医生、营养师、生物学家等一起来做．起来做．同时可以看出，通过减小同时可以看出，通过减小 a 或增大或增大 b 可达减肥目的．可达减肥目的．(1)减小减小即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食物，如糖、冰淇淋等）物，如糖、冰淇淋等）(2)增大增大即增加运动量可减轻体重．即增加运动量可减轻体重．反之，通过增大反之，通过增大 a 或减小或减小b 可达增肥目的．即可达增肥目的．即“多多吃少动，易肥胖吃少动，易肥胖”．．美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥．美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥．2. 只吃维持生命所需的那部分新陈代谢的热量是不行的，因为A=B使得a=0， ．要导致死亡．3. 只吃不活动也不行，因为这时b=0， . 说明要得肥胖症，很危险，也要导致死亡（当然体重不会无限变大）．4. 举重运动员控制体重数学问题：已知 ，要达到的值为 ，其期限为t，求a，b的最佳组合，使 成立．但解决这个问题还要靠教练，医生与运动员．4. 2 为什么要用三级火箭发射人造卫星为什么要用三级火箭发射人造卫星问题提出问题提出随着科学技术的不断发展，多级火箭早已取代了原随着科学技术的不断发展，多级火箭早已取代了原始的早期火箭的框架，可为始的早期火箭的框架，可为什么不能用一级火箭而什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？用三级火箭系统？ 建立数学模型解决这个问题建立数学模型解决这个问题.一些关于火箭的图片一些关于火箭的图片发动机的功力发动机的功力火箭的结构外型涉及到强度与阻力火箭的结构外型涉及到强度与阻力火箭的控制系统火箭的控制系统 运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行的因素：的因素：问题分析问题分析（（1 1）我们考虑卫星的运行速度、火箭的推力和火）我们考虑卫星的运行速度、火箭的推力和火箭与卫星的质量箭与卫星的质量. .假设：假设：（（3 3）） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动. . （（4 4）地球是固定于空间中的均匀球体，其它）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计星球对卫星的引力忽略不计. . （（2 2）火箭的结构、外形与控制等问题能满足保）火箭的结构、外形与控制等问题能满足保 证火箭正常运行的需要证火箭正常运行的需要. .r卫星R设卫星质量是设卫星质量是m,　地球质量是　地球质量是M,地球对卫星的引力地球对卫星的引力: 在地面有在地面有: :故引力故引力: : 卫星所受到的引力也就是它作卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力匀速圆周运动的向心力故又有故又有: :1 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星、为什么不能用一级火箭发射人造卫星? ? （（1 1））卫星能在轨道上运动的最低速度卫星能在轨道上运动的最低速度 设设g=9.8=9.8m/ /s2 2，，（（2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 假设：假设：将火箭简化为燃料仓将火箭简化为燃料仓+ +发动机，发动机，空气阻力不计空气阻力不计 记火箭在时刻记火箭在时刻 t 的质量和速度分别为的质量和速度分别为m(t)和和v(t) 火箭喷出的气体相对于火箭的速度为火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（（常数），常数）， 由动量守恒定理：由动量守恒定理： v0 0和和m0 0一定，火箭速度一定，火箭速度v( (t) )由喷发速度由喷发速度u及质量比决定及质量比决定由此解得：由此解得：现将火箭现将火箭————卫星系统的质量分成三部分：卫星系统的质量分成三部分： （（1 1））mP（（有效负载，如卫星）有效负载，如卫星）（（2 2））mF（（燃料质量）燃料质量）（（3 3））mS（（结构质量结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）如外壳、燃料容器及推进器） 最终质量为最终质量为mP + mS，初始速度为，初始速度为0，所以末速度：，所以末速度：根据目前的技术条件和燃料性根据目前的技术条件和燃料性能，能，u只能达到只能达到3公里公里/秒，即使秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不发射空壳火箭，其末速度也不超过超过6.6公里公里/秒。

秒 目前根本不目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低如果将结构质实际效益越来越低如果将结构质量在燃料燃烧过程中量在燃料燃烧过程中不断减少，那不断减少，那么末速度能达到要求吗？么末速度能达到要求吗？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 得到：得到：解得：解得： 由动量守恒定理：由动量守恒定理： 喷出气体动量喷出气体动量丢弃的结构部分的动量丢弃的结构部分的动量 记结构质量记结构质量mS在在mS + mF中占的比例为中占的比例为 ，，假设假设火箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构火箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以质量与燃料质量以 与与 的比例同时减少的比例同时减少. .  理想火箭与一级火箭最大区别在于，当火箭燃理想火箭与一级火箭最大区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，最终质量为料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，最终质量为mP，， 所以最终速度为：所以最终速度为： 只要只要m0足够大，我们可以足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具使卫星达到我们希望它具有的任意速度。

有的任意速度考虑到空气阻力和重力等因素，估考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星计（按比例的粗略估计）发射卫星要使要使v=10.5公里公里/秒才行，则可推秒才行，则可推算出算出m0/ mp约为约为51,即发射一吨重即发射一吨重的卫星大约需要的卫星大约需要50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 3 3、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近————多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n，，当第当第i级火箭的燃料烧尽时，第级火箭的燃料烧尽时，第i+1+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火级火箭．用箭．用mi表示第表示第i级火箭的质量，级火箭的质量，mP表示有效负载．表示有效负载． 为简单起见，先作如下假设：为简单起见，先作如下假设： （（iiii））设燃烧级初始质量与其负载质量之比设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为保持不变，并记比值为k．． （（i i））设各级火箭具有相同的设各级火箭具有相同的 , ,即即i级火箭中级火箭中 为结构质量，为结构质量， 为燃料质量为燃料质量. .考虑二级火箭：考虑二级火箭：其末速度为：其末速度为： 当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为： 第二级火箭点火第二级火箭点火.由由１中情形１中情形(2)(2)的分析，的分析， 当第一级火箭燃烧完时当第一级火箭燃烧完时 又由假设（又由假设（ii），），m2=kmP，，m1=k(m2+mP)，，代入上式并代入上式并仍设仍设u=3km/s，且为了计算方便，近似取，且为了计算方便，近似取λ=0.1，可得：，可得： 要使要使v2=10.5公里公里/秒，则应使秒，则应使: 即即k≈11.2，，而而: 类似地，可以推算出三级火箭：类似地，可以推算出三级火箭： 在同样假设下在同样假设下: : 要使要使υ3=10.5公里公里/秒，则秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，，k≈3.25，，而而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。

三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节省了一半几乎节省了一半 是否三级火箭就是最省呢是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论级、五级等火箭进行讨论考虑考虑n n级火箭：级火箭： 记记n级火箭的总质量（包含有效负载级火箭的总质量（包含有效负载mP）为）为m0 ，，在在相同的假设下可以计算出相应的相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的的值，见下表值，见下表n（（级数）级数）1 2 3 4 5 …… ∞∞（理想）（理想） 火箭质量火箭质量( (吨吨) )/ 149 77 65 60 …… 50表由于工艺的复杂性及每节火箭由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最算的，三级火箭提供了一个最好的方案好的方案当然若燃料的价钱很便宜当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。

也可选择二级火箭4 4、火箭结构的优化设计、火箭结构的优化设计 将将3 3中的假设中的假设(ii) (ii) 去掉，去掉，在各级火箭具有相同在各级火箭具有相同λλ的粗的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计 W1=m1+……+ mn+ mP W2=m2+……+ mn+ mP…………Wn= mn+ mPWn+1= mP记记应用（应用（* *）可求得末速度：）可求得末速度： 记记则则又又问题化为，在问题化为，在υn一定的条件下，求使一定的条件下，求使k1 k2……kn最小最小 解条件极值问题：解条件极值问题： 或等价地求解无约束极值问题：或等价地求解无约束极值问题： 可以解出最优结构设计应满足：可以解出最优结构设计应满足： 火箭结构优化设计讨论中火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（我们得到与假设（ii））相相符的结果，这说明前面的符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！讨论都是有效的！附：不采用4级火箭的原因•1：多级火箭采用发动机与1、2级火箭不同，级数越多，要求的技术越高•2：需要解决发动机的高空启动技术•3：发射时的故障率以级数成几何增长。

•例子：长征3号火箭一共发射12次，其中，第1、8、11次失败，原因就是第3级火箭的发动机发动失败及出现故障 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长．增长．　　 本节将建立简单的人口增长模型，以简略分析本节将建立简单的人口增长模型，以简略分析一下这方面的问题一下这方面的问题. . 一般生态系统的分析可以通过一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究．一些简单模型的复合来研究．美丽的大自然美丽的大自然 人口的数量本应取离散值，但由于人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为建立微分方程模人口数量一般较大，为建立微分方程模型，可将人口数量看作连续变量，甚至型，可将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的是十分微小的．．离散化为连续，方离散化为连续，方便研究便研究4.3 人口增长模型人口增长模型一一、、 问题的提出问题的提出二 人口、工业化的资金、粮食、不可再生资人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首题，而人口问题是这五大问题之首.三三 人口在不断的增长，人口在不断的增长， 其增长有无规律可循？其增长有无规律可循？四四 目标：预测人口发展趋势；控制人口增长目标：预测人口发展趋势；控制人口增长.二二、、建模准备建模准备三三 资料报告，公元前世界人口已接近资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）亿（粗略估计）四四 近一千年人口统计比较精细．看下图．近一千年人口统计比较精细．看下图．背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0联合国从联合国从1988年起，把年起，把7月月11日定为世界人口日．日定为世界人口日．模型假设模型假设•人口自然增人口自然增长率率 r （（r= =b- -d, , b为出为出生率，生率，d为死亡率）为死亡率）为常数．为常数．即：即：单位位时间内人口的增内人口的增长量与量与当当时的人口呈正比的人口呈正比．．模型建立模型建立1.指数增长模型指数增长模型(Malthus 模型模型)三三 、、 建立模型建立模型马尔萨斯马尔萨斯 ( Malthus 1766--1834)是英国的人是英国的人口学家．他根据百余年的人口统计资料口学家．他根据百余年的人口统计资料, 于于1798年提出著名的年提出著名的人口指数增长模型人口指数增长模型.x(t) ~时刻时刻t的的人口人口，，模型分析模型分析人口将人口将按指数规律无限增长按指数规律无限增长！！ 人口将人口将始终保持不变始终保持不变！！ 人口将人口将按指数规律减少至绝灭按指数规律减少至绝灭！！ 模型求解模型求解xtO 马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：：人口数量翻一人口数量翻一番所需的时间是固定的番所需的时间是固定的．令人口数量翻一番所需的时间为令人口数量翻一番所需的时间为T，，则有：则有： 人口倍增时间人口倍增时间模型分析模型分析将将t以年为单位离散化，模型表明人口以以年为单位离散化，模型表明人口以 为公比为公比的几何级数增长．的几何级数增长．所以可用近似关系　所以可用近似关系　 , 指数增长模型离散化的近似表示．指数增长模型离散化的近似表示．因为这时因为这时r表示年增长率表示年增长率, ,通常通常  比较历年的人口统计资料，比较历年的人口统计资料，十九世纪以前的欧十九世纪以前的欧洲洲人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，基本相符，例如，19611961年世界人口数为年世界人口数为30.6 30.6 （即（即3.06×1093.06×109），人口增长率约为），人口增长率约为2%2%，人口数大约每，人口数大约每3535年增加一倍。

检查年增加一倍检查17001700年至年至19611961的的260260年人口实际数年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马尔萨斯模型计量，发现两者几乎完全一致，且按马尔萨斯模型计算，人口数量每算，人口数量每34.634.6年增加一倍，两者也几乎相同年增加一倍，两者也几乎相同 但后人用他与十九世纪许多国家的人口资料比较时但后人用他与十九世纪许多国家的人口资料比较时发现与实际人口有相当大的差异发现与实际人口有相当大的差异模型检验模型检验Malthus模型预测美国人口模型预测美国人口模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长例如，到以几何级数的方式增长例如，到2510年，人口达年，人口达2×1014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达3.6×1016个，只好一个人站在另一人的个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了肩上排成二层了 故故马尔萨斯模型是不完善的马尔萨斯模型是不完善的。

MalthusMalthus模型实际上只有在群体总数模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象因此随着人口的增加，自然资随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显．的阻滞作用愈来愈明显．优点优点优点优点短期预报比较准确短期预报比较准确缺点缺点缺点缺点不适合中长期预报不适合中长期预报原因原因原因原因预报时假设人口增长率预报时假设人口增长率 r 为常数．没有为常数．没有考虑环境对人口增长的制约作用．考虑环境对人口增长的制约作用．模型评价模型评价所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关它应当与人口数量有关2.2.阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) ) 在马尔萨斯后，荷兰生物学家威赫尔斯特在马尔萨斯后，荷兰生物学家威赫尔斯特（（Verhulst）提出一个新的假设：）提出一个新的假设：人口的净增长率人口的净增长率r随着人口随着人口 的增加而减少．的增加而减少．人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用模型假设模型假设人口净增长率人口净增长率 r(t) 是是 x(t) 的线性减函数的线性减函数 .xm 为考考虑到受自然到受自然资源和源和环境条件限制所能容境条件限制所能容纳的最大人口数量的最大人口数量（称（称最大人口容量最大人口容量最大人口容量最大人口容量））. 当当 时时净增长率趋于零净增长率趋于零.模型建立模型建立阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )模型求解模型求解模型分析（定性分析）模型分析（定性分析）人口将人口将递减并趋于递减并趋于xm！！ 人口将人口将始终保持始终保持xm不变不变！！ 人口将人口将递增并趋于递增并趋于xm！！ 无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )人口总数达到人口最大容量人口总数达到人口最大容量xm一一半以前加速增长，过了该点以后，半以前加速增长，过了该点以后，增长率增长率r逐渐减小，并且趋于零逐渐减小，并且趋于零. .tm人口增长最快点人口增长最快点参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r, xm• 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位~百万）百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4 (百万百万)模型应用模型应用————预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用( (如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0x(2010)=306.0优点优点中期预报比较准确中期预报比较准确缺点缺点理论上很好，实用性不强理论上很好，实用性不强原因原因预报时假设固有人口增长率预报时假设固有人口增长率 r 以及最大以及最大人口容量人口容量 xm 为定值．为定值．实际上这两个参数（特别是实际上这两个参数（特别是 xm ）很难）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而确定，而且会随着社会发展情况变化而变化变化．．模型评价模型评价Malthus模型和模型和Logistic模型的总结模型的总结 Malthus模型和模型和Logistic模型模型均为模拟近似方程均为模拟近似方程．前一模型假设了种群增长率．前一模型假设了种群增长率r为一常数（为一常数（r称为该称为该种群的内增长率）．后一模型则假设环境只能供种群的内增长率）．后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项．养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项． 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符．相符性越好则模拟得越好，否相符或基本相符．相符性越好则模拟得越好，否则找出不相符的主要原因，对模型进行修改．则找出不相符的主要原因，对模型进行修改． MalthusMalthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究模型虽然都是为了研究人口增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他人口增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可．微分方程即可．  一、一、 问题的提出问题的提出 第一次世界大战期间，战争给第一次世界大战期间，战争给 人们带来了许多灾难．一场战争的结人们带来了许多灾难．一场战争的结 局怎样，是人们关心的问题，同样也局怎样，是人们关心的问题，同样也 引起了数学家们的注意，能用数量关系来预测战争引起了数学家们的注意，能用数量关系来预测战争 的胜负吗？的胜负吗？兰彻斯特兰彻斯特(F.W.LanchesterF.W.Lanchester) ) 首先提出了首先提出了 一些预测战争结局的数学模型，后来人们对这些模一些预测战争结局的数学模型，后来人们对这些模 型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些 著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战 和和19751975年结束的越南战争．年结束的越南战争．LanchesterLanchester作战模型虽作战模型虽 然比较简单，对局部战争还是有参考价值，为研究然比较简单，对局部战争还是有参考价值，为研究 社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例．社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例．4.4 战争模型战争模型分析：分析：1)1)影响战争的因素：影响战争的因素： 兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，后勤供应充分与否等后勤供应充分与否等. .2)2)抓主要矛盾：抓主要矛盾： 兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术. .若武器配备与指挥员水平相当，则重中之重便是若武器配备与指挥员水平相当，则重中之重便是兵员多少的问题兵员多少的问题. .问题：问题：两军对垒，甲军有两军对垒，甲军有m个士兵，乙军有个士兵，乙军有n个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局并预测战斗的结局. . 战争模型战争模型战争分类：正规战争，游击战争，混合战争战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例领域的实际问题提供了可借鉴的示例一般模型一般模型• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力• 每方非战斗减员率每方非战斗减员率(由疾病、逃跑等因素引由疾病、逃跑等因素引起起)与本方兵力成正比与本方兵力成正比• 甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t), v(t)x(t) ~甲方兵力，甲方兵力，y(t) ~乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设用用f(x, y)表示甲方的战斗减员率，表示甲方的战斗减员率，g(x, y)表表示乙方的战斗减员率示乙方的战斗减员率.一般模型一般模型f, g 取决于战争类型取决于战争类型x(t) ~甲方兵力，甲方兵力，y(t) ~乙方兵力乙方兵力模型模型 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f、、g的的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素具体表示形式，并分析影响战争结局的因素. 正规战争模型正规战争模型双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战 先分析甲方的战斗减员率先分析甲方的战斗减员率f(x, y). 由由于于甲甲方方士士兵兵的的活活动动是是公公开开的的，，当当一一个个甲甲方方士士兵兵被被杀杀伤伤，，乙乙方方的的火火力力立立即即集集中中到到其其余余士士兵兵身身上上，，所所以以甲甲方方的的战战斗斗减减员员率率只只与与乙乙方方兵兵力力有有关关，，简简单单地地假假设设f与与y成成正正比比：：f = ay，，a表表示示乙乙方方每每个个士士兵兵对对甲甲方方士士兵兵的的杀杀伤伤率率(单单位位时时间间的的杀杀伤伤数数)，，称称乙乙方方的的战战斗斗有有效效系系数数. a可可进进一一步步分分解解为为a = ry py，，其其中中ry是是乙乙方方的的射射击击率率(每每个个士士兵兵单单位位时时间间内内的的射射击击次次数数)，，py是每次射击的命中率是每次射击的命中率. 类似地有类似地有g = bx, b = rxpx. 正规战争模型正规战争模型• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战• 忽略非战斗减员忽略非战斗减员• 假设没有增援假设没有增援f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率a=ry py, ry ~射击率，射击率， py ~命中率命中率0正规战争模型正规战争模型为判断战争的结局，不求为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在平面上讨论而在平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系平方律平方律 模型模型乙方胜乙方胜 分分析析某某一一方方，，譬譬如如乙乙方方，，取取胜胜的的条条件件. 由由平平方方率率模型知乙方获胜的条件是模型知乙方获胜的条件是 (y0/x0)2 > b/a = rxpx/(rypy), 这这说说明明双双方方初初始始兵兵力力之之比比以以平平方方关关系系影影响响战战争争结结局局. 例例如如，，当当甲甲方方兵兵力力不不变变，，乙乙方方的的兵兵力力增增加加到到原原来来的的2倍倍，，则则乙乙方方影影响响战战争争结结局局的的能能力力增增加加到到原原来来的的4倍倍. 或或者者说说，，若若甲甲方方的的战战斗斗力力譬譬如如射射击击率率rx增增加加到到原原来来的的4倍倍(px, ry, py)均均不不变变，，则则为为了了与与此此抗抗衡衡，，乙乙方方须须将初始兵力增加到原来的将初始兵力增加到原来的2倍倍. 这正是两军作战时这正是两军作战时LanchesterLanchester平方定律的意义平方定律的意义, ,说明兵员增加战斗力大大加强说明兵员增加战斗力大大加强. .现在，解决开始所提的问题现在，解决开始所提的问题. .问题：问题：两军对垒，甲军有两军对垒，甲军有m 个士兵，乙军有个士兵，乙军有n个士个士兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测兵，试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局战斗的结局. .存在时刻存在时刻T ，，因此，甲军胜利，乙军失败因此，甲军胜利，乙军失败. .即甲军战死即甲军战死1313人，乙军人，乙军5050人全军覆灭人全军覆灭. . 当当y( (T)=0 )=0 时，时，游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战　　　　甲甲方方士士兵兵在在乙乙方方士士兵兵看看不不到到的的面面积积为为sx的的隐隐蔽蔽区区域域内内活活动动，，乙乙方方士士兵兵不不是是向向甲甲方方士士兵兵开开火火，，而而是是向向这这个个隐隐蔽蔽区区域域射射击击，，并并且且不不知知道道杀杀伤伤情情况况. 这这时时甲甲方方战战斗斗减减员员率率不不但但与与乙乙方方兵兵力力有有关关，，而而且且随随甲甲方方兵力的增加而增加兵力的增加而增加. 　　　　这这样样可可假假设设f = cxy，，且且乙乙方方战战斗斗有有效效系系数数c可可表表为为c = rysry/sx，，其其中中ry仍仍为为射射击击率率，，而而命命中中率率py等等于于乙方一次射击的有效面积乙方一次射击的有效面积sry与甲方活动面积与甲方活动面积sx之比之比. 类似地有类似地有g = dxy, d = rxpx = rxsrx/sy. 游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战• 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加• 忽略非战斗减员忽略非战斗减员• 假设没有增援假设没有增援f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率c = ry pyry~射击率射击率py ~命中率命中率py=sry /sxsx ~ 甲方活动面积甲方活动面积sry ~ 乙方射击有效面积乙方射击有效面积0游击战争模型游击战争模型线性律线性律 模型模型0混合战争模型混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须乙方必须10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力设设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=0.1(km2), sry=1(m2) 此模型曾用于分析越南战争，乙方为此模型曾用于分析越南战争，乙方为美国美国. 根据类似于以上的计算及上一世纪根据类似于以上的计算及上一世纪四五十年代发生在马来亚、菲律宾、老挝四五十年代发生在马来亚、菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要取胜至少要投入部队一方要取胜至少要投入8倍于游击部倍于游击部队的兵力，而美国最多只能派出队的兵力，而美国最多只能派出6倍于越倍于越南的兵力，越南战争最后以美国失败告终南的兵力，越南战争最后以美国失败告终. 模型评论模型评论 最象牙塔的数学理论研究，却与人类的生最象牙塔的数学理论研究，却与人类的生死存亡密切相关，每个微分方程竟然直接透着死存亡密切相关，每个微分方程竟然直接透着如此浓厚的火药与血腥气味！所有模型的检验如此浓厚的火药与血腥气味！所有模型的检验都是人们不愿意看到的，更不会刻意为了检验都是人们不愿意看到的，更不会刻意为了检验模型而投入模型而投入“战斗战斗”．事实上，模型的检验大．事实上，模型的检验大多是通过战后（敌我）资料反思获得验证！多是通过战后（敌我）资料反思获得验证！ 硫黄岛战役硫黄岛战役 J. H. Engel用用二二次次大大战战末末期期美美日日硫硫黄黄岛岛战战役役中中美美军军的的战战地地记记录录，，对对正正规规战战争争模模型型进进行行了了验验证证，，发发现现模模型型结结果果与与实际数据吻合很好实际数据吻合很好. 模型检验模型检验  附录附录 硫磺岛战役硫磺岛战役 硫硫磺磺岛岛是是太太平平洋洋上上一一座座由由火火山山熔熔岩岩冷冷却却后后形形成成的的火火山山岛岛，，地地形形起起伏伏，，沟沟壑壑纵纵横横，，熔熔洞洞密密布布，，悬悬崖崖峭峭壁壁临临海海高高耸耸．．从从高高空空俯俯瞰瞰，，20余余平平方方公公里里大大小小的的硫硫磺磺岛岛像像一一只只砍砍去去双双腿腿，，又又被被拔拔光光毛毛的的火火鸡鸡，，火火鸡鸡头头位位于于岛岛的的西西南南端端，，高高度度168米米的的摺摺钵钵山山雄雄踞踞鸡鸡头头，，是是全全岛岛制制高高点点，，一一个个鸡鸡嘴嘴状状的的岬岬角角一一直直伸伸进进滚滚滚滚波波涛涛中中．．北北部部从从鸡鸡背背一一直直到到东东北北部部鸡鸡尾尾部部分分，，是是一一片片错错落落起起伏伏的的高高地地，，由由一一系系列列小小山山岗岗和和陡陡峭峭的的峡峡谷谷构构成成．．小小山山岗岗高高程程大大多多百百米米左左右右，，地地形形复复杂杂，，可可伏伏重重兵兵．．南南部部鸡鸡脖脖子子和和鸡鸡胸胸部部位位，，地地势势低低平平，，有有一一小小片片被被梯梯状状台台地地逼逼住住的的海海滩滩，，勉勉强强可可作作登登陆陆场场．．除除此此以以外外，，全全岛岛没没有有任任何何可可供供船舶停靠的锚地或港湾．船舶停靠的锚地或港湾． 硫硫磺磺岛岛虽虽是是弹弹丸丸小小岛岛，，却却处处在在战战略略要要津津．．它它正正当当东东京京与与美美军军新新占占领领的的塞塞班班岛岛之之间间，，距距二二地地各各约约1200公公里里．．美美军军占占领领塞塞班班岛岛以以后后，，一一直直以以塞塞班班岛岛为为基基地地空空袭袭东东京京．．但但因因硫硫磺磺岛岛的的报报警警作作用用，，美美军军对对东东京京的的空空袭袭一一直直效效果果不不佳佳．．驻驻硫硫磺磺岛岛的的日日军军战战斗斗机机还还不不时时升升空空拦拦截截，，冲冲散散美美国国机机群群．．为为总总攻攻日日本本，，美美军军势势必必要要夺夺占占硫硫磺磺岛岛．．而而为为东东京京安安全全，，日日军军也也势势必必要要死死守守硫硫磺磺岛岛．．结结果果，，这这座座杳杳无无人人迹迹的的小小小小火火山山岛岛，，在在太太平平洋洋战战争后期，就成为日美必争之地．争后期，就成为日美必争之地． 美美军军在在控控制制菲菲律律宾宾后后，，于于1945年年1月月3日日开开始始，，对硫磺岛实施轰炸．对硫磺岛实施轰炸． 2月月16日日开开始始硫硫磺磺岛岛战战役役，，美美军军出出动动舰舰艇艇200多多艘艘次次，，飞飞机机400多多架架次次，，对对硫硫磺磺岛岛日日军军3个个机机场场和滩头阵地进行炮击和轰炸．和滩头阵地进行炮击和轰炸． 19日日，，美美海海军军陆陆战战第第4师师和和第第5师师在在600多多架架次次飞飞机机和和舰舰炮炮火火力力掩掩护护下下，，以以250多多艘艘登登陆陆艇艇和和500多多辆辆水水陆陆坦坦克克、、装装甲甲车车组组成成5个个登登陆陆波波，，在在硫硫磺磺岛岛东东南南部部登登陆陆．．经经过过两两周周激激战战，，残残余余的的3000多多日军退进山洞死守．日军退进山洞死守． 3月月8日日，，日日军军师师团团长长栗栗原原中中将将与与800余余名名残残兵在山洞内集体自杀．兵在山洞内集体自杀． 此此战战役役日日军军被被击击毙毙2.2万万人人，，被被俘俘1000人人；；美美军为攻占该岛阵亡军为攻占该岛阵亡7000人，负伤人，负伤1.9万人．万人．二战结束60周年之际, 美军老兵在硫磺岛纪念阵亡将士.二战结束60周年之际, 日本总统小泉在硫磺岛祭奠亡灵. 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。

然是一件十分有意义的工作4.5 传染病模型传染病模型 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大如何解释（同种疾病）的波及人数不会相差太大如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明这一现象呢？试用建模方法来加以证明 问题问题• 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程• 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律• 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻• 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段• 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型将传染病流行范围内的人群分成三类：将传染病流行范围内的人群分成三类：R R类：类：移出者移出者移出者移出者（（RemovalRemoval），），指被隔离，或具有指被隔离，或具有免疫力的人他们既非感病者，也非易感者，免疫力的人。

他们既非感病者，也非易感者，实际上他们退出了传染病系统实际上他们退出了传染病系统S S类：类：易感者易感者易感者易感者（（SusceptibleSusceptible），），指未得病者，但指未得病者，但与感病者接触后容易受到感染；与感病者接触后容易受到感染；I I类：类：感病者感病者感病者感病者（（InfectiveInfective），），指染上传染病的人；指染上传染病的人； 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t)• 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 ，，称为该疾病的传染强度．称为该疾病的传染强度．模型模型1 1假设假设建模建模? 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大体上反映了传染病流模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况．但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况． 若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人) 已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染. .模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康健康人人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 分别为分别为 2）每个病人每天能传染的人数与）每个病人每天能传染的人数与当时健康人数成正比，比例系数为当时健康人数成正比，比例系数为  建模建模  ~ 传传染强度染强度SI 模型模型模型模型2Logistic 模型i(t)i00tＮＮi(t)~t曲线如下图曲线如下图ＮＮ/2Ti(t)i00tＮＮT0tt=T, di/dt 最大最大T~传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻此值与传染病的实际高峰期非常接此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式近，可用作医学上的预报公式  (传染强度传染强度)    T   模型模型2Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?最终人人都将被传染，与实际情况不符．最终人人都将被传染，与实际情况不符．模型模型3传染病有免疫性传染病有免疫性——病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移出者移出者SIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的人数分别为出者的人数分别为2）传染病的传染强度）传染病的传染强度  建模建模需建立需建立 的方程的方程3）每天）每天治愈治愈的人数与当时病人数成正的人数与当时病人数成正比，比例系数比，比例系数  （治愈系数）（治愈系数）. 模型模型3SIR模型模型 其中其中 通常是一个与疾病种类有关的通常是一个与疾病种类有关的较大的常数较大的常数. .下面对下面对 进行讨论．进行讨论．如果如果 ，，则有则有 ，此疾病在该地区根本流行不起，此疾病在该地区根本流行不起来来.如果如果 ，则开始时，则开始时 ，，i(t)单增．但在单增．但在i(t)增加同时，增加同时，伴随地有伴随地有s(t)单减单减. 当当s(t)减少到小于等于减少到小于等于 时，时， i(t)开始减开始减小，直至此疾病在该地区消失小，直至此疾病在该地区消失.鉴于在本模型中的作用，鉴于在本模型中的作用， 被被医生们称为此疾病在该地区医生们称为此疾病在该地区的阈值．的阈值． 的引入解释了为什的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区么此疾病没有波及到该地区的所有人．的所有人．综上所述，模型综上所述，模型3 3指出了传染病的以下特征：指出了传染病的以下特征： （（1 1））当当人人群群中中有有人人得得了了某某种种传传染染病病时时，，此此疾疾病病并并不不一一定定流流传传，，仅仅当当易易受受感感染染的的人人数数与与超超过过阈阈值值时时，，疾疾病才会流传起来。

病才会流传起来 （（2 2））疾疾病病并并非非因因缺缺少少易易感感染染者者而而停停止止传传播播，，相相反反，，是是因因为为缺缺少少传传播播者者才才停停止止传传播播的的，，否否则则将将导导致致所所有有人人得病 （（3 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭种群不可能因为某种传染病而绝灭 模型的应用模型的应用SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段  (传染强度传染强度)   卫生水平卫生水平  (治愈系数治愈系数)   医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件——s0<ρρ 的估计的估计• 降低降低 s0提高提高 r0 • 提高阈值提高阈值 ρ ( =   /   )   ,    群体免疫群体免疫模型模型4传染病有潜伏期传染病有潜伏期SEIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人、潜伏不变，病人、健康人、潜伏者和移出者的比例分别为者和移出者的比例分别为2）传染强度）传染强度  , 治愈系数治愈系数 建模建模建立建立 方程方程3）单位时间内潜伏者以比例常数）单位时间内潜伏者以比例常数 转为染转为染 病者病者模型模型4SEIR模型模型 在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫一种叫““房室系统房室系统””的观点来考察问题的观点来考察问题. .根据研究根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）. . 房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密度）的而成，房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为变化率与外部环境有关，这种关系被称为““交换交换””且交换满足着总量守衡．在本节中，我们将用且交换满足着总量守衡．在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布．房室系统的方法来研究药物在体内的分布．4.6 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除• 药物进入机体形成药物进入机体形成血药浓度血药浓度( (单位体积血液的药物量单位体积血液的药物量) )• 血药浓度需保持在一定范围内血药浓度需保持在一定范围内————给药方案设计给药方案设计• 药物在体内吸收、分布和排除过程药物在体内吸收、分布和排除过程 ————药物动力学药物动力学• 建立建立房室模型房室模型————药物动力学的基本步骤药物动力学的基本步骤• 房室房室————机体的一部分，药物在一个房室内均匀机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布分布( (血药浓度为常数血药浓度为常数) )，在房室间按一定规律转移，在房室间按一定规律转移• 本节分别讨论本节分别讨论单房室单房室和和二室模型二室模型交换交换　环境　环境内部内部单单房室系统房室系统均匀分布均匀分布 单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设任一时刻都是均匀分布的，设t t时刻体内药物的总量为时刻体内药物的总量为x( (t) )；；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式： 机体环境环境药物总量药物总量假设药物均匀分布假设药物均匀分布 * * 药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：药物当前的浓度成正比的，即： * * 药物的输入规律与给药的方式有关。

药物的输入规律与给药的方式有关情况情况1 1 快速静脉注射快速静脉注射情况情况2 2 恒速静脉点滴恒速静脉点滴 情况情况3 3 口服药或肌注口服药或肌注 情况情况1 1 快速静脉注射快速静脉注射 在快速静脉注射时，总量为在快速静脉注射时，总量为D D的药物在瞬间被注入的药物在瞬间被注入体内设机体的体积为体内设机体的体积为V V，，则我们可以近似地将系统则我们可以近似地将系统看成初始总量为看成初始总量为D，，浓度为浓度为D/ /V，，只输出不输入的房只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：室，即系统可看成近似地满足微分方程： 其解其解为：为：药物的浓度：药物的浓度： 机体环境只输出不输入房室负增长率的Malthus模型 易见易见：：情况情况2 2 恒速静脉点滴恒速静脉点滴 药物似恒速点滴方式进入体内，药物似恒速点滴方式进入体内，即即: : 则体内药物总量满足：则体内药物总量满足： （（x(0)=0）） 这是一个一阶常系数线性方程，其解为：这是一个一阶常系数线性方程，其解为： 或或易见易见：：机体环境环境恒定速率恒定速率输入房室输入房室情形情形3 3 口服药或肌注口服药或肌注 口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中于不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中于身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收．设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记．设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为比例系数为k1 1，，即若记即若记t时刻残留药物量为时刻残留药物量为y( (t) )，则，则y满满足：足： D为口服或肌注药物总量 因而：因而：y(t)x(t)k1ykx环境机体外部药物所以所以：：解得解得：：三种常见给药方式下的血药浓度三种常见给药方式下的血药浓度C( (t) ) 由三种情况下体内血药浓度的变化曲线可看出，快速由三种情况下体内血药浓度的变化曲线可看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）. . 我们已求得三种常见给药方式下我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度的血药浓度C( (t) )，，当然也容易求得血当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案找出最佳治疗方案. . • 以下再讨论以下再讨论二室模型二室模型————中心室中心室( (心、肺、肾等心、肺、肾等) )和周边室和周边室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) ) 上述是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故上述是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样．药物进被称单房室模型，但机体事实上并不是这样．药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官．因此，要建立更接近实际又通过交换进入各个器官．因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型．互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型．IIIk12k21两房室系统两房室系统 右右图表示的是一种常见的两房室模图表示的是一种常见的两房室模型，其间的型，其间的k12表示由室表示由室I I渗透到室渗透到室IIII的的变化率前的系数，而变化率前的系数，而k21则表示由室则表示由室IIII返返回室回室I I的变化率前的系数，它们刻划了的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其值应当用实验测两室间的内在联系，其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况．定，使之尽可能地接近实际情况． 当差异较大的部分较多当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房时，可以类似建立多房室系统室系统，即，即N房室系统房室系统I中心室中心室( (心、肺、肾等心、肺、肾等) )和和II周边室周边室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) ) 中心室中心室周边室周边室给药给药排除排除模型假设模型假设• 中心室中心室(1)和周边室和周边室(2), ,容积不变容积不变• 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比与该室血药浓度成正比• 药物从体外进入中心室，在二室间药物从体外进入中心室，在二室间相互转移相互转移, ,从中心室排出体外从中心室排出体外模型建立模型建立线性常系数线性常系数非齐次方程非齐次方程对应齐次对应齐次方程通解方程通解模型建立模型建立几种常见的给药方式几种常见的给药方式1. .快速静脉注射快速静脉注射t=0 瞬时瞬时注射剂量注射剂量D0的药物进入中心室的药物进入中心室, ,血血药浓度立即为药浓度立即为D0/V1给药速率给药速率 f0(t) 和初始条件和初始条件2. .恒速静脉滴注恒速静脉滴注t >T, c1(t)和和 c2(t)按按指数规律趋于指数规律趋于零零药物以速率k0进入中心室0Tt ££吸收室中心室3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相当于药物相当于药物( 剂量剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量吸收室药量x0(t) 新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。

当一种新药品、新疫量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究当一种新药品、新疫苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考在实验中研究人员使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考在实验中研究人员要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间在药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间在20032003年年春夏之交的春夏之交的SARSSARS（（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一种能治疗一种能治疗SARSSARS的良药或预防的良药或预防SARSSARS的有效疫苗来，但这只能是一种空的有效疫苗来，但这只能是一种空想SARSSARS的突如其来，形成了的突如其来，形成了““外行不懂、内行陌生外行不懂、内行陌生””的情况。

国内的情况国内权威机构一度曾认为这是权威机构一度曾认为这是““衣原体衣原体””引起的肺炎，可以用抗生素控制引起的肺炎，可以用抗生素控制和治疗但事实上，抗生素类药物对和治疗但事实上，抗生素类药物对SARSSARS的控制与治疗丝毫不起作用的控制与治疗丝毫不起作用以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为SARSSARS是病毒是病毒感染引起的肺炎，两个月后（感染引起的肺炎，两个月后（4 4月月1616日），世界卫生组织正式确认日），世界卫生组织正式确认SARSSARS是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）发现病原是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）发现病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想 以前 ，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后仍到水深为300英尺的海里．1 问题（这是一场笔墨官司）问题（这是一场笔墨官司）:生态学家和科学家提出生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会：美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）．不会破裂（用实验证明）．又有几位工程师提出：又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？因与海底碰撞而破裂？ 美国原子能委员会：美国原子能委员会：决不会．决不会．　　　　4. 7 放射性核废料处理问题放射性核废料处理问题圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过4040英尺英尺/ /秒？秒？若圆桶与海底碰撞时的速度超过若圆桶与海底碰撞时的速度超过4040英尺英尺/ /秒时，秒时，就会因碰撞而破裂．就会因碰撞而破裂．这几位工程师通过大量的实验证明:通过建立数学模型来解决这一问题．一些参数及假设：一些参数及假设：假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即受力分析：xyGfo2 建模与求解建模与求解根据牛顿第二定理可解得：极限速度为： 如果极限速度不超过如果极限速度不超过40英尺英尺/秒，那么工程师们秒，那么工程师们可以罢休了。

然而事实上，和可以罢休了然而事实上，和40英英/秒的承受能力相秒的承受能力相比，实际极限速度竞是如此之大，使我们不得不开比，实际极限速度竞是如此之大，使我们不得不开始相信，工程师们也许是对的始相信，工程师们也许是对的 由于由于代入：代入： 为了求出圆桶与海底的碰撞速度，首为了求出圆桶与海底的碰撞速度，首先必须求出先必须求出圆桶的下沉时间圆桶的下沉时间t,然而要做到这一点却是比较困难的然而要做到这一点却是比较困难的为此，我们改变讨论方法，将速度为此，我们改变讨论方法，将速度 v 表示成下沉深表示成下沉深度度 y 的函数的函数v( (y) )，，其解为：仍未解出 v 是 y 的显函数由近似公式由近似公式3 结论：结论：若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒，会因碰撞而破裂这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的工程师们的猜测是正确的，工程师们的猜测是正确的，他们打赢了这场官司他们打赢了这场官司现在美国原现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。

 经经济济学学家家和和社社会会学学家家早早就就关关心心新新产产品品的的推推销销速速度度问问题题．．怎怎样样建建立立一一个个数数学学模模型型来来描描述述它它，，并并由由此此分分析析出出一一些些有有用用的的结结果果以以指指导导生生产产呢呢？？下下面面看看一一下下第第二二次次世世界界大大战战后后日日本本家家用用电电器器业业界界建建立立的的电电饭饭锅锅销售模型．销售模型． 记时刻记时刻 t 已售出的电饭锅总数为已售出的电饭锅总数为 x(t) ．． 由于使用方便，己在使用的电饭锅实际上在起由于使用方便，己在使用的电饭锅实际上在起着宣传品的作用，吸引着尚未着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客，购买的顾客，可以假可以假设每一电饭锅在单位时间内平均吸引设每一电饭锅在单位时间内平均吸引k个顾客．个顾客．　　4.8 新产品的推销与广告新产品的推销与广告 模型模型1 1新产品推销模型新产品推销模型（（1）若取）若取 t=0 为新产品诞生时刻，则为新产品诞生时刻，则x(0)=0 . 这一结果显然与事实不符，这是因为模型只考这一结果显然与事实不符，这是因为模型只考虑了实物广告的作用，忽略了厂方可以通过其他方虑了实物广告的作用，忽略了厂方可以通过其他方式宣传新产品从而打开销路式宣传新产品从而打开销路.模型建立模型建立模型分析模型分析 Malthus模型模型（（2）若通过努力己有）若通过努力己有 数量的产品投入使用，数量的产品投入使用，则调查情况表明实际销售量则调查情况表明实际销售量x(t)在开始阶段的增在开始阶段的增长情况与模型十分相符长情况与模型十分相符. . 但这也与事实不符但这也与事实不符. . 实际上实际上 x(t) 是有上界的，因为一般讲每户只是有上界的，因为一般讲每户只需购买需购买1 1～～2 2只电饭锅就够了只电饭锅就够了.模型模型1 (1) 设需求量设需求量x(t)有一个上界，并记此上界有一个上界，并记此上界为为 K , ,则尚未使用的人数大致为则尚未使用的人数大致为 模型模型2 2 (2)单位时间的需求量与未使用的人数成正比单位时间的需求量与未使用的人数成正比, 比例系数为比例系数为k.假设假设模型建立模型建立 Logistic 模型模型dx/dtx0KK/2Ktx0x(t)~S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0K/2模型模型2 2t0模型分析模型分析 在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度将开始下降．实际该产品最为畅销，其后销售速度将开始下降．实际调查表明，销售曲线与调查表明，销售曲线与LogisticLogistic曲线十分接近，尤曲线十分接近，尤其是在销售后期，两者几乎完全吻合．其是在销售后期，两者几乎完全吻合． 美国和其它一些国家的经济学家也作了大量的美国和其它一些国家的经济学家也作了大量的社会调查，并建立了完全相同的模型．社会调查，并建立了完全相同的模型．模型分析与应用模型分析与应用 　基基于于对对图图中中曲曲线线形形状状的的分分析析，，国国外外普普遍遍认认为为：：初初期期应应采采取取小小批批量量生生产产并并加加以以广广告告宣宣传传，，从从20%用用户户采采用用到到80%用用户户采采用用某某一一新新产产品品这这段段时时期期，，应应为为该该产产品品正正式式大大批批量量生生产产的的较较合合适适的的时时期期，，后后期期则则应应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果．适时转产，这样做可以取得较高的经济效果．　　无无论论你你是是听听广广播播，，还还是是看看报报纸纸，，或或是是收收看看电电视视，，常常可可看看到到、、听听到到商商品品广广告告。

随随着着社社会会向向现现代代化化的的发发展展，，商商品品广广告告对对企企业业生生产产所所起起的的作作用用越越来来越越得得到到社社会会的的承承认认和和人人们们的的重重视视商商品品广广告告确确实实是是调调整整商商品品销销售售量量的的强强有有力力手手段段，，然然而而，，你你是是否否了了解解广广告告与与销销售售之之间间的的内内在在联联系系？？如如何何评评价价不不同同时时期期的的广广告告效效果果？？这这个个问问题题对对于于生生产产企企业业、、对对于于那那些些为为推推销销商商品品作作广广告告的的企企业业极为重要极为重要. 下面下面研究两个广告模型．研究两个广告模型．广告模型广告模型假设假设（（1 1）商品的销售速度会因作广告而增加，但增）商品的销售速度会因作广告而增加，但增加是有一定限度的，当商品在市场上趋于饱和时，销加是有一定限度的，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采取哪种形式作广告，售速度将趋于极限值，这时无论采取哪种形式作广告，都不能阻止销售速度的下降都不能阻止销售速度的下降. . （（2 2）自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售）自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减少速度随商品的销售率增加而减少. . （（3 3）设）设S( (t) )为为 t 时刻商品销售速度；时刻商品销售速度；M为销售饱和为销售饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上限，度的上限，  为衰减因子为衰减因子( (广告作用随时间增加而自广告作用随时间增加而自然衰减的速度然衰减的速度) )，， > >0 0是常数；是常数；A( (t) )为为 t 时刻广告水平时刻广告水平（以费用表示）（以费用表示）. .独家销售的广告模型独家销售的广告模型由方程可以看出，当由方程可以看出，当S＝＝ＭＭ 或当或当ＡＡ( (t)=0)=0时，都有时，都有 模型建立模型建立其中其中 p 为响应系数，即为响应系数，即 A(t) 对对 S(t) 的影响力，的影响力，p为为常数常数.模型求解模型求解假设选择如下广告策略：假设选择如下广告策略：在在 时间内，用于广告花费为时间内，用于广告花费为模型１模型１广告策略：广告策略：模型１模型１广告策略：广告策略：模型分析与应用模型分析与应用2 2．在销售水平比较低的情况下，每增加单位广．在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效果比销售速度接近极限速度的水平时，告产生的效果比销售速度接近极限速度的水平时，增加广告所取得的效果更显著增加广告所取得的效果更显著.1 1．生产企业若保持稳定销售，即．生产企业若保持稳定销售，即 ，那么我，那么我们可以根据模型估计采用广告水平们可以根据模型估计采用广告水平A( (t) )，即由，即由模型分析与应用模型分析与应用使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！思考题 设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言。

该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信这一谣言，而其他人约有1/3会相信又设凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言试建立一个反映谣传情况的微分方程模型。