第四届全国大学生数学竞赛决赛试题评分细则(数学类).pdf

1 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A为正常数，直线ℓ与双曲线x2− y2= 2 (x 0) 所围的有 限部分的面积为A. 证明： (i) 所有上述ℓ与双曲线x2− y2= 2 (x 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)ℓ总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 x, x 0. 设 直线ℓ交双曲线于(a,1/a)和(ta,1/ta), t 1, 与双曲线所围的面积为A. 则有 A = 1 2(1 + 1 t )(t − 1) − ∫ ta a 1 xdx = 1 2(1 + 1 t )(t − 1) − logt = 1 2(t − 1 t ) − logt. 令f(t) = 1 2(t − 1 t) − logt. 由于 f(1) = 0, f(+∞) = +∞, f′(t) = 1 2(1 − 1 t )2 0,(t 1), 所以对常数A存在唯一常数t使得A = f(t) (5分). ℓ与双曲线的截线段中点坐标 为 x = 1 2(1 + t)a, y = 1 2(1 + 1 t ) 1 a. 于是，中点的轨迹曲线为 xy = 1 4(1 + t)(1 + 1 t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 4(1 + t)(1 + 1 t) 1 x给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 k = −1 4(1 + t)(1 + 1 t ) 1 x2 = − 1 ta2 , 它恰等于过两交点(a,1/a)和(ta,1/ta)直线ℓ的斜率: 1 ta − 1 a ta − a = − 1 ta2 . 故ℓ为轨迹曲线的切线. (15分) 二、(本题15分): 设函数f(x)满足条件: 1) −∞ 0充分小, 使得g(x1) f(x1)和g(x3) f(x3). 令h(x) = g(x) − f(x). 则有h(x1) 0和h(x3) 0, 且h(x2) = 0. 令h(ξ) = minx∈[x1,x3]h(x), 则h(ξ) ≤ 0,ξ ∈ (x1,x3), 并且f′(ξ) = g′(ξ) (10分).故 f(x) ≤ g(x) − h(ξ), x ∈ (x1,x3). 注意到g(x) − h(ξ)的图像是一个开口向下的抛物线, 故对x ̸= ξ有 g(x) − h(ξ) 0. 证明：我们证明对任意n次首一实系数多项式, 都有∫ b+a b |P(x)|dx ≥ cnan+1, 其中cn满足c0= 1,cn= n 2n+1cn−1,n ≥ 1 (3分). 我们对n用归纳法.n = 6 0时P(x) = 1. 则 ∫ b+a b |P(x)|dx = a ≥ c0a, 结论成立(5分). 下设结论在k ≤ n − 1时成立. 设P(x)是一个n次首一多项式, 则对任意给定的a 0来说Q(x) = 2 na(P(x + a 2) − P(x))是一个(n − 1)次首一 多项式. 由归纳法假设, 有 ∫ b+a/2 b |Q(x)|dx ≥ cn−1 2n an.······(10分) 由此推出 ∫ b+a b |P(x)|dx = ∫ b+a/2 b (|P(x)| + |P(x + a/2)|)dx ≥ ∫ b+a/2 b (|P(x+a/2)−P(x)|)dx = na 2 ∫ b+a/2 b |Q(x)|dx ≥ na 2 cn−1(a 2 )n= cnan+1. (20分) 。