第6讲 幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝( )A. B．4C. D.解析 设f(x)＝xα，因为图像过点，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2－＝.答案 C2．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为( )A．－3 B．－C．3 D.解析 设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3.∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝.答案 D3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 ( )．A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)C．[1,3] D．(1,3)解析 f(a)＝g(b)⇔ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－0，a(a－4)>0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案 C二、填空题7．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案 ①②⑤⑥8．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．解析 由已知得⇒答案 a>0，ac＝49．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．解析 ∵∴m＝β＋.∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m＜2＋，即m∈.答案 10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则m的取值范围是________．解析 当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不符合要求；当m>0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0时不符合第①条的要求；当m<0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足或解第一个不等式组得－40，求实数a的取值范围．解 不等式ax2－2x＋2>0等价于a>，设g(x)＝，x∈(1,4)，则g′(x)＝ ＝＝，当10，当2，因此实数a的取值范围是.14．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f(2)0，解得－10满足题设，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点处取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．。
