【高考数学二轮复习大题讲义】第3讲 求最值和范围-解析版.docx

高考复习大题讲义】共50讲第3讲 求最值和范围求最值和范围是数列部分相对较难的内容,解题方法的核心在于判定数列的单调性,进而来求解最值.判定单调性的方法主要有三种:函数法、作差法、作商法.函数法函数法判定数列单调性的核心在于理解数列的本质:数列是一种非连续性函数,即数列是函数上的一些不连续的点,所以我们在解题时只要判定出函数的单调性,就得到了数列的单调性,但这里一定要注意数列的非连续性.【例1】已知,求数列的最大项与最小项解析】已知,记在与上都是增函数(图像如下图所示).考虑数列,当时,递增且各项都大于;当时,递增且都小于.数列的最大项是第4项,值为9,最小项是第5项,值为.【例2】已知,其前项和为,若恒成立,求的最小值.【解析】单调递减.单调递增.故.故的最小值为.【例3】知,数列的前项和为,若不等式对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.【解析】由题意得,,于是,等价于,即等价于.(1)当为偶数时,原式变为,,当且仅当,即时等号成立,当时,取最小值6,故.(2)当为奇数时,原式变为令函数,则.当时,;当时,.即在上单调递增,在上单调递减.由,即为奇数,.综上所述,的取值范围为.作差法根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列.若不是严格的单调数列,也可以利用不等式组找到数列的最大项,利用不等式找到数列的最小项.【例1】是数列的前项和,且,若,求数列中的最小项。

解析】由题意得,,则.当时,,即,.当时,,即,.数列的最小项为.【例2】设公差不为零的等差数列{a}的前项和为,已知,对任意的正整数,都有成立,求实数.的取值范围.【解析】由题意得,对任意正整数都成立.设.,当时,数列单调递增;当时,数列单调递减.当时,取得最大值,.【例3】设,求满足不等式的正整数的最小值.【解析】令,则当时,数列为递增数列.,,满足不等式的正整数的最小值为11.【例4】已知,若对任意的恒成立,求实数的取值范围.【解析】对任意的恒成立,即,对任意的,恒成立.只需对任意的,恒成立即可.令,则只需即可.,当时,,即,而..实数的取值范围为.作商法作商法:根据或与1的大小关系进行判断.【例1】 已知,求数列的最小项的值.【解析】,且,.当时,.当时,.,当时,有最小值.【例2】记,若数列为递增数列,求的取值范围.【解析】已知,.数列为递增数列,,即.令,即.为递增数列.,即的取值范围为.【例3】记,若数列为递增数列,求的取值范围.【解析】即的取值范围为.第 6 页 共 6 页。