1978年全国统一高考数学试卷.doc

1978 年全国统一高考数学试卷一、解答题（共 11 小题，满分 120 分）1． （4 分）将多项式 x5y﹣9xy5 分别在下列范围内分解因式：（ 1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2． （4 分）已知正方形的边长为 a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．3． （4 分）求函数 的定义域．4． （4 分）不查表求 cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．5． （4 分）化简：6． （14 分）已知方程 kx2+y2=4，其中 k 为实数对于不同范围的 k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．7． （14 分）如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线 MN 切半圆于 C 点，AM⊥MN 于 M点，BN⊥MN 于 N 点，CD⊥AB 于 D 点．求证：（1）CD=CM=CN ；（2）CD 2=AM•BN．8． （12 分）已知：18 b=5，log 189=a（a≠2）求 log3645．9． （20 分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC= 求角 A，B，C 的大小，又已知顶点 C 的对边 c 上的高等于 ，求三角形各边 a，b，c 的长． （提示：必要时可验证）10． （20 分）已知：α，β 为锐角，且 3sin2α+2sin2β=1，3sin2α ﹣2sin2β=0．求证： ．11． （20 分）已知函数 y=x2+（2m+1）x+m 2﹣1（m 为实数）（1）m 是什么数值时，y 的极值是 0？（2）求证：不论 m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线 L1 上．1978 年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共 11 小题，满分 120 分）1． （4 分）将多项式 x5y﹣9xy5 分别在下列范围内分解因式：（ 1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点： 虚数单位 i 及其性质． 专题： 计算题．分析： 直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答： 解：（1）x 5y﹣9xy5=xy（x 2+3y2） （x 2﹣3y2） ．（2）x 5y﹣9xy5=xy（x 2+3y2） （x+ y） （x﹣ y） ．（3）x 5y﹣9xy5=xy（x+ yi） （x﹣ yi） （x+ y） （x﹣ y） ．点评： 本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2． （4 分）已知正方形的边长为 a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．专题： 计算题；综合法．分析： 由题设，设圆柱体的半径为 r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即 2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．解答： 解：设底面半径为 r，直圆柱体的高为 h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长 2πr=a，h=a，解得 ，由公式圆柱体体积 V=πr2h= ．答：直圆柱体的体积的体积是点评： 本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．3． （4 分）求函数 的定义域．考点： 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题： 计算题．分析： 使函数的分母不为 0，对数的真数大于 0，偶次根式被开放数非负．解答： 解：由题意知：x﹣1＞0 且 2﹣x＞0解得 1＜x＜2．故函数定义域为（1，2） ．点评： 本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．4． （4 分）不查表求 cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题．分析： 先利用诱导公式使原式等于 sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．解答： 解：原式=sin10 °cos35°+cos10°sin35°=sin（10 °+35°）=sin45 °=点评： 本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．5． （4 分）化简：考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 分析： 根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．解答：解：原式= =2• =点评： 指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①a r•as=ar+s（a ＞0，r，s ∈R） ．②（a r）s=ar•s（a＞0，r，s∈Q） ．③（a•b ） r=ar•br（a＞0， b＞0，r∈ Q） ．6． （14 分）已知方程 kx2+y2=4，其中 k 为实数对于不同范围的 k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．考点： 圆锥曲线的共同特征． 专题： 计算题．分析： （1）k=1 ，方程的图形是圆半径为 2，当 k＞1 且 k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在 y 轴上；当 1＞k＞0 时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在 x 轴上（2）k=0 时，方程为 y2=4，图形是两条平行于 x 轴的直线 y=±2（3） ）k＜0 时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在 y 轴上，解答： 解：（1）k＞0 时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1 时，长轴在 y 轴上，半长轴=2，半短轴= ；②k=1 时，为半径 r=2 的圆；③k＜1 时，长轴在 x 轴上，半长轴= ，半短轴 =2（2）k=0 时，方程为 y2=4，图形是两条平行于 x 轴的直线 y=±2 如图：（3）k＜0 时，方程为 ，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在 y 轴上，如图：点评： 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．7． （14 分）如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线 MN 切半圆于 C 点，AM⊥MN 于 M点，BN⊥MN 于 N 点，CD⊥AB 于 D 点．求证：（1）CD=CM=CN ；（2）CD 2=AM•BN．考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 证明题．分析： （1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；（2）在直角三角形 ABC 中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得 CD2=AM•BN．解答： 证明：（1）连接 CA、CB，则∠ ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC∴CM=CD 同理 CN=CD∴CD=CM=CN（2）∵CD ⊥AB，∠ ACD=90°∴CD2=AD•DB由（1）知 AM=AD，BN=BD∴CD2=AM•BN．点评： 本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理，属容易题．　8． （12 分）已知：18 b=5，log 189=a（a≠2）求 log3645．考点： 对数的运算性质．分析： 根据指数与对数式的互化，可先将 18b=5 化为 log185=b，然后代入即可得到答案．解答： 解：∵18 b=5，∴log 185=b∴点评： 本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式．一定要掌握对数的运算法则．9． （20 分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC= 求角 A，B，C 的大小，又已知顶点 C 的对边 c 上的高等于 ，求三角形各边 a，b，c 的长． （提示：必要时可验证）考点： 同角三角函数基本关系的运用；等差数列的性质；三角形中的几何计算．专题： 计算题．分析： △ABC 的三内角的大小成等差数列，求出 B=60°， A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出 tgA， tgC，求出 A，C 的值，利用任意角的三角函数求出 a，b，c ．解答： 解：A+B+C=180°又 2B=A+C．∴ B=60°，A+C=120°∵而 tgA+tgC=（1﹣tgAtgC ）tg（A+C ）= ． （2）由（1） （2）可知 tgA，tgC 是 =0 的两根．解这方程得：x1=1， x2=2+ 设 A＜C，则得 tgA=1，tgC=2+ ．∴A=45°，C=120°﹣45°=75°又知 c 上的高等于 4 ，∴a= =8；b= ；c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4 ．点评： 本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．10． （20 分）已知：α，β 为锐角，且 3sin2α+2sin2β=1，3sin2α ﹣2sin2β=0．求证： ．考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 证明题．分析： 欲证： ．往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明，利用题中的两个关系，我们先求 sin（α+2β）的值即可解决问题．解答： 解：由 3sin2α+2sin2β=1，得：3sin 2α=cos2β．． ．∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α=1．∴sinα= （α 为锐角）∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin 2α）+cosα（3sinαcosα）=3sinα（sin 2α+cos2α）=3sinα=1∴ ．点评： 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β） ，是一道三角变换的中档题．11． （20 分）已知函数 y=x2+（2m+1）x+m 2﹣1（m 为实数）（1）m 是什么数值时，y 的极值是 0？（2）求证：不论 m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线 L1 上．考点： 利用导数研究函数的极值；抛物线的应用．专题： 计算题；证明题．分析： （1）二次函数研究极值问题，可利用配方法研究极值，根据 y 的极值是 0 建立等量关系．（2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标，根据点的横坐标与纵坐标消取参数 m 即可得顶点轨迹，再进一步验证即可．解答： 解：（1）用配方法得： ∴的极小值为 ．所以当极值为 0 时，（2）函数图象抛物线的顶点坐标为即 ，二式相减得： ，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含 m，因此，不论 m 是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及抛物线的应用，属于中档题．。